#4.series solution(6. 끝맺음말)

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* 주의 : 식이 너무 길어서 창 크기가 작으면 식이 잘릴 수 있습니다! 최대 크기로 키워서 봐주세요~

Series solution

Series solution 은, ‘analytic’한 해를 구하지 못할 경우에 대비해서, ‘해의 근사’라도 할 수 있으면 좋겠다~라는 생각에 시도하고 이론화 된 방법입니다.

어떤게 있었나

series solution 을 배우는 데에는, 크게 두 가지 방법을 배웠습니다.

• ordinary point 에서 사용하는 power series method

$$\frac{d^2 y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) y=r(x) \\ p(x), q(x), r(x) ~~is ~ ~ analytic ~~ at~ x=0$$
$$y=\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$

이 경우에 대한 풀이법은 바로 대입해서 풀면 $a_0, a_1$에 대해 묶여 있는 두 부분이 바로 그 ODE의 basis 가 되더랬습니다. 정말인지 확인하러 가봅시다 (첫번째) (두번째)

• regular singular point 에서 사용하는 Frobenius method
  $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{b(x)}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{c(x)}{x^2} y=0 \\ b(x) , c(x) ~~is~~ analytic ~~ at ~~ x=0$$

$$y=x^r \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$
이 경우에 대한 풀이법은, 일단 정리를 해서 $r$의 값을 두 개 또는 한 개 얻은 뒤 $y_1$을 구하는 것이 우선이었습니다. 그 다음, $y_2$를 구하는 것은 해가 나오는 경우에 따라 풀이법이 다양하게 존재했습니다.

1. $r$이 중근을 가진다면 이렇게
2. $r_1-r_2$가 정수라면 이렇게 $\ln x$를 지울 수도 있고, 이렇게 $\ln x$가 남아있을 수도 있고
3. $r_1 - r_2$가 정수가 아니라면 이렇게그냥 구해버리고
4. 만약 $y_1$이 깔쌈하게 정리가 된다면 맘편히 Reduction of order를 먹이고

Frobenius 의 $r$이 왜 나왔는지, 왜 두 $r$이 정수차일 때 따로 따져주는지는 번외편에서 잘 설명했던 것 같네요 :)

어떤게 어려웠나

특히! Frobenius 에서 겪었던 멘붕은 말로 표현할 수가 없죠 ㅠ

미분을 하고, 시그마의 기호를 치환하는 과정이 굉장히 어렵고 까다로웠습니다. 게다가 조건이 모자라면 수시로 $a_0, b_0$같은 걸 임의로 정하는 경우도 있고… 이것마저 제멋대로고…답지에서는 잘 해설도 안하고 그냥 ‘choose $A_1=1$’이라고만 쓰니 속이 터질 노릇입니다 ㅠ

사실 제가 세분해서 설명을 했지만, 세상의 모든 문제를 설명할 수는 없고 그럴 실력도 없기 때문에 ㅠㅠ 적당한 ‘감’을 가지셔야 한다고 밖에 말씀을 못드리겠네요. 프로베니우스를 마스터 하고 싶다면 일단 크레이직 문제를 마스터….너도 안했잖아 참새야...

그래도 공부하면서 몇 가지 팁을 얻었다면,

• $r$의 값을 정하기 위해 빠르게 ‘최저차항’만을 스캔하는 습관을 들이자

식이 나오자 마자, $m=0$을 넣고 $r$에 대한 식을 대충 써본 다음 아 이 문제가 ‘여기서 쓰이겠구나~’하는 감을 잡는 연습이 꽤 많이 도움이 되더라구요 ㅎㅎ

• 최대한 시그마 안에 들어가는 $x$의 ‘시작차수’를 맞춰주자.

예를 들어…
$$\sum_{m=2}^\infty a_m x^m + \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+1}=0$$
요렇게 되어있다고 합시다. 앞의 시그마는 $x^2$부터, 뒤의 시그마는 $x^1$부터 시작합니다. 두 시그마를 하나로 합쳐야 하니 합치긴 할텐데, 시작항이 다르니 나중에 골치아파질 것이 불보듯 뻔합니다. 그래서 뒤의 시그마 하나를 빼낼겁니다.
$$\sum_{m=2}^\infty a_m x^m + a_0 x +\sum_{m=1}^\infty a_m x^{m+1}=0$$
이제 두 개의 시그마가 시작하는 $x$의 차수가 $2$로 같아졌습니다.

이렇게 했을 때 얻을 수 있는 또다른 이익은, $a_0=0$이라는 걸 단번에 알 수 있다는 거죠.

별거 아니어보이지만, 조금이라도 풀이과정중의 ‘정리’를 위해 도움이 되는 팁 몇가지를 알려드려봤습니다. 그래도 여러분의 손맛만큼 도움이 되는 건 없을테니, 화…화잍힝….ㅎㅎㅎ

Special Equations

또 우리를 괴롭게 했던 것은 좌표계 변환만 하면 나오는 반가운 special Equation들이었습니다. 구면 좌표계 변환은 Legendre, 원통 좌표계 변환은 Bessel 이 나온다는 것!

Legendre

여기서 식을 정리해 봤고, 그 다음에식을 더 깔끔하게(?) 정리해 봤습니다.
일반해는 $y=a_1 y_1 + a_2 y_2$였고, $y_1, y_2$중에 다항식인 것을 $P_n$, 아닌 것을 $Q_n$이라고 불렀습니다.
르장드르가 특이했던 것은, ‘차수가 딱 떨어지는 유한 다항식’이라는 거였죠?

Bessel

베쎌이 복잡했던 이유는 Frobenius를 썼기 때문…!!
$\nu=\frac{1}{2}$일 때만 식이 깔끔하게 정리가 되었고, 아닌 경우에는 어찌어찌 정리를 했습니다. 베쎌은 르장드르와 달리 ‘차수가 무한대 까지 가는 다항식’이라는 것, 기억해둡시다.

일반해는 $y=c_1 J_\nu + c_2 Y_\nu$였고, 이것은 $\nu$에 대한 조건 없이 사용할 수 있는 해였습니다.
$\nu$가 정수가 아니라면, 이것도 일반해가 될 수 있다고 했죠. $y=c_1 J_\nu + c_2 J_{-\nu}$ $J_{-\nu}$와 $Y_\nu$가 다르다는 것은 말한 적이 있는 것 같네요. 과정이 기억나지 않는다면 $J$부터 $Y$까지 다시 복습! 왜 정수면 $J_\nu$를 못쓰는지도 한 번 알아보기!

거기다가 큰 $\nu$에 대한 값을 구할 수 있도록 미분적분 점화식까지 있더랬습니다.

orthogonality

베쎌과 르장드르의 가장 큰 매력은 ‘직교성 orthogonality’ 에 있었죠. 범위 적당히 넣어서 곱한다음 적분하면 0! 증명은 여기서했었습니다. 여담이지만, 아래끝과 위끝이 르장드르는 $(-1,1)$이고, 베쎌은 $(0,1)$이라는 미묘한 차이가 왜 나왔는지에 대해서도 식을 보고 잘 음미할 수 있습니다. 글로 적는 건 한계가 있네요 ㅠㅠ

어쨌든

가장 힘든 고비인 series solution을 잘 넘어오셨습니다. 이제 제가 목표로 했던 ODE 포스팅에서 큰 두번째 주제가 끝났고, 마지막 Laplace transform 만을 남겨둔 상태네요. series solution 포스팅을 이번 것 까지 포함하면 19개씩이나 했는데, 너무 질질 끈 것은 아닌가 싶기도 하고, 포스팅을 하면서도 후회를 많이 했습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 그래도 많이들 도움을 얻는다고 응원해 주시니 감사할 따름…ㅎ

얼마전에 Laplace transform 시험을 봤기 때문에, 머릿속에 쌩쌩하게 남아있는 지식을 빠르게 전달하기 위해 노력하겠습니다. ㅋㅋㅋ
수고 많으셨습니다. 이제 마지막 산이 하나 남았군요. 저를 위해, 여러분을 위해 박수 짝짝짝!