#4.series solution(4. Bessel's equation : 두 번째 해 구하기 - 1/2일 때)

그림 출처

어디까지 왔니?

• 주의 : 식이 너무 길어서 인터넷 창을 작게 해두면 잘릴 수 있습니다! 브라우저 창 크기를 최대로 키워서 봐주세요~

Bessel equation

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function
• 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
• 4-2. $y_2$구하기
  
  • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
  • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
  • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu =\frac{1}{2}$
• 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

잘 따라오고 있나요? 이번 포스팅에서 다룰 내용은 정신을 제대로 차리지 않으면 놓치기 쉬운 내용입니다. 식을 마구마구 변형할거니까요. 화이팅입니다!

Remind

• Bessel Equation
  $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$

• 점화식
  $$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} \\ a_0 = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\frac{1}{2^\nu}\\a_1 =0$$

• $r$의 값

  1. 중근, $\nu=0$
  2. $\nu=$(정수)
  3. $\nu= \frac{1}{2}$
  4. 그 외의 경우

• $\nu$가 정수(1, 2번 경우)
  $$J_{-\nu} = (-1)^\nu J_\nu$$

• $y_1 = J_\nu$ (제 1종 Bessel function)
  $$y_1 = J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

• $y_2$($r=0$일 때)
  $$y_2 =J_0 \ln x + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k}(k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + .....+ \frac{1}{k} \right) \right) x^{2k}$$
  $$Y_0 =\frac{2}{\pi}\left( y_2 + (\gamma - \ln 2 ) J_0 \right) \\ \gamma = \lim_{m \to \infty} (h_m - \ln m)\\ h_m = 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{m}$$

• $Y _\nu$(제 2종 Bessel function)
  $\nu$가 정수가 아닌 경우 $$Y_\nu (x) = \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$
  $\nu$가 정수인 경우 $$Y_n (x) =\lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$

• 일반해
  $$y= c_1 J_\nu + c_2 Y_\nu$$
  정수가 아닌 $\nu$에 대해, 아래의 일반해도 가능
  $$y=c_1 J_\nu + c_2 J_{-\nu}$$

왠지 remind 가 굉장히 긴 기분이지만…ㅎㅎㅎ
제대로 복습해야만, Bessel function 을 자유롭게 쓸 수 있습니다.
한가지 주의할 점은, ‘일반해’에 있는 저건데요….
정수가 아닌 $\nu$에 대해서 $Y_\nu = J_{-\nu}$라고 생각한다면 곤란합니다. 상수를 적절히 조작하여 $Y_\nu$라는 함수를 새로 만든 것이기 때문에, 두 함수의 값이 다르죠! 당장 $\nu=\frac{1}{4}$를 넣어도,
$$Y_\frac{1}{4}(x) =J_\frac{1}{4} (x) - \sqrt{2} J_{-\frac{1}{4}} (x)$$ 이런 결과가 나올거고, 이걸 그대로 대입해보면
$$y = c_1 J_\frac{1}{4} (x) + c_2 \left( J_\frac{1}{4} (x) - \sqrt{2} J_{-\frac{1}{4}}(x) \right)$$
이 나오겠죠. 당연히 이 식은
$$y = c_1 J_\frac{1}{4} (x) + c_2 J_{-\frac{1}{4}} (x)$$
식과 완전히 같지는 않습니다. 하지만 상수의 차이가 존재할 뿐, 잘 배열하면 ‘같은 형태’가 되기는 하네요 ㅋㅋ

그러니, $\nu$가 정수가 아닌 경우에 대해 $J_{-\nu}$를 사용한 일반해와 $Y_\nu$를 사용한 일반해의 표현은 결과적으로는 같은 형태이지만 두 함수가 완전히 동일한 형태가 되지는 않는 다는 것을 조심하시면 되겠습니다 ㅎㅎ

$y_1$ 구하기 : $\nu = \frac{1}{2}$

왠지 모르게 remind 가 상당히 길었던 것 같지만…ㅋㅋㅋㅋ어쨌든, 가장 혼란스러울 법한 두 가지 내용을 무사히 지나온 여러분들께 박수를! 짝짝짝..

이번에는 $\nu = \frac{1}{2}$인 경우에 대해 제 1종 Bessel function 의 값을 직접 구해볼겁니다. 공학수학 책에서는 제 1종 Bessel function 의 적분식을 제시하고 있지 않으니, 어쩔수없이 식을 손으로 일일이 전개하는 수 밖에 없습니다만,

꼼수

를 쓰면 …ㅋㅋㅋㅋ Bessel function 의 적분식 표현은 아래와 같다고 ‘합니다’. 유도는 하지 않을다 이해하고 있지만 여백이 부족하여...거고, 그냥 검색 한 번만 하면 위키에 튀어나오는 식입니다 ㅋㅋㅋ

$$J_\nu (x) = \frac{2(x/2)^\nu}{\sqrt{\pi} \Gamma(\nu+\frac{1}{2})} \int_0^{\pi/2} \cos (x \cos \theta) \sin^{2\nu} \theta d\theta$$

그냥 ‘가져온 식’이고, 값을 얻기 위해 꼼수를 부리는 것이니 이걸 직접 교수님이 다루지 않으시는 한 되도록이면 쓰지 말도록 합시다….ㅎㅎㅎㅎ

$\nu= \frac{1}{2}$를 그냥 넣어봅시다. 인테그랄 앞에 붙어있는 분수의 분모에 있는 건, $\Gamma(1)=0! =1$이 되어 사라질 테고, 분자는 $\sqrt{2x}$로 정리될테지요!
$$J_\frac{1}{2} =\sqrt{\frac{2x}{\pi}}\int_0 ^{\pi/2}\cos(x \cos\theta)\sin \theta d\theta$$
저 적분은 쉽게 할 수 있겠죠?ㅋㅋㅋㅋ 치환적분이라고 부르더라구요…
$$x \cos \theta = t, -x \sin \theta d\theta= dt, \sin \theta d\theta = - \frac{1}{x} dt$$
이 될거고, 아래끝 위끝을 치환하면 $\int_x ^0$ 이 되는군요 ㅋㅋ 한 번 적분식만 따로 계산을 하면..
$$\begin{align}&\int_0 ^{\pi/2}\cos(x \cos\theta)\sin \theta d\theta \\ =& -\frac{1}{x}\int_x ^0 \cos tdt\\ =&\frac{\sin x}{x} \end{align}$$

그러니 우리는 결론을 얻었습니다.
$$J_\frac{1}{2} =\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x$$

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
설마 크레이직 아저씨가 이걸 모르시지는 않았을 거고, 그냥 ‘꼼수’입니다. 일단 우리가 나아가야할 방향은 저 해를 급수로부터 얻는 거다! 라고 잡아놓은 뒤, 한번 열심히 급수를 굴려봅시다. ㅋㅋ

원래의 식에 $\nu = \frac{1}{2}$대입하기

$$\begin{align}&\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right) \\ =& \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\frac{3}{2}) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\frac{1}{2}}\right) \\ =& \left( \frac{x}{2}\right)^\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty\left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\frac{3}{2}) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k}\right)\end{align}$$
이 식에서 잠시, 우리가 ‘정리할 수 있는’ 항들을 꺼내서 보려고 합니다. 가장 거슬리는 팩토리얼과 Gamma function 부터, $2^{2k}$와 함께 처리해 보겠습니다. 다른 부분은 일단 다 지우고~

$$\begin{align}& \frac{1}{\Gamma(k+\frac{3}{2}) k!} \left( \frac{1}{2}\right)^{2k} \\ =& \frac{1}{(k+\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})(k-\frac{3}{2})...... (\frac{3}{2})(\frac{1}{2})\Gamma(1/2)} \times \frac{1}{k(k-1)(k-2)(k-3).....(3)(2)(1)} \times \frac{1}{2^k 2^k}\\ =& \frac{1}{2^k \underbrace{(k+\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})(k-\frac{3}{2})...... (\frac{3}{2})(\frac{1}{2})}_{(k+1)개} \Gamma(1/2)} \times \frac{1}{2^k \underbrace{k(k-1)(k-2)(k-3).....(3)(2)(1)}_{(k)개}}\end{align}$$
왜 (k+1)개, (k)개가 나오는지는 정신차리고 잘….세어보면 된다고 말씀드릴 수 밖에…ㅋㅋㅋ $2^{2k}$를 $2^k$ 두 개로 나누어 곱한 것 까지는 이해가 되시나요?ㅎㅎ
이제 $k$개의 2를 각 항에 일일이 곱해줄겁니다……

$$\begin{align}=& \frac{2}{2^{k+1} \underbrace{(k+\frac{1}{2})(k-\frac{1}{2})(k-\frac{3}{2})...... (\frac{3}{2})(\frac{1}{2})}_{(k+1)개} \Gamma(1/2)} \times \frac{1}{2^k \underbrace{k(k-1)(k-2)(k-3).....(3)(2)(1)}_{(k)개}}\\ =&\frac{2}{(2k+1)(2k-1)(2k-3).......(3)(1)\Gamma(1/2)} \times \frac{1}{(2k)(2k-2)(2k-4)(2k-6).......(6)(4)(2)}\\ =& \frac{2}{\sqrt\pi(2k+1)!}\end{align}$$
Gamma함수에 $\frac{1}{2}$를 넣었을 때의 값이 기억이 나지 않으시나요?
헐ㅋㅋㅋㅋㅋ 그토록 복잡했던 감마함수가 갑자기 뙇 하고 정리가 되어버렸습니다. 이걸 다시 원래의 시그마에 가져가보자면…

$$\begin{align}& \left( \frac{x}{2}\right)^\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty\left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\frac{3}{2}) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k}\right) \\ =& \left(\frac{x}{2}\right) ^\frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k (x)^{2k} \frac{2}{\sqrt\pi(2k+1)!} \right)\end{align}$$
이제 $x$와 $2$를 적당히 맞춰서 배열해줍시다. 개수를 아주~잘~ 따라와야해요~
$$\begin{align}&=\frac{1}{\sqrt\pi x^\frac{1}{2}} \times \frac{2}{2^\frac{1}{2}} \times x \times \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k (x)^{2k} \frac{1}{(2k+1)!} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k x^{2k+1} \frac{1}{(2k+1)!} \right) \\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)\end{align}$$

기억을 되살려

이 식 어디서 본 느낌이 드나요? ㅋㅋㅋ 프로베니우스 할 때 했었던 식입니다. 그 때 구했던 $y_1$과 느낌이 많이 다른가요?ㅋㅋ 이번에는 $x$의 차수와 팩토리얼의 차수가 맞아서, 왠지 $\sin$으로 정리가 될 것만 같은 기분이라면 맞습니다. ㅎㅎㅎ
옛날의 포스팅에서 소개한 해 두개는 그것 때문에 나오는 겁니다^0^
$$\sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{(-1)^{k} x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right)$$
여기서 시그마가 붙어있는 부분은 $\sin x$의 급수전개형태입니다. 그러니…
$$J_\frac{1}{2} (x) = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x$$

$y_2$ 구하기 : reduction of order

벌써 까먹지는 않았죠? 이거입니다.
그러니,
$$y_2 = u(x) \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x$$
라고 두고 한 번 미분, 두 번 미분 해서 $u(x)$를 구하면 됩니다 ㅎㅎ 그건 여러분의 몫으로 남겨두고…저는 공식을 가져와서 빠르게 해결해보겠습니다 ㅎㅎㅎㅎ
$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$
이 식에서 2차 미분항의 계수를 1로 보내버리면
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x}\frac{dy}{dx} + \frac{(x^2 - \nu^2 ) }{x^2}y=0$$
즉, $p(x)=\frac{1}{x}$입니다. 그러니…
$$\begin{align}U&= \frac{1}{y_1^2} \exp(-\int p(x) dx )\\ &=\frac{\pi x}{2\sin^2 x} \exp(-\int \frac{1}{x} dx) \\ &= \frac{\pi }{2\sin^2 x} \end{align}$$
$U=\frac{du}{dx}$를 바로 대입해버리면,
$$\frac{du}{dx} = \frac{\pi}{2\sin^2 x} \\ u = \frac{\pi}{2} \int { \csc^2 x}dx =- \frac{\pi}{2} \cot x$$
여기서 $u$를 선택할 때는 상수는 신경쓰지 않고 함수의 형태만 신경쓰는 것이 일반적이니, $u= \cot x$를 선택해서 넣어주기로 합시다.그러면,
$$y_2 = \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\cos x$$
라는, 아주 간단한 식 하나를 얻게 됩니다.

결론

$$J_\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \sin x \\ J_{-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \cos x$$

이번 시간에는 급수형태로만 표현되는 줄 알았던 Bessel function의 직접적인 값을 구할 수 있는 특수한 경우를 직접 유도해 보았습니다. 이제 Bessel equation 의 식 자체에 대한 포스팅은 마무리 되었고, Bessel equation 의 미분, 적분 점화관계에 대한 것만 다루면 Bessel equation 이 마무리됩니다. 여기까지 따라오신 여러분 수고 많으셨습니다^^ 다음 포스팅에서는 조금은 간단한 주제와 함께 다시 만나요!