#4.series solution(4. Bessel's equation : 두 번째 해 구하기 - 제 2종 Bessel function)

그림 출처

어디까지왔니?

• 주의 : 식이 너무 길어서 인터넷 창을 작게 해두면 잘릴 수 있습니다! 브라우저 창 크기를 최대로 키워서 봐주세요~

Bessel equation

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function
  
  • 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
  • 4-2. $y_2$ 구하기
    
    • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
    • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
    • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu = \frac{1}{2}$
  • 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

베쎌을 빨리 마무리 짓고자 하는 저의 의지가 시험기간 1일 1포스팅을 가능케 하는군요 하하하핳
오늘 다룰 내용은 $\nu$가 정수일 때에 대한 이야기 입니다. 아래의 경우 중에서 1, 2번 경우를 해결하게 되는 날인데요, Frobenius 에서 썼던 이 방법 ㅠㅠ 을 사용할 겁니다. 다시 한 번 기억해보고 와요~

Remind

• Bessel Equation
  $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$

• 점화식
  $$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} \\ a_0 = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\frac{1}{2^\nu}\\a_1 =0$$

• $r$의 값

  1. 중근, $\nu=0$
  2. $\nu=$(정수)
  3. $\nu= \frac{1}{2}$
  4. 그 외의 경우

• $J_\nu$의 일반항
  $$y_1 = J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

• $\nu$가 4번 경우에 해당한다면
  $$y= c_1 J_\nu+ c_2 J_{-\nu}$$

• $\nu$가 정수라면
  $$J_{-\nu} = (-1)^\nu J_\nu$$

이걸 유도하지 못한다면 제발 다시 돌아가서!! 그리고 한 번 더 돌아가서!!!! 제대로 익히고 옵시다 ㅎㅎㅎ

$y_2$ : 이번에는 중근($\nu=0$)

항상 명심해야 하는 것은, ‘무엇을 구하고 있는가?’입니다. 워낙 식이 많고 유도가 길어서, 중간에서 길을 잃으면 곤란해요 ㅠㅠ

• 저저번 포스팅에서는 $y_1$을 구하는 방법을 알아봤습니다.
• 저번 포스팅에서는 $y_2$를 구하는 방법 중, $r$의 값이 4. 그외의 경우 인 케이스를 알아보았고, 그 결과는 ‘제 1종 Bessel function’으로 나타났습니다.
• 이번 포스팅에서는 $\nu=0$인 경우를 중심으로 제 2종 Bessel function의 대략적인 모양을 살펴보고, $\nu=$(정수)인 경우에 대한 이야기는 대충 넘어가...유도없이 사용하도록 하겠습니다.

이걸 기억하고 따라와보아요~
$$y_1 = J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

#1. 중근이니까…

여기에서 써먹었던 공식을 가져옵니다.

$$y_2 = y_1 \ln x + x^r \sum_{n=1}^\infty b_n x^n \\ b_n = \left. \frac{\partial a_n (r)}{\partial r}\right|_{r=r_1}$$
이제 공식을 써서 $a_n (r)$을 미분할 것이냐, 일일이 대입을 해볼 것이냐..의 기로에 서게 됩니다. 여러분은 후자를 더 귀찮아 할테니 제가 후자를 선택해보겠습니다 하하하…

#2. 대입, 한 번 미분, 두 번 미분

위의 식에 $y_1 = J_0$, $r=0$을 대입합시다.
$$y_2 = J_0 \ln x + \sum_{n=1}^\infty b_n x^n$$
$$\frac{dy_2}{dx} = \frac{dJ_0}{dx}\ln x + \frac{J_0}{x} +\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1}\\ \frac{d^2 y_2}{dx^2}= \frac{d^2 J_0}{dx^2}\ln x + \frac{2}{x}\frac{dJ_0}{dx} - \frac{J_0}{x^2} + \sum_{n=1}^\infty b_n n(n-1)x^{n-2}$$
이번에는 시그마 아래의 $n$이 정해져 있으니, $x^{n-2}$에서 0보다 작은 차수가 나와도 그대로 대입을 해줄 겁니다.

이대로 원래의 식에 대입을 해줘보면…

$$\begin{align}&x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} +x^2 y \\ =& x^2 \left( \frac{d^2 J_0}{dx^2}\ln x + \frac{2}{x}\frac{dJ_0}{dx} - \frac{J_0}{x^2} + \sum_{n=1}^\infty b_n n(n-1)x^{n-2} \right) \\ &+ x \left( \frac{dJ_0}{dx}\ln x + \frac{J_0}{x} +\sum_{n=1}^\infty b_n n x^{n-1} \right) + x^2 \left( J_0 \ln x + \sum_{n=1}^\infty b_n x^n \right)\\ =& \ln x \underbrace{ \left( x^2 \frac{d^2 J_0}{dx^2}+ x \frac{dJ_0}{dx} + x^2 J_0\right)}_{=0} + 2x \frac{dJ_0}{dx}-J_0 +J_0 \\ &+\sum_{n=1}^\infty (n(n-1) +n ) b_n x^n + \sum_{n=1}^\infty b_n x^{n+2} \\ =& 2x \frac{dJ_0}{dx} + \sum_{n=1}^\infty n^2 b_n x^n +\sum_{n=1}^\infty b_n x^{n+2} =0\end{align}$$

양변에 똑같이 곱해져 있는 $x$를 지웁시다.
$$2 \frac{dJ_0}{dx} + \sum_{n=1}^\infty n^2 b_n x^{n-1}+ \sum_{n=1}^\infty b_n x^{n+1} =0$$

이제 시그마의 시작항을 통일시켜줄 겁니다. 앞의 시그마는 $x^0$부터, 뒤의 시그마는 $x^2$부터 시작하니까 앞 시그마에 있는 첫 두항은 빼낸 다음, $n-2=s$ 치환을 합시다. 물론 뒤 시그마는 $n=s$ 치환!
$$\begin{align}& 2\frac{dJ_0}{dx} + b_1 + 4b_2 x + \sum_{n=3}^\infty n^2 b_n x^{n-1} + \sum_{n=1}^\infty b_n x^{n+1} \\ =& 2\frac{dJ_0}{dx} + b_1 + 4b_2 x + \sum_{s=1}^\infty (s+2)^2 b_{s+2} x^{s+1} + \sum_{s=1}^\infty b_s x^{s+1}\\ =& 2\frac{dJ_0}{dx} + b_1 + 4b_2 x + \sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} =0\end{align}$$

#3. 식 정리

이제 $J_0$를 한 번 미분해서 그대로 다시 한 번 대입합시다.
$$J_0 =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k}\right) = \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{(k!)^2} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k} \right)$$
$$\begin{align} \frac{dJ_0}{dx}& = \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{(k!)^2} \times (2k) \times \frac{1}{2}\times \left( \frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right) = \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k\frac{k}{(k!)^2}\left( \frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right) \\ &= \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right) \end{align}$$
이걸 대입!
$$\begin{align} & 2\frac{dJ_0}{dx} + b_1 + 4b_2 x + \sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} \\ =& \sum_{k=1}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right) + b_1 + 4b_2x + \sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} \end{align}$$

자 일단…. 손을 멈추고 잠시 생각해보면, 첫 번째 시그마는 $x$부터, 두 번째 시그마는 $x^2$부터 시작합니다. 즉 마찬가지로 $x$를 빼낸 다음 시그마를 한 번 더 합쳐줄 수가 있다는 소리겠죠?

$$\begin{align} =& -x+ b_1 + 4b_2 x + \sum_{k=2}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right)+\sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} \end{align}$$

일단 여기서 초항에 대한 조건 몇 가지를 얻을 수 있겠군요.
$$x^0 : b_1 =0 \\ x^1 : - 1 + 4b_2 =0 : b_2 = \frac{1}{4}$$

이제 홀수차 항/짝수차 항 각각에 대해서 정리를 좀 해줄겁니다. 시그마가 없는 애들은 적당히 해결이 되었으니, 시그마가 있는 애들을 끌고와서 좀 더 정리를 해봅시다.

주의 할 점 : ‘홀수차항’의 계수는 $b$아래에 짝수가 붙어있고, ‘짝수차항’의 계수는 $b$아래에 홀수가 붙어있습니다. 이걸 중간에 까먹으면 어리둥절 ㅠㅠ

#4. 홀수차 항, $b_{2k}$

$$\begin{align} =& \sum_{k=2}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right)+\sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} \end{align}$$
여기서, 첫 번째 시그마는 전부 홀수차 항이니까 손을 봐줄 필요가 없을겁니다. 즉 두 번째 시그마를 잘 치환해주면 된다는 건데, 이 치환은 $s=2t-2$부터 시작해보겠습니다. 항이 $x^2$부터 시작하니까, $t=2$부터 시작하겠네요!
$$\begin{align} =& \sum_{k=2}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right)+\sum_{t=2}^\infty ((2t)^2 b_{2t} + b_{2t-2} ) x^{2t-1} \\ =& \sum_{k=2}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k!(k-1)!} \frac{1}{{2}^{2k-1}} + (2k)^2 b_{2k} + b_{2k-2}\right)x^{2k-1} \end{align}$$

분자에 뻘쭘하게 남아있는 2를 처리해주고 나면, 홀수차 항에 대한 점화식은 이렇게 완성이 됩니다.
$$\left( (-1)^k \frac{2}{k!(k-1)!} \frac{1}{{2}^{2k-1}} + (2k)^2 b_{2k} + b_{2k-2}\right)=0 (k\geq 2)\\ b_2 = \frac{1}{4}$$

이제 다시 정리를 시작하면…
$$\begin{align} b_{2k} &= -\frac{1}{(2k)^2}b_{2k-2} - (-1)^k \frac{1}{(k!)^2 \times k}\frac{1}{2^{2k}}\end{align}$$

별로 풀고 싶은 점화식은 아니죠?ㅋㅋㅋㅋ 풀 수 있는 분들은 풀어보시는거로 하고….. 결과적으로는
$$b_{2k} = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k} (k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... \frac{1}{k} \right)$$
그대로 다시 대입해도 결과가 나오는 모습을 볼 수 있습니다.

#5. 짝수차 항, $b_{2k-1}$

$$\begin{align} =& \sum_{k=2}^\infty \left( (-1)^k \frac{2}{k! (k-1)!} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k-1} \right)+\sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} \end{align}$$
이번에는 첫 번째 시그마가 통째로 날아갑니다. 즉, 두번째 시그마만 보면 된다는 것!
$$\sum_{s=1}^\infty ((s+2)^2 b_{s+2} + b_s ) x^{s+1} =0$$
그런데 점화관계에서 알 수 있듯이, $b_s$와 $b_{s+2}$는 서로 관계가 있습니다. 즉, $b_1=0$ 이었기 때문에 나머지가 전부다 0으로 날아간다는 소리! 즉, 짝수차 항의 계쑤인 $b_1, b_3, b_5, ......$는 전부 0이라는 거죠..

#6. $y_2$

$$y_2 = J_0 \ln x + \sum_{n=1}^\infty b_n x^n$$
여기에,
$$b_{2k} = \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k} (k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... \frac{1}{k} \right)$$
를 넣으면,
$$y_2 = J_0 \ln x + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k} (k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... \frac{1}{k} \right) \right) x^{2k-1}$$
이 되냐구요?ㅋㅋㅋㅋㅋ
잊지 말아야 할 것 : 원래 식에 대입하는 $b_n$은 $x^n$의 계수이고, 우리가 #3~#5에서 한 건 그냥 간단히 식을 조작하는 과정이었습니다. 즉, $x$는 $x^{2k}$로 들어가야겠죠! 제대로 집어넣은 다음 처음 몇 항만 전개시켜보면 아래와 같습니다.
$$\begin{align}y_2 &= J_0 \ln x + \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{(-1)^{k-1}}{2^{2k} (k!)^2} \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... \frac{1}{k} \right) \right) x^{2k}\\ &=J_0 \ln x + \frac{1}{4} x^2 - \frac{3}{128} x^4 + \frac{11}{13824} x^6 + .... \end{align}$$

#7. $\gamma$

뭐가 또 남았냐구요? ㅋㅋㅋ
식에서 보면 굉장히 꺼림칙한 부분이 하나 있습니다. 바로 여긴데요,
$$1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + .... +\frac{1}{m}$$
이걸 우리는 이제 $h_m$이라고 부를 겁니다. 또한….
$$\lim_{m \to \infty}(h_m - \ln m) =\gamma$$
라고 정의를 할 거고, 이 때 $\gamma$ 를 Euler constant라 부르기로 약속합니다.

$Y_0$ : 제 2종 Bessel function

여기서부터는 나중에 쓰기 편하게 Bessel function의 계수를 설정하는 과정인데요, 나중에 ……$Y$를 쓰는 경우는 거의 못봤으니 과감히 유도를 생략하고 ‘받아들이도록’ 하겠습니다 ㅎㅎㅎㅎ

이제 우리는 두번째 해인 $y_2$와, 첫 번째 해인 $J_0$를 알 고 있습니다. 그런데 수학자들은 또 이걸 그대로 놔두지를 않고, ‘나중에 쓸 때 편리한’ 계수를 선택하고 적당히 모양을 조작해서, 그것을 두 번째 해라고 정의합니다. 그것이 무엇인고 하니…
$y_2$가 두 번째 해가 아니라, $y_2$와 $J_0$를 적당히 조합한 이런 모양의 식이 두 번째 해라는 겁니다.

$$\frac{2}{\pi} \left[ J_0 (x) \left( \ln \frac{x}{2} + \gamma\right) + \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1} h_m}{2^{2m} (m!)^2} x^{2m}\right]$$
좀 더 알아보기 쉽게 말하자면 두 번째 해를 $a(y_2 + bJ_0)$으로 정의한 다음, 상수를 이렇게 정의한 겁니다.
$$a= \frac{2}{\pi} , b= \gamma - \ln 2$$
왜 이렇게 했는지에 대한 건 묻지 않는 거로 하고….
여튼, 저렇게 정의된 식을 우리는 제 2종 Bessel function 이라고 할 겁니다. 그런데 지금 구한 해는 $\nu=0$인 특수한 경우죠? 일반적인 경우에 대한 식 전개는 바로 아래에서 하기로 합시다.

$$Y_0(x) = \frac{2}{\pi} \left[ J_0 (x) \left( \ln \frac{x}{2} + \gamma\right) + \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1} h_m}{2^{2m} (m!)^2}x^{2m} \right]$$

$y_2$ : 이번에는 정수차 두 근

이번에는 중근인 $\nu=0$을 넘어서서, 두 근이 0아닌 정수인 경우에 대한 $Y$를 구하진 않고, 그냥 이렇다~고 받아들일 겁니다.

$$Y_0(x) = \frac{2}{\pi} \left[ J_0 (x) \left( \ln \frac{x}{2} + \gamma\right) + \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1} h_m}{2^{2m} (m!)^2} x^{2m}\right]$$
에서 식이 살짝 변형이 된 모습인데요,
$$Y_n(x) = \frac{2}{\pi} J_n (x) \left( \ln \frac{x}{2} + \gamma \right) + \frac{x^n }{\pi} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^{m-1} (h_m + h_{m+n} ) }{2^{2m+n} m! (m+n)!}x^{2m} - \frac{x^{-n}}{\pi}\sum_{m=0}^{n-1} \frac{(m-1)!}{2^{2m-n} m!}x^{2m}$$
꺄하하 여긴 미쳤어

그런데, 정수가 아닌 경우에도 이걸 정의할 수 있습니다. 그냥 받아들입시닿ㅎㅎㅎ

$$Y_\nu (x) = \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$
물론 $\nu$가 정수라면 분모가 0이 되어버리니, 이걸 해결하기 위해 정의를 하자면…..
$$Y_n (x) =\lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu (x) \cos \nu \pi - J_{-\nu} (x)}{\sin \nu \pi}$$
그냥 ‘받아들이고’ 넘어가는 거로 합시다 ㅎㅎㅎㅎ 이렇게 정의가 되는구나~ 정도?ㅋㅋㅋ
어쨌든, 여기서 주목할 것은 $\nu$가 꼭 정수가 아니더라도 사용할 수 있는, 정말 아무 신경 안쓰고 쓸 수 있는 또 하나의 기저를 ‘정의’ 했다는데에 있습니다. 즉, $\nu$의 경우에 따라서 $J$를 쓰고 $Y$를 쓰는 것이 아니라, 그냥 일반적으로 정의되는 다른 해 하나를 더 정의한 거죠!

Bessel equation 의 일반해

이전 포스팅에서는, $\nu$가 ‘그 이외의 경우’에 속한다면 Bessel equation 의 해는
$$y= c_1 J_\nu (x)+ c_2 J_{-\nu} (x)$$
로 쓸 수 있다고 말했습니다. 그런데 이건 $\nu$가 정수면 무용지물인 식이죠.

Bessel equation 의 해에서 가장 일반적인 케이스로, 이렇게 정의를 할 겁니다.
$$y = c_1 J_\nu (x) + c_2 Y_\nu (x)$$

이렇게 Bessel equation 의 일반적인 해를 구하기 위한 고군분투가 마무리 되었습니다ㅎㅎㅎㅎㅎ

예습

은 필요없고, 오늘 배운 것을 복습만이라도 제대로 해봅시다 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠㅠ 정말정말 힘든 여정이었죠?ㅋㅋ 그리고 중간에 저의 지식의 부재 및 포스팅 길이 조절으로 인한 뛰어넘음과 ‘받아들임’이 많았습니다. 그만큼 Bessel function은 쉽게 다가가기 힘들고, 만만하게 볼 내용이 아니기 때문에 차근차근 해석을 해야 합니다 ㅋㅋ

다음시간에는, $r_1 - r_2$가 정수인 경우 중에서 $r_1, r_2$가 정수인 경우(오늘 살펴본 경우) 말고, $r_1 , r_2$가 $\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ....$로 정의될 때의 계산을 해볼 겁니다. 그리고 오늘 얻은 ‘정말 일반해’와 비교도 해볼거구요~

그럼 다음 포스팅에서 봅시다!