#4.series solution(4. Bessel's equation : 두 번째 해 구하기 - 제 1종 Bessel function)

그림 출처

어디까지왔니?

• 주의 : 식이 너무 길어서 인터넷 창을 작게 해두면 잘릴 수 있습니다! 브라우저 창 크기를 최대로 키워서 봐주세요~

Bessel equation

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function

  • 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
  • 4-2. $y_2$ 구하기
    
    • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
    • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
    • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu = \frac{1}{2}$
  • 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

  이전 시간의 식 정리를 하지 못한다면 다시 돌아보고 옵시다. ㅋㅋ 매우매우 중요한 과정이었습니다. $a_0$을 어떻게 정의했고, $J_\nu$의 일반항이 뭐였는지 가뿐히 암기해주는 예의정도는!

Remind

• Bessel Equation
  $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$

• 점화식
  $$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} \\ a_0 = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\frac{1}{2^\nu}\\a_1 =0$$

• $r$의 값

  1. 중근, $\nu=0$
  2. $\nu=$(정수)
  3. $\nu= \frac{1}{2}$
  4. 그 외의 경우

• $J_\nu$의 일반항
  $$y_1 = J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

이걸 유도하지 못한다면 제발 다시 돌아가서!!제대로 익히고 옵시다 ㅎㅎㅎ

$y_2$ : 이번에도 제 1종 Bessel function

항상 명심해야 하는 것은, ‘무엇을 구하고 있는가?’입니다. 워낙 식이 많고 유도가 길어서, 중간에서 길을 잃으면 곤란해요 ㅠㅠ

• 저번 포스팅에서는 $y_1$을 구하는 방법을 알아봤습니다.
• 이번 포스팅에서는 $y_2$를 구하는 방법 중, $r$의 값이 4. 그외의 경우 인 케이스입니다.

이걸 기억하고 따라와보아요~

#1. ~#3. 정리, 점화식

여기까지는 저번 포스팅과 똑같습니다. 매 포스팅 마다 반복하기 싫어서 아예 $r$에 대한 일반항을 구해두었죠.

$$a_{2k} =\frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2}\\ a_1 =0$$

이번에는 $r=\nu$대신, $r= -\nu$를 대입해 주고 계산을 할 겁니다. 조금만 더 정신을 차리고 따라와 봅시다 ㅎㅎ

#4. $r_2 = -\nu$

$$a_{2k} =\frac{-1}{(2k)(2k-2\nu)} a_{2k-2} = \frac{-1}{2 \times 2 \times (k)(k-\nu)}a_{2k-2} = \frac{-1}{2^2 (k)(k-\nu)} a_{2k-2}$$

마찬가지로, $k$를 바꿔가면서 대입을 하고 싶습니다만….뭔가 모르게 $k-\nu$가 거슬립니다. 0보다 작아지면 어쩌지….하는 불안감?

일단 지금은 그런 생각을 접어두고, 계속 대입한 다음 결과의 식을 보고 판단해봅시다. 지금 보려면 골치가 아프군요 ㅠㅠ

$$\begin{align} a_{2k} & = - \frac{1}{2^2 (k)(k-\nu)} a_{2k-2} \\ a_{2k-2} &= - \frac{1}{2^2 (k-1) (k-1-\nu)}a_{2k-4} \\ a_{2k-4} &= - \frac{1}{2^2 (k-2-\nu)(k-2)}a_{2k-6} \\ &....\\a_4 &= -\frac{1}{2^2 (2-\nu)(2)}a_2 \\ a_2 &= -\frac{1}{2^2 (1-\nu) (1)}a_0\end{align}$$

정말 제대로 하려면 $k-2-\nu$가 0보다 작아지는 항부터는 계산을 안하는게 맞습니다만….일단은 편의상 그냥 쭉 곱해보자는 겁니다 ㅎㅎ

#5. 점화식

식을 쭉~ 곱해봅시다.
$$a_{2k} = (-1)^k \frac{1}{2^{2k} [(k-\nu)(k-1-\nu)(k-2-\nu)...(2-\nu)(1-\nu)][k(k-1)(k-2)...(2)(1)]}a_0\\=(-1)^k \frac{1}{2^{2k} (k-\nu)(k-1-\nu)...(2-\nu)(1-\nu))} \frac{1}{k!}a_0 (k \geq 1)$$

예전에는 초항을 이렇게 정의했지만,
$$a_0 = \frac{1}{[\nu(-1+\nu)(-2+\nu) .... (1) ]} \frac{1}{2^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)} \frac{1}{2^\nu}$$

이번에는 이렇게 정의해줄겁니다.
$$a_0 = \frac{1}{[(-\nu)(-1-\nu)(-2-\nu) .... (1) ]} \frac{1}{2^{-\nu}} = \frac{1}{\Gamma(-\nu+1)} \frac{1}{2^{-\nu}}$$
굳이 유도를 하지 않아도 알아서들 잘 할 수 있으시리라 믿고 대입한 결과만 써보면……
$$a_{2k} = (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k-\nu+1)}\frac{1}{k!}\frac{1}{2^{2k-\nu}}$$
이렇습니다.

#5-1. 그런데!

$\Gamma$ function 안에 들어가 있는 놈이 이번에는 음수가 될 가능성도 있습니다. 분명히, $\Gamma(z)$에서 $z>0$이라고 정의를 해두었는데 말이죠 : 기억이 나지 않으시는가..
이번에는 $k$에 특정한 조건이 붙어야만 가능합니다.
$$k-\nu+1>0$$
인 정수 $k$부터 합을 시작해주어야 한다는 것! 즉 $k>\nu-1$인 정수여야 합니다. 이것을 $N$이라고 설정해 둡시다.

#6. 원함수

$y_1$은 이렇게 정의를 했고, 이건 $y_2$에서도 변함이 없습니다.

$$\sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$

다만 시그마 아래에서 시작하는 부분이 다르다는 것!

$$\sum_{k=N}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k-\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k-\nu}\right)$$

아주 미묘한 차이가 느껴지나요? 이것이 바로 수학의 묘미....

아래에 있는 저놈도 어쨌거나, 제 1종 베셀함수와 동일한 유도과정을 통해 얻은 놈입니다. 그러니 $J_{-\nu}$라는 이름을 붙여주는 거죠. 즉, Bessel equation의 두 가지 해는 $J_\nu$와 $J_{-\nu}$가 되겠습니다. 이제 superposition principle(이 뭔지 기억이 나지 않는다면…)을 적용하면, 최종적으로 아래와 같은 결론을 쓸 수 있습니다.

• $\nu$가 (그 이외의 경우)에 해당하면, Bessel equation 은
  $$y=c_1 J_\nu (x) + c_2 J_{-\nu}(x)$$
  를 일반해로 갖는다.

예습

이게 여기서 끝나면 Bessel 이 이렇게 어렵지는 않을텐데 말이죠 ㅠ 위에서 멋있게 정리를 했던 저건, $\nu$가 정수도 아니고 $\frac{1}{2}$꼴도 아닐 때의 상황입니다.

만약에 정수라면 어떤 대참사가 발생하느냐,
$$y_2 =\sum_{k=N}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k-\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k-\nu}\right)$$
$y_2$의 시작지점인 $k=N$이 $k=\nu$가 되어버립니다…ㅎㅎ 즉,

$$y_2= \sum_{k=\nu}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k-\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k-\nu}\right)$$
이러면 어떤 문제가 생기냐 : $k-\nu=s$로 치환을 시도해볼까요?

$$y_2 = \sum_{s=0}^\infty \left( (-1)^{s+\nu} \frac{1}{\Gamma(s+1)\times (s+\nu)!}\left( \frac{x}{2} \right)^{2s+\nu}\right) \\ = (-1)^\nu \sum_{s=0}^\infty \left( (-1)^s \frac{1}{s! (s+\nu)!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2s+\nu} \right)$$

뒤에 있는 친구의 모양이 익숙한가요? $J_\nu$를 끌고 와볼까요?ㅋㅋ

$$J_\nu = \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}\right)$$
어..어라!
$$y_2 = (-1)^\nu J_\nu$$
즉, 신나게 $J_{-\nu}$라고 정의해 놓은 녀석이 막상 알고봤더니 $J_\nu$랑 똑같이 생긴 놈이었다는 겁니다. ㅠㅠ그래서 $\nu$가 정수인 경우에는 다른 방법으로 해를 구해주고, 이것을 제 2종 베셀함수라고 부를 겁니다.

다음 포스팅에서 계속 해보도록 합시다. 뿅!