#4.series solution(4. Bessel's equation : 들어가기 전에)

이미지출처: 이분이 바로 베쎌!

어디까지왔니?

드디어 Frobenius 를 끝내고 Bessel equation, Bessel Function 에 들어왔습니다. Bessel 에 대한 포스팅은 아래의 순서로 이루어질 예정이구요, 하나씩하나씩 링크를 걸어나갈 예정입니다. ㅎㅎ

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function
• 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
• 4-2. $y_2$ 구하기
  
  • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
  • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
  • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu = \frac{1}{2}$
• 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

Legendre에 비해서 좀 내용이 많죠? ㅎㅎㅎ Legendre는 비교적 정리에 어려움이 없었다면, Bessel 은 Frobenius에서 두 근의 차가 ‘정수’인 경우에 대한 경우 때문에 조금 더 따져줘야 할 경우가 많습니다 ㅠ

이번 포스팅에서는, Bessel 에 들어가기 전에, 많이 쓰이게 될 Gamma Function 에 대한 이야기를 아주 간단하게 하고 넘어가도록 하겠습니다!

Gamma function

#1. 왜 필요한가?

팩토리얼, 한글로 ‘계승’의 정의를 모르는 공대생은 아마 없을 겁니다. 항상 수학귀신에서는 쾅!이라고 표현하기도 하는 느낌표!
우리의 기억속에는 항상, $4!, 5!$이런 식으로, 정수의 팩토리얼만을 계산했을 겁니다. 수학자들은 이제 ‘왜 정수의 팩토리얼 만을 계산해야하느냐!’라는 의문을 갖기 시작했고, 이에 $\frac{1}{2} !$이런 애들을 정의하고 싶어하기 시작했습니다. ㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 그래서 나오게 된 Gamma function 이라는 것을 염두에 두고, ‘아 이런 과정이!’하는 느낌을 받으시면 되겠습니다!

#2. 정의

Gamma function 을 정의하는 방식은 여러가지가 있습니다.이 때 주의할 점은, 안에 들어가는 z라는 문자는 모두 '0보다 크다'는 것! 나중에 다시 나타날 겁니다ㅎㅎ

1. 오일러 적분을 이용
   $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt$$

2. 오일러 극한을 이용
   $$\Gamma (z) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \times 2 \times ... \times n}{z (z+1)(z+2) ..(z+n)} n^z$$

3. 바이어슈트라스 무한 곱
   $$\Gamma(z) = \frac{1}{z e^{\gamma z}} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{z/n}}{1+z/n}$$

굳이 이 세 가지 정의를 다 숙지할 필요는 없습니다. 그냥 멋있어 보이려고 전 세 가지를 다 적은거니까…ㅎㅎㅎ
가장 중요한 것은 1번 정의입니다. 1번 정의를 잘 이용하면 우리가 흔히 보는 팩토리얼의 성질까지 유도해 낼 수 있습니다. 바로 다음에서 살펴볼까요?

#3. 성질

• 재귀관계
  $$\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t} t^{z-1} dt$$

이 정의에서, 부분적분을 사용해봅시다. 즉,
$$\pmatrix{u'&v \\u & v' } = \pmatrix{ e^{-t}&t^{z-1} \\ -e^{-t} & (z-1)t^{z-2} }$$
요렇게 놓고 부분적분을 먹여보면!
$$\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1} dt = \left[ -e^{-t} t^{z-1}\right]_0 ^\infty + \int_0^\infty (z-1) e^{-t} t^{z-2}$$
그런데, 로피탈 정리를 이용하면
$$\left[ -e^{-t} t^{z-1}\right]_0 ^\infty =0$$
인건 쉽게 얻을 수 있을 겁니다. 그렇다면, 정의에 의해
$$\int_0^\infty (z-1) e^{-t} t^{z-2} = (z-1)\Gamma(z-1)$$
이렇게 표현됩니다. 즉,
$$\Gamma(z)= (z-1)\Gamma(z-1)$$ 이고, 문자를 살짝 바꾸면
$$\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$$
이런 성질을 가지고 있음을 보일 수 있습니다.

• 대칭공식

또한 gamma function 은 아래와 같은 관계를 가집니다.
$$\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$
굳…굳이 증명을 하자면 위에서 정의한 바이어슈트라우스 무한 곱을 이용한 증명이 가능합니다! 이건 어디까지나 참고용으로(혹은 교수님이 숙제를 내주신다면…ㅋㅋㅋ) 짚고 넘어가 봅시다.
$$\Gamma(z) = \frac{1}{z e^{\gamma z}} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{z/n}}{1+z/n} \\ \Gamma(-z) = \frac{1}{-z e^{-\gamma z}} \prod_{n=1}^\infty \frac{e^{-z/n}}{1-z/n}$$
양변에 역수를 취해서 곱하면
$$\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)} = -z^2 e^{\gamma z} e^{-\gamma z} \prod_{n=1}^\infty \left( \frac {(1+z/n)(1-z/n)}{e^{z/n} e^{-z/n}} \right)$$
지워지는 아이들은 모두 지워버립시다.
$$\frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(-z)} = -z^2 \prod_{n=1}^\infty \left( 1- \frac{z^2}{n^2} \right)$$
이 때, 재귀관계에 의해
$$\Gamma(-z) = -\Gamma(1-z)/z$$
이고, 이것을 대입하면
$$\frac{-z}{\Gamma(z) \Gamma(1-z)} = -z^2\prod_{n=1}^\infty \left( 1- \frac{z^2}{n^2} \right) \\ \frac{1}{\Gamma(z)\Gamma(1-z)} = z\prod_{n=1}^\infty \left( 1- \frac{z^2}{n^2} \right)$$

이렇게 정리가 될 겁니다. 그런데, 정말 유명한 무한급수의 성질을 이용해서 좌변을 변형시킬겁니다. 여기를 가면 나와있군요!
즉, 위 식의 우변은 $\frac{\sin(\pi z)}{\pi}$ 로 정리가 될겁니다. 이제 다시 역수를 취하면,
$$\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$$

• $z= \frac{1}{2}$일 때의 값 구하기
  $$\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^\infty e^{-t} t^{-\frac{1}{2}} dt$$

이런 공식을 얻게 됩니다 ㅎㅎㅎ

의 값은 비교적 간단한 치환을 통해 구할 수도 있고, 반사 공식을 이용해도 됩니다. 물론 직접 구해도 되지만, 이 값 정도는 암기해두어도 괜찮을 것 같네요 :)
반사공식에 $z= \frac{1}{2}$를 대입해봅시다.
$$\left( \Gamma (\frac{1}{2})\right)^2 = \pi$$
즉 $\Gamma(z)=\sqrt\pi$를 얻는군요.

준비 완료!

이제 여러분은, Bessel function 을 풀면서 Gamma function 이 갑자기 튀어나와도 당황할 필요 없이 링크를 누르시면 됩니다 ㅎㅎ
배경지식을 모두 배웠으니, 이제 다음 포스팅 부터 본격적으로 Bessel 을 깨부수러 가봅시다. 화이팅!