#4.series solution(3. Frobenius method : 번외편, 마지막)

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어디까지왔니?

Frobenius method

• 3-1 : 기초적인 방법
• 3-2 : 문제 풀이(정리가 되지 않는 경우)
  
  • 3-2-1. 중근을 가지는 경우
  • 3-2-2. $r_1 - r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우
    
    • 첫 번째 예제 : $\ln x$항이 남아있는 경우
    • 두 번째 예제 : $\ln x$항이 지워지는 경우
  • 3-2-3. $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근을 가지는 경우
• 3-3. 문제 풀이(정리가 되는 경우)
  
  • 3-3-1. 중근을 가지는 경우
  • 3-3-2. $r_1−r_2$가 정수인 두 근을 가지는 경우

드디어 모든 항목이 완성되었습니다. 이제 따로 카테고리를 만들기 귀찮……아니 만들기 애매해서 ㅋㅋ 하지 않았던 이야기들을 한 다음 베셀로 넘어가 보려 합니다 ㅎㅎ 물론 이 내용들에는 수학적인 지식이 좀 더 ‘많이’ 필요하니, 순수하게 ‘공학적 수단’으로만 frobenius를 사용하시려는 분들은 그냥 넘어가셔도 괜찮겠습니다!하지만 이렇게 열심히 적었는데 그냥 넘어가겠어...

정리

• Frobenius method는,
  $$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{b(x)}{x} \frac{dy}{dx} + \frac{c(x)}{x^2 } y=0$$ 요렇게 생긴, $b(x), c(x)$가 $x=0$에서 analytic 할 때 적용할 수 있는 방법이었습니다.

이걸 앞에서 배웠던 series solution과 관련지어 엄밀히 쓰자면,
$$P(x) \frac{d^2 y}{dx^2} + Q(x)\frac{dy}{dx} + R(x) y=0$$
이런 식에서, $P(x)$가 $0$이 되는 point를 singular point라고 하고, $0$이 되지 않는 point를 ordinary point라고 합니다. ordinary point인 경우에는 양변을 $P(x)$로 나눠서
$$\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{Q(x)}{P(x)} \frac{dy}{dx} + \frac{R(x)}{P(x)} y =0$$
요렇게 해버리면, power series solution으로 손쉽게(??) 구할 수 있습니다.
singular point에서는 일단 풀기가 힘들지만, 그 중에서 특히 아래의 두 값이 존재하는 point를 regular singular point라 부르고, 이 경우에 대해서는 frobenius method를 적용시킬 수 있습니다.

• $$\lim_{x \to 0} x \times \frac{Q(x)}{P(x)}$$
• $$\\ \lim_{x \to 0} x^2 \times \frac{R(x)}{P(x)}$$

처음 나왔던 식의 양변에 $x^2$를 곱하면
$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} +b(x)x \frac{dy}{dx} + c(x) y=0$$
이렇게 되고, 이 식에 대해서 위의 두 값이 존재하는지, 즉 analytic 한지 따져보면 OK라는 것을 금방 알 수 있습니다.

왜 $x^r$인가?

직전 포스팅에서 오일러-코시를 풀었던 기억을 하나요?ㅎㅎ 바로 위에서 쓴 저 식이 뭔가 닮아있는걸 눈치챘을 겁니다. $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} +p_0 x \frac{dy}{dx} + q_0 y=0$$
요렇게 만들고 보니 옛날에 배웠던 오일러 코시랑 똑같이 생겨있네요. Frobenius는 이걸 잘 살펴보고 있다가, 이 방정식도 regular singular point를 갖고, 이놈의 해는 $x^r$로 정의되는데, 이걸 어떻게 잘 끌고 올 수 없을까 고민을 합니다. 그리고 마침내 1874년에 논문을 발표하게 되죠.

만약, $b(x) = p_0 + p_1 x+ p_2 x^2 + p_3 x^3 + .....$, $c(x) = q_0 +q_1 x+ q_2 x^2 + q_3 x^3+.....$ 의 급수 형태로 표현된다고 한다면, 오일러 코시는 저 두 급수의 초항만 존재하는 아주 특이한 케이스입니다. 그래서 $b(x), c(x)$도 뒤에 뭔가 더 붙는데 $y= x^r$뒤에도 뭔가 더 붙이면 되지 않을까 싶어서 $x^r (a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + a_3 x^3 + ...)$요런식으로 해본 다음 이론을 펼쳐나가게 되는 겁니다. 저걸 시그마로 묶어버리면 여러분이 그토록 많이 썼던
$$y= x^r \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$
요 모양이 나옵니다.

물론 논문에는 이 가정만 있지는 않고 엄밀한 증명이 있겠지만……….그거까지 가면 공학수학의 범위를이라고 쓰고 제 뇌용량의 한계를 이라고 읽.....벗어난다는 판단하에, 그냥 $x^r$은 오일러 코시를 잘 보다가 나온 애구나~ 라고 판단해 주시면 되겠습니다. ㅎㅎㅎ 미분방정식 책(William E. Boyce & Richard C.Diprima, Elementary differential equations and Boundary value problems, 10th Ed., p.283)을 찾아봐도

• The general theory was constructed by Frobenius and is fairly complicated. Rather than trying to present this theory, we simply assume, in this and the next two sections, that there does exist a sloution of the stated form.

이러고 넘어가는군요 ㅎㅎㅎ ㅠㅠㅠ

왜 $r_1 -r_2$인가?

자 그러면 이제, $r_1 -r_2$가 정수인게 왜 그렇게 중요한지를 알아보도록 합시다.

#1. 일단 대입해보기!

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} +b(x)x \frac{dy}{dx} + c(x) y=0$$
이식을 다시 가져온 다음, $b(x), c(x)$를 그대로 급수전개를 시킵니다. 아 벌써부터 ...
$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} +x \left( \sum_{m=0}^\infty p_m x^m \right) \frac{dy}{dx} + \left( \sum_{m=0}^\infty q_m x^m \right) y=0$$
그리고 나서 그 유명한…

$$y= \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r} \\ \frac{dy}{dx} = \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r) x^{m+r-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} = \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r)(m+r-1) x^{m+r-2}$$

이걸 때려넣으면 됩니다 하하
$$\sum_{m=0}^\infty a_m (m+r)(m+r-1) x^{m+r} + \left( \sum_{m=0}^\infty p_m x^m \right) \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r) x^{m+r} + \left( \sum_{m=0}^\infty q_m x^m \right) \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r}=0$$

ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ 차근차근….ㅎㅎㅎㅎ 인내심을 갖고 전개해봅시다. 시그마를 하나하나 따로 전개!

• $$\sum_{m=0}^\infty a_m (m+r)(m+r-1) x^{m+r} = a_0 r(r-1)x^r + a_1 (r+1)r x^{r+1} \\+ a_2 (r+2)(r+1) x^{r+2}$$
• $$\left( \sum_{m=0}^\infty p_m x^m \right) \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r) x^{m+r} = [p_0 + p_1x + p_2 x^2 + ...] \times \\ [a_0 r x^r + a_1 (r+1)x^{r+1} + a_2 (r+2) x^{r+2} + ...]$$
• $$\left( \sum_{m=0}^\infty q_m x^m \right) \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r} = [q_0 + q_1x + q_2x^2 + ...] \times \\ [a_0 x^r + a_1 x^{r+1} + a_2 x^{r+2} + ..]$$

#2. 정리하려고 노력해보기!

이걸 다시 $x$의 차수에 따라 묶어보자면
$$x^r : a_0 r(r-1) +a_0 p_0 r + a_0 q_0 = a_0 (r(r-1) + p_0 r+ q_0)$$
잠깐… 이 모양은 매우매우 자주 나올테니 이걸 이렇게 정의하고 넘어갑시다.
$$x^r : a_0 r(r-1) +a_0 p_0 r + a_0 q_0 = a_0 (r(r-1) + p_0 r+ q_0) = a_0 F(r)$$

그런데, 우리는 $x^r$, 즉 최저차항이 0이 되도록 하는 $r$의 값을 구해야 하니까, $F(r)=0$이 되는 $r_1 , r_2(r_1 >r_2$를 찾아 놨다고 가정하고, 마저 진행해봅니다.

$$x^{r+1} : a_1 (r+1)r + a_0 p_1 r+ a_1 p_0 (r+1) + a_0 q_1 + a_1 q_0 \\ = a_1 ((r+1)r+ p_0 (r+1) + q_0) + a_0 (p_1 r+ q_1)\\ = a_1 F(r+1) + a_0 (p_1 r + q_1) \\ x^{r+2} : a_2 F(r+2) + a_0 (p_2 r + q_2 ) + a_1 (p_{r+1} + q_1)$$
일반항이 이정도로 나올거라는건 우리 엔지니어들의 직감이라면!

$$x^{r+n} : a_n F(r+n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_k [(r+k) p_{n-k} + q_{n-k}]$$

ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ

#3. $F(r)$에 대한 관찰

무슨 얘기를 하고 싶느냐!
중근이 나온 경우는 잠시 접어두고…
$r_1, r_2$의 두 근을 구했다면 뭐 이렇게 각각의 항의 계수를 구해나갈 겁니다.
$$x^{r_1 +n} : a_n F(r_1 +n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_k [(r_1+k) p_{n-k} + q_{n-k}] \\ x^{r_2+n} : a_n F(r_2+n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_k [(r_2+k) p_{n-k} + q_{n-k}]$$
점화식의 모양을 잘~ 관찰하면 눈치채시겠지만, $a_n$을 구하려면 $a_0$부터 $a_{n-1}$까지의 모든 항을 알고 있어야 합니다. $n=0$은 어차피 다 0으로 날아갈거니까, $n=1$부터 넣어서 점화식을 구할겁니다.

이 방법을 적용하면, $r_1$에 대해서는 아무런 문제가 없습니다. $r_1$을 더 큰 해라고 정의했으니, $r_1+n$을 한다고 해서 $F(r_1 + n)$이 $0$이 되는 일, 즉 $r_1 + n= r_2$가 되는 일은 없을테니까요.

그런데 $r_2$를 넣었을 때는 문제가 발생합니다. 만약 $r_1 - r_2$의 값이 정수가 아니라면 아무래 $r_2$에 정수 $n$을 더해도 $r_1$이 되지는 않습니다. 하지만 둘의 차가 정수, 즉 $r_1 -r_2 =N$이라면, $F(r_2 +N)= F(r_1) = 0$라는 황당한 결과가 나옵니다. $a_1, a_2, a_3, .... a_{N-1}$ 까지는 다 잘 구해지다가, $a_N$을 구하려고 대입을 해보니…
$$x^{r_2+N} : \underbrace{a_n F(r_2+n)}_{=0} + \sum_{k=0}^{N-1} a_k [(r_2+k) p_{n-k} + q_{n-k}]$$
$a_N$부터는 구할 수가 없습니다. 쥬르륵…… $r_1$보다 높은 차수의 항에 대한 항이 나오질 않는군요. 그래서 이런 점화관계를 이용하지 않고, 다른 방식의 풀이를 열심히 열심히 수학자들이 찾는 겁니다.

너무 복잡한가요? 단순히 말하자면, $r_2$에 대한 점화식은 $r_1 - r_2 =N$이 되는 경우, $r_2 + N$보다 큰 항에 대한 $a_n$을 구할 수가 없기 때문에 다른 방법을 찾는 겁니다.

제가 위에 서술한 같은 책에서는 이 경우에 다른 해를 찾는 방법을 두 가지 정도 제시하고 있는데,

1. reduction of order를 적용한다
   이건 물론 해가 깔끔하게 정리되는 특수한 경우겠죠?ㅎㅎㅎ
2. 공식을 적용한다.

ㅋㅋㅋㅋㅋ도움이…되나요?

Frobenius를 마치며

사실 Kreyzig 아저씨의 책을 보면서 Frobenius를 어렵다고 느끼는 가장 큰 이유는, 책에는 공식을 엄청 복잡하게 써두고, 예제는 전부 reduction of order를 먹일 수 있는 애들인데, 연습문제는 과정을 알려주지도 않고 $A_0$…이런 애들을 구하고 있기 때문인 것 같아요.ㅋㅋㅋㅋ 저도 한 때 배우면서 이것 때문에 엄청 고생을 했기 때문에, 공부한다는 마음가짐으로 좀 더 깊게 연구를 해봤습니다.

사실 공식이 어떻게 유도되는지에 대해서는 과도한 수학적 지식을….요구하기 때문에 생략했습니다. 물론 어떤 식으로든 방법은 있겠지만, 우리는 수학을 도구로 사용하는 공대생이기 때문에 중요한 성질과, 컨셉을 잡고 가는 쪽에 더 집중을 하는 것으로 하겠습니다 ^0^

다음 포스팅 부터는 극악무도한 Bessel에 대해, 마찬가지로 차근차근 저와 함께 알아가보도록 하겠습니다 ㅎㅎ….
먼길 따라오느라 수고 많으셨습니다. 마지막 정리 한 번 하고, 포스팅 마치겠습니다 ㅎㅎ

풀이법 한 눈에 보기

• Frobenius 의 기본
  $$y= x^r \sum_{m=0}^\infty a_m x^m$$
  으로 두고, 원래의 방정식에 대입해서 구하는 것.

• 주안점 : 최저차항의 계수로부터 $r$의 값을 얻는다.
  ⇒ 나온 $r$을 가지고 일단 $y_1$을 구하기 : 중근이라면 그냥 구하고, 두 근이 나온다면 일단 큰 $r$을 가지고 구함.

• 만약 중근이 나온다면 :
  $$y_2 = y_1 \ln x + x^{r_1} \sum_{n=1}^\infty b_n (r_1) x^n \\b_n(r_1 ) = \left. \frac{\partial a_n}{\partial r} \right|_{r=r_1}$$

• 두 근이 나온다면 :

  • 두 근의 차가 정수라면
    $$y_2 = ky_1 \ln x + x^{r_2} \left[ 1+ \sum_{n=1}^\infty c_n(r_2) x^n \right] \\ k = \lim_{r \to r_2} (r-r_2) a_N(r) \\ c_n (r_2) = \left. \frac{\partial}{\partial r}[(r-r_2) a_n (r)] \right|_{r=r_2}$$
  • 두 근의 차가 정수가 아니라면 : 그냥 대입해서 $y_2$를 구하면 OK!