#2-2nd order ODE(1.homogeneous : Euler-Cauchy)

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#어디까지 왔니?

잠깐! $\frac{dy}{dx}$ 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!

2. 오일러-코시(Euler-Cauchy) 방정식

저번 포스팅에 이어, 이번시간에 살펴볼 방정식은 Euler-Cauchy 형태의 방정식입니다. 어떻게 생겼냐면… .
$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + ax \frac {dy}{dx} +by =0$$
이렇게 생긴 미분방정식을 Euler-Cauchy 방정식이라고 하구요, 이걸 푸는데에 있어 착안한 점은 이렇습니다.

• 만약, $y$가 최고차항이 $m$차인 다항식이고, $x^m$꼴이라면, 저 식에 대입했을 때 세 항이 모두 $m$차로 정리가 될 거니까, $x^m$으로 묶을 수 있겠구나!

ㅋㅋ 무슨말이냐구요? 저 윗식에 $y= x^m$ 을 넣어보면,
$$\frac{dy}{dx} = mx^{m-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} = m(m-1) x^{m-2}$$
니까,
$$x^2 m(m-1) x^{m-2} + axmx^{m-1} +bx^m =0$$ $$x^m ( m(m-1) + am + b)=0$$
이렇게 정리가 될겁니다. 근데, $x^m =0$인건 별 로 의미가 없는 자명해니까, 그걸 제외한 해는 여기서 구해질겁니다.
$$( m(m-1) + am + b)=0$$
즉,
$$m^2 + (a-1)m+b=0$$
$m$에 대한 이차 방정식이 나오게 되는 거죠. 이 것을 auxiliary equation, 특성방정식 이라고 부를겁니다.
(+잡담 : 사실, auxiliary equation 을 구글에 검색하면 characteristic equation 이라고 나오는데, Kreyzig 아저씨는 굳이 auxiliary equation이라고 쓰시더군요…)
여튼, 이 이차방정식의 근의 종류에 따라 또 세 가지 경우로 나뉠 겁니다. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 쓰기 싫다.. ㅎㅎㅎㅎ 이것도 마찬가지로 예제를 통해 익혀봅시다!

#2-1. 두 실근을 가지는 경우

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} -4x \frac {dy}{dx} +6y =0$$
이 경우, 특성방정식은 아래와 같이 나옵니다.
$$m^2 -5m+6=0 \\ (m-2)(m-3)=0 \ \$$ $m_1=2, m_2=3$의 결과를 얻겠죠. 그 렇다면, 다시 원래의 $y=x^m$에 집어넣어줍시다.
$$y_1 = x^2 , y_2 = x^3$$
따라서, 최종 정리한 형태는 이렇게 나옵니다.
$$y = c_1 x^2 + c_2 x^3$$

여기까지는 간단합니다!ㅎㅎ

#2-2. 중근을 가지는 경우

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} -3x \frac {dy}{dx} +4y =0$$
이 경우에는, 특성방정식이 이렇게 나오겠죠!
$$m^2 -4m+4=0 \\ (m-2)^2 = 0$$ 그 러니까 $m_1 = 2$밖에 얻지 못하고, $y_1 = x^2$ 까지만 구할 수 있습니다. 이럴 경우 해법 은, 차수축소법, Reduction of order 였습니다. 계속 쓰이네요 ~.~
$y_2 = ux^2$라고 두고 우리가 그 동안 했던 것 처럼 순서대로 내려가 보겠습니다.
$$\frac{dy_2}{dx} = \frac{du}{dx} x^2 + 2ux$$
$$\frac{d^2 y_2}{dx^2} = \frac{d^2 u } {dx^2} x^2 + 4\frac{du}{dx} x +2u$$
$$x^2\frac{d^2 y_2}{dx^2} -3x \frac {dy_2}{dx} +4y_2 =0$$
$$x^2 (\frac{d^2 u }{dx^2} x^2 + 4\frac {du}{dx} x +2u ) -3x (\frac{du}{dx} x^2 + 2ux) + 4ux^2 =0$$
적당히 묶고 정리해보면!
$$x^4 \frac{d^2 u}{dx^2} + x^3 \frac {du}{dx} =0$$
$$x\frac{d^2 u }{dx^2} = -\frac{du} {dx}$$
어디서 많이 본 것 같죠? $\frac{du}{dx}= U$라 고 치환!
$$x\frac{dU}{dx} = -U$$
separating variables!
$$\frac{dU}{U} = -\frac{dx}{x} \\ U = \frac{1}{x}$$
드디어! 그러므로, $u = \ln x$가 나오게 되는 거겠죠. 이제 $y_2$를 구할 수 있게 되었습니다!
$$y_1 = x^2 , y_2 = x^2 \ln x$$
참고로, 숫자를 넣지 않고 $m$을 넣은 상태에서 계산을 해도 $u=\ln x$가 항상 나옵니다. 즉, Euler-Cauchy 방정식에서 중근이 나올 때는 두번째 해를 구할 때 $\ln x$를 곱해주면 된다는 사실을 알 수 있겠죠?
최종 정리 결과는!
$$y = (c_1 + c_2 \ln x ) x^2$$

#2-3. 두 허근을 가지는 경우

$$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} -x \frac {dy}{dx} +2y =0$$
는, 마찬가지로!
$$m^2 - 2m +2 =0 \\ (m-1)^2 +1 =0$$ 이니까, $m_1 = 1+i, m_2 = 1-i$의 결과를 얻을 수 있습니다. 그러면……
$$y_1 = x^{1+i } , y_2 = x^{1-i}$$
를 얻을 수 있죠. 하지만, 이번에는 오일러 공식을 쓰지 못합니다 왜냐하면 아래에 지수함수가 아닌 $x$가 있기 때문에…ㅠ
그래서 수학자들은 하나의 꼼수를 씁니다. 그것은 바로…
$$y_1 = x^{1+i }= x x^i = x (e^{\ln x})^i = x e^{i\ln x } \\ y_2 = x^{1-i }= x x^{(-i)} = x (e^{\ln x})^{(-i)} = x e^{-i\ln x }$$
요런 방법으로 변형을 시켜주는 것! $x= e^{\ln x }$라는 걸 제대로 악용(?)했네요 ㅋㅋㅋ 그렇다면, 계속해서 오일러 정리를 써봅시다!
$$y_1 = x e^{i\ln x } = x(\cos(\ln x ) + i \sin(\ln x) ) \\ y_2 = x e^{-i\ln x } = x( \cos (- \ln x ) + i \sin( - \ln x))$$
네 그렇습니다 ㅋㅋ ㅎㅎㅎ…………………………………삼각함수 안에 자연로그가 들어간, 조금 복잡한 형태 가 되어버렸네요 ㅠㅠ
어쨌든, 최종으로 정리를 해주자면..
$$y = c_1 x(\cos(\ln x ) + i \sin(\ln x) ) + c_2 x( \cos ( \ln x ) - i \sin( \ln x)) \\ y = x(A \cos (\ln x ) + B \sin (\ln x ) )$$
요런 모양을 얻을수 있습니다.

정리

이번에도 좀 폭풍같았던 포스팅이었나요 ?ㅠㅠㅋㅋㅋ 상수계수와 오일러 코시의 다른점이라면, 특성방정 식의 1차항의 계수만 다르고 나머지는 모두 같았습니다. 그리고, 오일러 코시 방정식의 경우 아래에 지수함 수가 아닌 $x$가 있다는 것 때문에 중근을 가질 때와 허근을 가질 때 조금 더 복잡한 처리 과정을 거쳤죠!

이렇게 우리는, 정말 기본이 되는 두 가지 2nd order ODE를 배워봤습니다. 이번에는 Problem set을 준비 하지 않았는데요, 그냥 숫자만 바꿔서 연습을 충분히 할 수 있기 때문이에요. $a, b$ 숫자를 조금씩 바꿔가면서 여러가지 시도를 해보고, 확실히 익혀둬 야 앞으로 풀 ODE들을 자연스럽게 풀 수 있을 겁니다. 화이팅!

다음 포스팅에서는, non-homogeneous 한 2nd order ODE를 푸는 방법으로 두 가지를 다뤄 보려고 합니다. 거기서도 homogeneous 한 ODE를 기반으로 풀이를 시작하니까, 확실히 다져서 만나도록 해요! 뿅!