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지난 연재물 - 수학 & 통계학/[상미분방정식] 참새와 함께하는 공학수학 - ODE 편

#2-2nd order ODE(1.homogeneous : constant coefficient)

by 알 수 없는 사용자 2014. 12. 25.

잠깐! dydxdydx 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!



이미지출처


#어디까지 왔니?




잠깐! dydx 왼쪽 수식이 깨져보인다면 클릭!

2nd order ODE

2nd order ODE를 풀기 위해서는, 일단 homogeneous 한 ODE 부터 푼 다음 그 방법을 활용해서 non-homogeneous 한 ODE를 풀어나가야 합니다. 사실, 2nd order ODE 중에서도 풀 수 있는 것들이 한정되어있다보니 ㅠㅠㅠ 딱 두가지 특수한 케이스에 대해서만 살펴보게 됩니다. 1st order 와는 조금 다르죠?ㅠㅠ 그래서 포스팅도 꽤 일찍 끝날 예정입니다 이 분야는…ㅠㅠ

크게 우리가 배울 두 가지 케이스는,
1. 상수계수(상계수), constant coefficient
2. 오일러-코시, Euler-Cauchy

입니다. 각각에 대해서도 세 가지 경우가 나오구요! 조금 많고 복잡…..하다 보니 ㅠㅠㅠ 정신 차리고 따라오셔야 합니다.

# 오일러 정리

뜬금 없이 왠 오일러 정리냐구요?ㅋㅋ한번쯤은 들어보셨을 거에요.
eπi+1=0
‘박사가 사랑한 수식’에서는, 수학에서 가장 근본이되는 다섯 가지 문자로 이루어진 아주 아름다운 수식이라고 극찬을 합니다. 하지만 우리에게는 그냥 이상한 식일뿐... 이것은 오일러의 정리에서 θ=π 로 치환한 식입니다. 오일러 정리는요,
eiθ=cosθ+isinθ
이렇게 이루어진 식입니다. 증명은 여기를 참고하시면 됩니다. 사실 봐도 모르겠어요...
앞으로 자연상수 e위에 복소수 i가 올라가는 일이 종종 발생할 겁니다. 그럴 때, 우리 취급하기 편하게 cos,sin 함수로 고치는 작업을 하기 위한 기본이죠.

1. 상수계수(constant coefficient) 방정식

d2ydx2+adydx+by=0
아마 어떤 책에서는..
y+ay+by=0
이라고 쓰기도 할거에요 ㅋㅋ 아마 밑에걸 더 많이 쓰지 않나….여튼, a,b는 상수입니다. 즉, 앞에 붙어있는 것들이 전부 다 상수인 경우에 대한 방정식이죠.

수학자들이 착안한건,

  • 미분했을 때 형태가 다 똑같은 함수가 만약 y라면, 전부 다 빼내서 묶어버리면 되지 않겠나! 그런데 만약 다 똑같은 함수 y가, 0이 되지도 않는 함수라면 정말 간단해질거야!

그런 좋은 함수가 바로 지수함수 ex 였습니다. 미분해도 똑같은 ex고, x가 실수이기만 하면 ex>0이 성립하니까요.
(+잡담 : Kreyzig 아저씨의 공학수학 13단원을 보면, 지수함수가 음수가 나오는 신비한 현상을 볼 수 있습니다. 지수함수에 복소수가 올라가면 얘기가 달라지거든요 ㅠ)
어쨌든, 지수함수 위에 실수를 올려놓은 꼴을 해라고 가정하고 풀어봤더니 해가 나오더라! 라는 겁니다. 그 함수의 형태는, eλx 로 두고 풀어봅시다. λ는 상수로 두고요!
d2ydx2+adydx+by=0
y 자리에 eλx 를 대입하면,
(λ2+aλ+b)eλx=0
이제 eλx는 0이 될일이 없으니, 이 식만 남게 됩니다.
(λ2+aλ+b)=0
λ에 대한 이차 방정식이나왔죠? 이 이차 방정식을 특성방정식, characteristic equation이라고 부를겁니다.
이차 방정식의 해가 두 실근이 나오는 경우, 중근이 나오는 경우, 두 허근이 나오는 경우에 대해 결과가 조금씩 다릅니다. 세 가지 경우에 대해 각각 예를 들어 살펴봅시다.

#1-1. 두 실근을 갖는 경우

d2ydx25dydx+6y=0
과 같은 ODE는, 특성방정식의 결과가
(λ25λ+6)=0
으로 나올겁니다. 좌변을 인수분해하면
(λ2)(λ3)=0
이니까, λ1=2,λ2=3의 해를 가지고, 다시 원래의 가정이었던 eλx에 집어넣어 봅시다.
y1=e2x,y2=e3x
네 그렇죠? 두 개의 기저, basis를 구했습니다. y1/y2도 상수가 아니구요 물론! 그러니까 우리는 일반해를 이렇게 적어주면 됩니다.
y=c1e2x+c2e3x
끝! ㅋㅋ 두 실근을 가지기만 한다면 엄청 간단해지기 때문에, 깊게 고민하지 않고 이렇게만 적어주면 됩니다.
** 추가적으로, c1,c2 는 상수죠? 그러니까, 이차 ODE를 풀 때 상수를 구하기 위해서는 2개의 조건이 필요합니다. 즉, 예전에 말했던 IVP가 되기 위해서는 2개의 조건을 주어야 한다는 거! 기억하고 갑시다 ㅎㅎ

#1-2. 중근을 갖는 경우

d2ydx24dydx+4y=0
이 경우, 특성방정식의 결과는
(λ24λ+4)=0
이고, 인수분해 결과는
(λ2)2=0
이니까, 하나의 해 밖에 구할 수 없게 됩니다. λ1=2 끝!!! 그런데 우리에겐 구해야할 해가 하나 더 남아있는데, 어떻게 구해야 할까요…..

그렇죠! 기억을 더듬어, 저번 포스팅의 결과를 꺼내옵시다. 바로Reduction of order, 차수축소법이었습니다. 중요하다고 말했었죠~.~

일단 y1 을 구해보면, y1=e2x로 구해질겁니다. 이것을 가지고, 차수축소법을 통해 y2를 구해봅시다. y2=u(x)e2x라고 놓고, 그대로 대입! 일단 일차, 이차 미분항을 구해보면,
dy2dx=dudxe2x+2ue2x
d2y2dx2=d2udx2e2x+4dudxe2x+4ue2x

이걸 그대로 원 방정식에 대입하면….!!!
d2y2dx24dy2dx+4y2=0
(d2udx2e2x+4dudxe2x+4ue2x)4(dudxe2x+2ue2x)+4ue2x=0
빠르게 눈으로 정리해볼까요?ㅋㅋㅋ 대부분의 항이 다 지워지고 남는건 이거밖에 없을겁니다.
d2udx2e2x=0
그러니까,
d2udx2=0
이걸 만족하는 함수 u를 구해야 할텐데, 가장 간단하게 생각할 수 있는 함수는 u(x)=x 입니다. 그러니까, y2=xe2x 라는 결과를 얻을 수 있겠죠! 최종으로 정리해주면,
y=e2x(c1+c2x)
마찬가지로, c1,c2 를 구하려면 조건이 두 개가 필요하다는 것!

#1-3. 두 허근을 가질 경우

  • 2015.10.18 수정 : 댓글로 <공수>님이 지적해주셔서, 틀린 내용을 고쳤습니다. x가 있었어야 하는데, 그걸 빼먹고 그냥 써버렸네요…ㅠㅠ 수정 완료하였구요, 지적해주신 부분 감사드립니다!

    d2ydx22dydx+2y=0
    네 익숙해 졌을겁니다. 특성방정식은 :
    (λ22λ+2)=0
    근의 공식을 쓰거나, 인수분해를 해서 구한 두 해는
    λ1=1+i,λ2=1i
    입니다. 이걸 그대로 지수함수 위에 올려버리면,
    y1=e(1+i)x,y2=e(1i)x
    입니다. 지수함수의 i제곱이라는게 실감이 나지 않았던 수학자들은, 오일러의 정리로 이것을 정리 하기 시작합니다. 대체 왜….
    exeix=ex(cosx+isinx)exeix=ex(cos(x)+isin(x))
    그리고 나서 항상 해왔던것 처럼 정리를 해주면,(+cos,sin 안에 있는 마이너스도 빼내주면)
    y=c1ex(cosx+isinx)+c2ex(cosxisinx)
    그런데 뭔가 상수끼리 복소수가 섞여 있어서 표현하는데에 껄끄럽다고 생각이 들었는지, 실수가 붙어있는 cos 항과 허수가 붙어있는 sin 항을 따로 분리시켜서 정리를 해주게 됩니다.
    y=(c1ex+c2ex)cosx+(c1exc2ex)isinx
    ex는 공통 항이니 통째로 앞으로 빼버리고, 그리고 남아있는 상수들을 다시 정리해서 최종 결과를 얻읍시다.
    y=ex(Acosx+Bsinx)
    이렇게 끝! 여담으로, B는 허수고 A는 실수입니다. ㅋㅋㅋ

정리

ㅋㅋㅋ 정신없나요? 세 가지 상계수(constant coefficient) 2nd order ODE 를 살펴봤습니다.

  1. 첫번째 : 특성방정식이 두 실근을 갖는 경우
    d2ydx25dydx+6y=0
  2. 두번째 : 특성방정식이 중근을 갖는 경우
    d2ydx24dydx+4y=0
  3. 세번째 : 특성방정식이 허근을 갖는 경우
    d2ydx22dydx+2y=0

각각의 경우를 어떻게 푸는지 잘 머릿속에 넣어두고, 다음 포스팅에서 볼 오일러-코시 방정식을 익혀봅시다. 상계수 방정식을 잘 해두었다면, 크게 다른 점은 없을 겁니다ㅎㅎㅎㅎㅎㅎㅎ

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