#4.series solution(4. Bessel's equation : 첫 번째 해 구하기)

그림 출처

어디까지왔니?

* 주의 : 식이 너무 길어서 인터넷 창을 작게 해두면 잘릴 수 있습니다! 브라우저 창 크기를 최대로 키워서 봐주세요~

Bessel equation

• 4-0. 들어가기 전에 : Gamma function

  • 4-1. 식 정리하기, $\nu, y_1$구해보기
  • 4-2. $y_2$ 구하기
    
    • 4-2-1. $y_2$ 구하기 : 제 1종 Bessel function
    • 4-2-2. $y_2$ 구하기 : 제 2종 Bessel function
    • 4-2-3. $y_2$ 구하기 : $\nu = \frac{1}{2}$
  • 4-3. Bessel function의 미분, 적분 점화식

  워낙 많이 나오고 중요하다보니, 정말 정리하기 위해 애를 쓰는 모습을 볼 수 있습니다 ㅠㅠ 이전까지는 $a_0=1$라고 대충 정의를 했는데, 이번에는 좀 달라질겁니다 ㅎㅎㅎ

  식 정리

  Bessel equation은 아래와 같이 정의되는 2차 ODE를 말합니다.

  $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$
  이 때, $\nu$는 어떠한 실수도 될 수 있는 상수! 정해주기에 따라 식이 달라지는 거죠. 그러면 일단, Frobenius method를 사용해서 대입, 정리를 해봅시다.
  $$y= x^r \sum_{m=0}^\infty a_m x^m = \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r}$$

  #1. 한 번 미분, 두 번 미분

  $$\frac{dy}{dx} = \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r) x^{m+r-1} \\ \frac{d^2 y}{dx^2} = \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r)(m+r-1)x^{m+r-2}$$

  #2. 대입, $r$구하기

  $$x^2 \left( \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r)(m+r-1)x^{m+r-2} \right) +x\left( \sum_{m=0}^\infty a_m (m+r) x^{m+r-1} \right)+(x^2 -\nu^2)\left (\sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r}\right)\\ = \sum_{m=0}^\infty \left ( a_m (m+r)(m+r-1) x^{m+r}+ a_m (m+r) x^{m+r} - \nu^2 a_m x^{m+r} \right) + \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r+2} =0$$

  물론 최저차항을 구하는 것이 더 쉽지만, 이 경우에는 앞으로도 계속 쓸 점화관계가 필요하기 때문에 한 번 $r$에 대한 일반항을 구해둬 봅시다.

  #3. 대입하기 전에 : $r$에 대한 점화식

  $$\sum_{m=0}^\infty \left ( a_m (m+r)(m+r-1) x^{m+r}+ a_m (m+r) x^{m+r} - \nu^2 a_m x^{m+r} \right) + \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r+2} =0$$
  앞에 있는 시그마는 $x^{r}$에서 시작하고, 뒤에 있는 시그마는 $x^{r+2}$에서 시작합니다. 따라서 $x^r, x^{r+1}$항을 앞으로 빼내어 정리해줍시다.

  $$a_0 (r^2 - \nu^2 ) x^r + a_1 ((r+1)^2 - \nu^2) x^{r+1}+ \\ \sum_{m=2}^\infty ((m+r)(m+r-1) + (m+r) - \nu^2)a_m x^{m+r} + \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r+2} =0$$
  이제 시그마를 하나로 묶기 위해, 첫번째 시그마는 $m=s$치환을, 두 번째 시그마는 $m+2=s$치환을 해줍니다.
  $$a_0 (r^2 - \nu^2 ) x^r + a_1 ((r+1)^2 - \nu^2) x^{r+1}+ \\ \sum_{m=2}^\infty ((m+r)(m+r-1) + (m+r) - \nu^2)a_m x^{m+r} + \sum_{m=0}^\infty a_m x^{m+r+2}\\ =a_0 (r)(r-1) x^r + a_1 (r+1)r x^{r+1}+ \sum_{s=2}^\infty \left( ((s+r)^2 - \nu^2)a_s + a_{s-2}\right)x^{r+s}=0$$

  항을 차근차근 따져봅시다.
  $$x^r : a_0 (r^2 -\nu^2 ) =0$$
  $a_0 \not = 0$이므로, $r^2 - \nu^2 =0$일겁니다. 즉 $r= \pm \nu$ $$x^{r+1} : a_1 ( (r+1)^2 - \nu^2 ) =0$$ $r= \pm \nu$라고 정의했기 때문에, $a_1 =0$이 되어야 합니다.

  $x^{r+2}$ 부터는, 시그마 안의 점화식을 따라갑니다. 즉,
  $$\sum_{s=2}^\infty \left( ((s+r)^2 - \nu^2)a_s + a_{s-2}\right)x^{r+s}=0$$ 에서,
  $$a_s = \frac{-1}{(s+r)^2 - \nu^2} a_{s-2} (s \geq 2)$$
  이렇게 생긴 점화식을 얻을 수 있습니다. 그런데 $a_1 =0$이라고 정의했으니 홀수번째 항은 전부 0이 되어 날아갈거고, 즉 $s= 2k$라고 짝수항만 대입을 해줘도 무관할거다~라는 소리죠 ㅎㅎ
  $$a_{2k} = \frac{-1}{(2k+r)^2 - \nu^2 } a_{2k-2} (k\geq1)$$

  자 그러면 $r$을 대입하기 전에 잠시…

  $\nu$의 값 정하기

  자 그러면,
  $$a_{2k} = \frac{-1}{(2k+r)^2 - \nu^2 } a_{2k-2} (k\geq1)$$
  이렇게 생긴 $r$에 대한 점화식을 얻었고,
  $$r= \pm \nu$$
  까지 얻었네요. $\nu>0$이라고 가정해보면, $r_1 = \nu , r_2 = -\nu$ 입니다.
  그런데, 이제 $r_1 , r_2$에 대한 조건을 생각해주어야 합니다. 세 가지 경우로 나누어 구했던 것을 기억하나요? 기억나지 않는다면 여기로 들어가서 제일 마지막 파트를 읽고 옵시다!
  그렇다면..

  • 중근
    을 가진다면, $y_1$를 일단 구한 다음 $y_2$는 이상한 공식을 보고 구했습니다 ㅎㅎ 다시 쓰기는 귀찮으니 나중에 얘기해보고….
    이런 경우는 $\nu =0$인 경우가 있겠죠.

  • $r_1 - r_2$가 정수인 두 근
    을 가진다면, $y_1$ 을 구한 다음 다시 또 공식을 써서 $y_2$를 구했습니다. 이거도 마찬가지로 나중에 얘기해보도록 하고….
    이렇게 나올 수 있는 경우의 수는 $\nu$가 정수이거나, $\nu$가 $\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ..$이런 꼴이면 될 겁니다.
    특히, $\nu$가 $\frac{1}{2}$인 경우에는 깔끔하게 식이 정리가 됩니다. Reduction of order를 적용할 수 있는 착한 답이군요!

  • $r_1 - r_2$가 정수가 아닌 두 근
    이 경우에는 위에서 따진 두 경우 말고 다른 경우를 모두 따져보면 됩니다.

  그러니, 결론적으로 얘기해보자면 아래의 네 가지 경우로 나누어 처리해야 한다는 뜻이네요.

  • $\nu=0$
  • $\nu=$(정수)
  • $\nu= \frac{1}{2}$
  • 그 이외의 경우

  갈 길이 좀 멀고 많습니다. 단숨에 처리해버려야 그만큼 부담도 적은 부분이기 때문에, 저도 빠르게 포스팅을 마무리 짓도록 하겠습니다 ㅎㅎ 절대 기말고사 기간이 가까워진 공대생을 겨냥해서 조회수를 올리려는 것은 아니고..

  $y_1$ : 제 1종 Bessel function

  네 가지 경우 모두에 대해서, $y_1$은 일단 구해야 하니 $y_1$부터 구해봅시다!

  #4. $r_1= \nu$~#5. 점화식

  $$a_{2k} = \frac{-1}{(2k+r)^2 - \nu^2 } a_{2k-2} (k\geq1)$$

  일단 분모는 인수분해가 가능하니까 좀 더 쉽게 고쳐줍시다.
  $$a_{2k} = \frac{-1}{(2k+r+\nu)(2k+r-\nu)} a_{2k-2} (k\geq1)$$
  여기에 $r=\nu$를 대입하면
  $$a_{2k} = \frac{-1}{(2k+2\nu)(2k)}a_{2k-2} \ =\frac{-1}{2\times 2 \times(k+\nu)(k)}a_{2k-2} = \frac{-1}{2^2 (k+\nu)(k) } a_ {2k-2}$$
  이제 차근차근 $k$를 바꿔가면서 대입해보면….
  $$\begin{split} a_{2k} &= - \frac{1}{2^2 (k+\nu)(k)} a_{2k-2}\\ a_{2k-2} &= -\frac{1}{2^2 (k-1+\nu)(k-1)} a_{2k-4}\\ a_{2k-4} & = -\frac{1}{2^2(k-2+\nu)(k-2)}a_{2k-6}\ \\ &.....\\ a_4 &= -\frac{1}{2^2(2+\nu)(2) } a_2 \\ a_2 &= -\frac{1}{2^2(1+\nu)(1)} a_0 \end{split}$$
  이제 쭈욱~ 곱한 다음에 정리해봅시다.
  $$\begin{split} a_{2k} &= (-1)^k \frac{1}{2^{2k}[(k+\nu)(k-1+\nu)....(2+\nu)(1+\nu)][k(k-1)...(2)(1)]} a_0\\ &=(-1)^k \frac{1}{2^{2k}(k+\nu)(k-1+\nu)....(2+\nu)(1+\nu)}\frac{1}{k!}a_0 (k \geq 1)\end{split}$$

  #5-1. 초항

  보통 $a_0 = 1$이렇게 놓고 $a_{2k}$를 구하는데, 이제는 조금 다르게 정의해줄겁니다.
  $$a_0 = \frac{1}{[\nu(-1+\nu)(-2+\nu) ... 1]}\frac{1}{2^\nu} = \frac{1}{\Gamma(\nu+1)}\frac{1}{2^\nu}$$
  일반항의 분모에 곱해져 있는 $(k+\nu)(k-1+\nu) ...(2+\nu)(1+\nu)$에 $\nu (-1+\nu)(-2+\nu)....1$을 곱해서 $\Gamma(k+\nu+1)$을 만들자는 겁니다. 어차피 $\nu$가 결정되면 $a_0$는 상수로 나올거니까, $a_0$를 잘 정의하면 $a_{2k}$가 조금 더 깔끔해지지 않을까! 하는 것이었습니다.

  이제 이걸 위에서 정의한 일반항에 넣어봅시다.
  $$\begin{split}a_{2k}&=(-1)^k \frac{1}{(k+\nu)(k-1+\nu)....(2+\nu)(1+\nu)}\frac{1}{k!}\frac{1}{2^{2k}}a_0 \\&= (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) }\frac{1}{k!} \frac{1}{2^{2k+\nu}}\end{split}$$
  여기에 $k=0$을 넣으면 $a_0$가 저 형태로 똑같이 나올테니까, 범위도 $k \geq0$으로 변하겠죠.

  #6. 원함수

  따라서,
  $$\begin{align} y_1 &= x^\nu \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1)}\frac{1}{k! \times2^{2k+\nu}}\right)x^{2k} \\ &= \sum_{k=0}^\infty \left((-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \right)\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu} \end{align}$$

  이렇게 결정이 됩니다. 이것이 바로, 모든 경우의 $\nu$에 대해서 공통적으로 정해지는 $y_1$이고, 이걸 우리는 제 1종 Bessel function $J_\nu$라고 부릅니다. 멋있게 한 번 써볼까요?

  $$J_\nu =\sum_{k=0}^\infty \left((-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!} \right)\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$

  #7. remind

  왜 팩토리얼을 쓰면 되지 $\Gamma$를 굳이 쓰느냐….라고 물으실 수도 있을 것 같아 짚고 넘어가보려 합니다 ㅋㅋㅋ
  $\nu$가 정수면 아무런 문제가 되지 않습니다만, 만약 $\nu$가 정수가 아니라면… 이런 경우가 발생할 수 있겠죠?
  $$(k+1+\frac{1}{2}) (k-1+\frac{1}{2})...(2+\frac{1}{2}) (1+\frac{1}{2})(\frac{1}{2})$$
  어차피 $k$는 정수니까! $k!$라는 표현이 상관이 없지만 $\nu$가 $\frac{1}{2}$이기만 해도 팩토리얼 표현이 의미가 없어집니다. 그래서 $\Gamma$를 씌워서 보다더 일반적인 표현을 만드는 거죠. 기억이 나지 않는다면 $\Gamma$ function 을 복습하고 와봅시다.

  예습

  먼 길을 달려서 첫 번째 해인 $J_\nu$를 구했습니다. 다음 포스팅에서는, $\nu$가 가지는 네 가지 조건들중에서 가장 간단한, 마지막 경우 부터 살펴볼 겁니다.

  • $\nu=0$
  • $\nu=$(정수)
  • $\nu= \frac{1}{2}$
  • 그 이외의 경우

  다음 시간에 살펴 볼 내용은 Frobenius 의 이 부분과 연관있습니다. 가장 마지막으로 포스팅한 Frobenius 네요! $y_1$을 가지고 $y_2$를 구하는게 그렇게 어려운 일은 아니었으니, 한 번만 다시 보고 옵시다. 그럼 다음 시간에 봐요!