#4.series solution(5. Legendre, Bessel 의 응용)

어디까지 왔니?

* 주의 : 식이 너무 길어서 창 크기가 작으면 식이 잘릴 수 있습니다! 최대 크기로 키워서 봐주세요~

Legendre, Bessel

우리를 그토록 괴롭히던 Legendre, Bessel function 에 대한 포스팅이 끝났습니다. 각각의 식이 어떻게 생겼는지 복습해볼까요?

1. Legendre

• $$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n (n+1) y=0$$
• $$P_n (x) = \sum_{m=0} ^M (-1)^m \frac{(2n-2m)!}{2^n m! (n-m)!(n-2m)!} x^{n-2m} \\ M = \cases{n is odd & (n-1)/2 \\n is even & n/2}$$

2. Bessel

• $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2 ) y=0$$
• $$J_\nu = \sum_{k=0}^\infty \left( (-1)^k \frac{1}{\Gamma(k+\nu+1) k!}\right) \left( \frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$$

어디서 나오나?

제가 굳이 직접 유도해보지 않아도 여러분은 이미 문제들에서 많이 접하고 계실텐데요…..ㅎㅎㅎㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
사실 ‘ODE’를 푸는 과정에서는 별로 등장하지 않는 놈입니다. 이 녀석들의 진가는 ‘PDE’, 편미방을 풀 때 나타나죠.
실린더에서의 unsteady-state 열전달은, 식을 정리했더니
$$(1-x^2)\frac{d^2X}{dx^2} - 2x\frac{dX}{dx} + r^2 a^2 X=0$$
요런 모양이 되어 해를 구했더니 Legendre가 나오더랬고,

구에서의 unsteady-state 열전달에서는 식을 어찌어찌 잘 정리했더니
$$r^2 \frac{d^2 N}{dr^2} + r\frac{dN}{dr} + r^2 a^2 N =0$$
요런꼴이 나와서 Bessel 이 나오더랬습니다.

수많은 PDE이 가진 좌표계 변환 시스템을 거치…는 것은 양자역학을 위한 준비과정에서 충분히 손으로(!?) 할 수 있을거고, 식을 정리하는 것은 여러분의 몫…..ㅋㅋㅋ

어쨌든, 여러분이 보게 될 수많은 ‘공학적’ 수식들은 공간/평면 직교 좌표계에서 극좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계로 바꾸는 순간 반가운 녀석들을 보게 될 겁니다. 게다가 특히 Bessel function 의 경우, 어디서 0이 되는지에 대한 이야기가 상당히 중요하게 작용하기 때문에, 아래에서 함께 찾아볼 겁니다.

다른 포스팅들에서 저에게 링크를 많이 걸어주길 기대하며…ㅎㅎ

그래프 그려보기, 0 되는 점 찾기

Legendre polynomial 의 그래프는 한 번 본적이 있었습니다. ㅎㅎ 이건 ‘유한히’ 더하는 급수이기 때문에 ‘근사’가 아니라 정확한 값입니다.

이미지 출처

Bessel 에 대해서는, 특히 많이 쓰는 $J_0$와 $J_1$의 그래프를 그려볼겁니다. 이건 ‘무한히’ 더하는 급수이기 때문에 어디까지나 ‘근사’입니다.

이미지 출처

어디서 0이 되나?

일반적으로 0이상의 정수 $n$에 대해 $J_n( x)=0$을 만족하는 $x$가 무한히 많이 존재한다고 알려져 있고, 이에 대한 값들은 전부 Kreyzig 10판의 부록 5에 보면 $J_0, J_1$의 두 가지 경우에 대해 모두 구해두었네요!
$J_0 (x) = 0$이 되는 $x= 2.40483,5.52008,8.65373,11.79915......$
$J_1(x)=0$이 되는 $x=3.83171,7.01559,10.1735,13.3237......$
뭐 이렇다고 합니다. 컴퓨터가 잘 해줬으니 이건 그러려니~하면 되구요ㅎ

이제 문자용어 하나를 정의할텐데….

$$J_n(\alpha_{n,m})=0$$
인 $\alpha_{n,m}$을 정의할 겁니다. 즉,

• $J_n (x)=0$이 되는 $x$의 값 중 앞에서 $m$번째에 있는 값

을 $\alpha_{n,m}$이라고 정의할겁니다. 약간 헷갈릴테니, 잘 따라오셔야 합니다 ㅎㅎ
예를 들어 $\alpha_{0,1}$이 의미하는 것은 $J_0 (x)$가 0이 되는 제일 첫 번째 $x$의 값이니까, 위에서 언급한 내용을 참조하면 $\alpha_{0,1}=2.40483$이 되겠네요.

이 정의를 제대로 알아도 식이 워낙 복잡해서 헷갈립니다 ㅠㅠ 나중에 Fourier 에서 고생하지 않기 위한 발판이에요^0^

왜 중요한가?

자 그럼, 좌표계에서 나오니까 중요한 건 알겠는데, 대체 왜 이놈들을 가지고 계산을 하냐구요?
바로 orthogonality때문입니다.

orthogonality

앞뒤 설명 다빼고, 정말 간단히 말해서 이런 성질을 우리는 ‘직교성’, ‘orthogonality’라고 부를겁니다.
$$\int _a^b r(x) f(x) g(x) dx= 0$$
즉, 두 함수 $f(x), g(x)$가 어떤 구간 $(a,b)$에서, 적당한 $r(x)$를 찾아 곱한 다음 적분했을 때 0이 나오면 정말 좋을거라는 얘깁니다.
이게 정말 중요한 이유는 나중에 이야기할 Fourier series에서 나올테니 잠시 궁금증을 접어 두시고…ㅎㅎㅎ
어찌되었건, 서로 다른 함수 두개랑 또 어떤거 하나를 가져와서 곱한다음 적분하면 0이 된다는 성질은, 굉장히 수학자들에게 매력적이고 활용범위가 넓고 공부할 거리도 많아지는 고마운 성질이죠.

예를들면

생각보다 여러분의 주변에 있습니다. $r(x)=1, f(x) = \sin x , g(x) = \cos x$를 넣어볼까요?

$$\int_0 ^{2\pi} \sin x \cos xdx =0$$
인건 아주 쉽게 보일 수 있습니다. 즉, $\sin x , \cos x$는 저 범위에서 orthogonal 한 함수라고 말하죠.

Legendre는?

• $$\int _{-1}^1 P_m (x) P_n(x) dx =0 (n \not =m)$$

아주 완벽한 orthogonality 를 가지고 있습니다. 이걸 직접 넣어서 계산 하지는 않을거구요, 약간의 trick 을 이용할 겁니다.

$$(1-x^2) \frac{d^2 y}{dx^2} - 2x \frac{dy}{dx} + n (n+1) y=0$$
요 식을 조금 변형시켜보자면,
$$\frac{d}{dx}[(1-x^2) \frac{dy}{dx} ] + n(n+1) y=0$$
입니다. 이제 $n, m$을 바꿔가면서 한 번 대입을 해볼까요?

$$\begin{align} \frac{d}{dx} [(1-x^2) \frac{dP_n}{dx}] + n(n+1) P_n &=0 \\\frac{d}{dx} [(1-x^2) \frac{dP_m}{dx}] + m(m+1) P_m &=0 \end{align}$$
이제 윗 식에 $P_m$을, 아랫 식에 $P_n$을 곱해봅시다.
$$\begin{align} \frac{d}{dx} [(1-x^2) \frac{dP_n}{dx}] P_m+ n(n+1) P_mP_n &=0 \\\frac{d}{dx} [(1-x^2) \frac{dP_m}{dx}] P_n + m(m+1) P_m P_n&=0 \end{align}$$

그러면 윗 식을 한 번 적분해봅시다.

$$\int_{-1}^1 \frac{d}{dx}[(1-x^2) \frac{dP_n}{dx}] P_m dx+ n(n+1)\int _{-1}^1 P_m P_n dx =0$$
왼쪽에 있는 적분식을 부분적분꼴로 정리해버릴 겁니다. 헷갈리지 않기 위해 써두면..!
$$\pmatrix{\frac{d}{dx} [(1-x^2) \frac{dP_n}{dx}] & P_m \\ (1-x^2 ) \frac{dP_n}{dx} & \frac{dP_m}{dx}}$$
그러면 왼쪽에 있는 적분식은,
$$\underbrace{\left[ (1-x^2) P_m \frac{dP_n}{dx}\right]_{-1}^1}_{=0} - \int _{-1}^1 (1-x^2) \frac{dP_n}{dx}\frac{dP_m}{dx} dx$$
가 되어 정리될텐데, 단순히 대입해보면 앞에 있는 항은 0이 되어 날아갑니다.
즉 최종 정리 식은
$$- \int _{-1}^1 (1-x^2) \frac{dP_n}{dx}\frac{dP_m}{dx} dx+ n(n+1)\int _{-1}^1 P_m P_n dx =0$$
이 되겠죠.

마찬가지 방법으로 아랫 식을 한 번 적분해보면
$$- \int _{-1}^1 (1-x^2) \frac{dP_n}{dx}\frac{dP_m}{dx} dx+ m(m+1)\int _{-1}^1 P_m P_n dx =0$$

왼쪽에 있는 적분식은 정확하게 똑같네요 ㅋㅋ 빼버립시다.
$$(n(n+1)-m(m+1))\int_{-1}^1 P_m P_n dx =0$$
$n, m$이 서로 다르니까, 뒤에 있는 적분식이 0이 되는 거겠죠? 이렇게 legendre polynomial 의 orthogonality 를 증명해봤습니다.

(+ 참고로, 이 방법을 잘 이용하면 $n=m$일 때의 값도 구할 수 있습니다. $\frac{2}{2n+1}$이 나오나요?ㅎㅎ

Bessel 은?

• $$\int_0^1 x J_n (\alpha_{n, m} x) J_n (\alpha_{n,k} x) dx =0(m\not =k)$$

르장드르보다는 조금 복잡해졌습니다. $J_n (x)$가 아니라, $J_n (\alpha_{n,m} x)$라는 놈을 사용했네요.
저 함수는
$$x^2 \frac{d^2 y}{dx ^2} + x\frac{dy}{dx} + (\alpha_{n,m}^2 x^2 -n^2 )y=0$$
요런 식을 만족할 겁니다. 왜냐하면….$\alpha_{n,m} x = \tilde x$로 치환!
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{d\tilde x} \frac{d\tilde x}{dx} = \frac{dy}{d\tilde x}\alpha_{n,m} \\ \frac{d^2 y}{dx^2 } = \frac{d^2 y}{d\tilde x^2} \alpha_{n,m} ^2$$
해서 나온 식을 다시 대입해보면,
$$\begin{align} &x^2 \alpha_{n,m}^2 \frac{d^2 y}{d \tilde x^2} + x \alpha_{n,m} \frac{dy}{d\tilde x}+ (\alpha_{n,m}^2 x^2 -n^2) y \\ =&\tilde x^2 \frac{d^2 y}{d \tilde x^2} + \tilde x \frac{dy}{d\tilde x}+ (\tilde x^2 - n^2 )y =0 \end{align}$$
네 즉, $\tilde x$에 대한 Bessel equation 이 나왔네요. 그러니까 $J_n(\tilde x) = J_n (\alpha_{n,m} x)$는 위의 식을 만족한다는 것을 알 수 있죠.

이 다음 부터는 아까와 동일합니다. $\alpha_{n,m}, \alpha_{n,k}$에 대해 각각 써주는 겁니다.
$$x^2 \frac{d^2 J_n( {\alpha_{n,m}}x)}{dx ^2} + x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} + (\alpha_{n,m}^2 x^2 -n^2 ) J_n({\alpha_{n,m}}x)=0 \\ x^2 \frac{d^2 J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx ^2} + x\frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx} + (\alpha_{n,k}^2 x^2 -n^2 ) J_n ({\alpha_{n,k}}x)=0$$
정신 차리고 따라와요! ㅋㅋㅋㅋ 헷갈릴 겁니다.
윗 식에는 $xJ_n( \alpha_{n,k} x)$를 곱할거구요, 아랫 식에는 $xJ_n(\alpha_{n,m}x)$를 곱할 겁니다. 크로스 해서 곱하는 건 똑같은데, 이번엔 $x$가 붙어있다는 거 조심!

$$\begin{align} x^3 \frac{d^2 J_n( {\alpha_{n,m}}x)}{dx ^2} J_n( \alpha_{n,k} x) &+ x^2\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} J_n( \alpha_{n,k} x) \\ &+ (\alpha_{n,m}^2 x^2 -n^2 ) xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)=0 \end{align}$$

$$\begin{align}x^3 \frac{d^2 J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx ^2} J_n( {\alpha_{n,m}}x)&+ x^2\frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx} J_n( {\alpha_{n,m}}x) \\&+ (\alpha_{n,k}^2 x^2 -n^2 ) xJ_n ({\alpha_{n,k}}x) J_n( {\alpha_{n,m}}x)=0 \end{align}$$

너무 복잡하죠?ㅋㅋㅋ 양변을 $x^2$로 나눠줍시다.
$$\begin{align} x \frac{d^2 J_n( {\alpha_{n,m}}x)}{dx ^2} J_n( \alpha_{n,k} x) &+ \frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} J_n( \alpha_{n,k} x) \\&+ (\alpha_{n,m}^2 -n^2 / x^2 ) xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)=0 \end{align}$$

$$\begin{align} x \frac{d^2 J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx ^2} J_n( {\alpha_{n,m}}x) &+ \frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx} J_n( {\alpha_{n,m}}x) \\&+ (\alpha_{n,k}^2-n^2 / x^2 ) xJ_n ({\alpha_{n,k}}x) J_n( {\alpha_{n,m}}x)=0\end{align}$$
이대로는 뭔가 답이 보이지 않는데….살짝 tricky 하게 식을 다시 한 번 묶어 줍니다. Legendre에서 했던 과정과 똑같아요!
$$\frac{d}{dx}\left[x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx}\right] J_n( \alpha_{n,k} x) + (\alpha_{n,m}^2 -n^2 / x^2 ) xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)=0 \\ \frac{d}{dx}\left[x\frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx}\right] J_n( \alpha_{n,m} x) + (\alpha_{n,k}^2 -n^2 / x^2 ) xJ_n({\alpha_{n,k}}x) J_n( \alpha_{n,m} x)=0$$
아까랑 굉장히 눈에 익은 식이죠? ㅋㅋ 윗 식 부터 적분해봅시다. 이번에는 결과식만~

$$\begin{align} &\left[ x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} J_n (\alpha_{n,k} x) \right]_0 ^1- \int_0 ^1x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} \frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx}dx \\& + \alpha_{n,m}^2 \int _0 ^1 xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)dx - n^2 \int_0^1\frac{1}{x} J_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x) dx =0 \end{align}$$
맨 앞의 항은…
$$\frac{d J_n({\alpha_{n,m}})}{dx} J_n (\alpha_{n,k} )=0$$
이라는 걸 기억하고 있다면 당연히 0으로 날아가는 걸 이해하겠죠? 그렇다면 윗 식의 적분 결과는 이것만 남습니다.
$$\begin{align} - \int_0 ^1x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} \frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx}dx &+ \alpha_{n,m}^2 \int _0 ^1 xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)dx \\&- n^2 \int_0^1\frac{1}{x} J_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x) dx =0 \end{align}$$

아랫식은, 희망적이게도 거의 똑같은 모양이네요 ㅎ
$$\begin{align} - \int_0 ^1x\frac{d J_n({\alpha_{n,m}}x)}{dx} \frac{d J_n({\alpha_{n,k}}x)}{dx}dx & + \alpha_{n,k}^2 \int _0 ^1 xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)dx \\& - n^2 \int_0^1\frac{1}{x} J_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x) dx =0 \end{align}$$

ㅋㅋㅋㅋ 눈으로 쫓아오기도 힘들죠? ㅠㅠㅠㅠ 자 그냥 빼버립시다. 사실 저도 복붙했어요 ㅋㅋ
$$( \alpha_{n,m}^2 -\alpha_{n,k}^2)\int _0 ^1 xJ_n({\alpha_{n,m}}x) J_n( \alpha_{n,k} x)dx =0$$
그렇습니다. 역시나 $\alpha$ 두 개는 같지 않기 때문에, 뒤에 남아있는 저 식이 0이 되어 버리는 거죠. 베쎌은 조금 복잡했지만, 증명 끝!

마치면서

이제 orthogonality, 직교성에 대한 이야기 까지 마쳤습니다. 수많은 식들과 씨름하셨을 여러분들께 경의를 표하며…(물론 저에게도^^) ㅋㅋㅋㅋ
이제 다음 포스팅에서는 전체적인 정리를 하는 포스팅으로 series solution 을 마무리 짓고자 합니다. 정말 오래 한 만큼, 많이들 어려워 하고 힘든 부분이니 꼭 확인하고 넘어가셨으면 좋겠습니다. 포기하지말고 화이팅입니다 ㅎㅎ