#5.Laplace transform(0. 시작하며)

그림출처 : 이분이 바로 라플라스!

Laplace transform

환영합니다! 드디어 라플라스 변환에 입문하셨어요!

Transform이란?

transform, 변환을 하는 이유는, ‘다루기 힘든 함수’를 ‘다루기 쉬운 함수’로 바꿔서 처리를 하자는 겁니다. 여러분이 많이 들어봤던 transform 은 ‘Fourier transform’이 있을텐데요, 그것 덕분에 훨씬 더 빠른 속도의 데이터 처리가 가능해졌죠.

• 모르는 주기 함수에 대한 것을 아는 주기 함수에 대한 함수로 바꿔 표현해서, 훨씬 편하게 계산을 할 수 있게 되었다!

그 덕분에 ‘빠른’ 계산이 가능해지고, 그래서 분석기기는 물론 통신분야에서도 눈부신 발전이 가능하게 된 겁니다. ‘좀 더 쉬운 함수에서의 이야기로 바꿔서 처리하면 안될까?’하는 마음에서 다양한 종류의 transform 을 연구하게 되었고, 그 중에서 유명한 것이 Laplace, fourier transform 입니다.

우리가 지금까지 풀었던 ODE는, 대부분 homogeneous에 국한된 ODE였습니다. 그나마 풀 수 있었던 analytic 한 방법은 non-homogeneous로 가면 적분기호 안에 함수가 잘못들어가면 어마어마하게 계산이 복잡해지는 단점이 있었죠. 게다가 그 구한 식을 다시 미분해서 IVP를 푸는 귀찮음까지 감수해야 했습니다.
게다가 series solution의 경우에는 non-homogeneous는 꿈도 못꿉니다. 또, non-homogeneous solution 의 자리에 들어가는 $g(t)$가 불연속 함수면 그동안의 방법이 굉장히 더 번거로워지는 귀찮음이 있더랬죠.
그래서 이걸 뭐 어떻게 처리할 수 없을까..고민을 하던 찰나에 Laplace가 제안한 것이 Laplace transform 입니다. 물론 이게 계산이 간단한 방법은 별로 안됩니다만….ㅋㅋㅋㅋㅋ 어쨌든, Transform 이 등장하게 된 배경은 ‘다른 편리한 함수로 바꿔 생각해보자’는 데에서 시작했다는 것, 기억하셨으면 좋겠습니다 ㅎㅎ

Laplace transform 이란?

저의 경험에 비추어 보았을 때 Laplace transform 은, 미분 관계식을 다항함수, 유리함수의 영역에서 처리해주는 굉장히 좋은 transform 입니다. 삼각함수, 지수함수 등에 비해 다항함수, 유리함수는 우리가 다루기가 훨씬 수월하기 때문이죠.

좀 더 엄밀히 말해보자면, 주어진 ODE의 Initial value problem 을, Laplace transform 을 통해 Algebraic problem 으로 바꾼 다음, 바뀐 Algebraic problem 을 풀고, 그것을 다시 역변환시켜서 Initial value problem 을 푸는 겁니다. ‘미분방정식’에 대해 아는 것보다는 ‘algebraic equation’에 대해 아 는 것이 더 많으니까요!

Laplace transform 이 가지는 두 가지 장점이 있습니다.

1. Initial value problem 을 한 방에 해결할 수 있다.
2. $g(t)$가 불연속일 때도 해결이 가능하다.

이 두 강력한 장점때문에, Laplace transform 을 많이 사용하는 것이죠 ^0^

불연속 함수

그러면 대체 불연속 함수가 $g(t)$자리에 오면 무슨일이 생기는지 궁금하죠?ㅋㅋ 예제 하나를 같이 풀어봅시다.

$$\frac{d^2 y}{dx^2} +3\frac{dy}{dx} + 2y = \cases{1 & 0 <t<1 \\ 0 & t>1}, y(0) = 0, \left. \frac{dy}{dx}\right|_{t=0} =0$$

$t=1$에서 갑자기 불연속이 되는 IVP입니다. Laplace를 모른다는 가정하에, 각 범위별로 나누어서 풀어봅시다.

1. homogeneous solution

$$\frac{d^2 y}{dx^2} +3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$
일단 homogeneous solution 을 구해볼텐데요, 아주 옛날 기억을 되살려 봅시다 ㅋㅋㅋ 상수계수 방정식이죠? $y= e^{\lambda t}$로 놓고 풀어볼겁니다.
$$\lambda^2 + 3\lambda + 2 = (\lambda+1)(\lambda+2) =0$$
$\lambda =-1, -2$라는 결론을 쉽게 얻을 수 있고, 따라서 homogeneous solution 은
$$y= c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t}$$
이 될겁니다. 그리고 이것은 $t>1$일 때의 해이기도 하네요.

2. $0<t<1$

$$\frac{d^2 y}{dx^2} +3\frac{dy}{dx} + 2y =1$$

$y_p$를 구해보려고 봤더니, 우변이 그냥 상수네요. $y_p =K$로 놓고 풀어보면 $K= \frac{1}{2}$를 쉽게 얻고, 따라서 $y_p = \frac{1}{2}$를 얻습니다.

3. 따로따로 구한 해

일단 구간 별로 구한 해를 써보겠습니다.
$$y = \cases{ d_1 e^{-t}+ d_2 e^{-2t} + \frac{1}{2}&0<t<1 \\ c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} & t>1}$$
앞의 상수가 $c_1$과 $d_1$으로 달라진 것을 주의해주면 됩니다. 범위에 따라 다르게 정의된 해니까 상수도 다르게 붙을 수 있겠죠. 그렇다면 처리해 줄 것은 두 가지 입니다.

1. 초기값
2. 불연속점에서의 값

초기값은, $t=0$을 $d_1 e^{-t}+ d_2 e^{-2t} +\frac{1}{2}$에 넣어보면 됩니다.
$y(0)=0$이므로, $d_1 + d_2 + \frac{1}{2}=0$
$\left. \frac{dy}{dx}\right|_{t=0} =0$이므로, $-d_1 - 2d_2 =0$
즉, $d_1= -1, d_2 = \frac{1}{2}$

4. 이제 어떻게?

이제 주어진 조건을 전부 써버려서 $c_1, c_2$를 구할 수가 없습니다. 이럴때는….$y$가 $t=1$에서 연속, 미분가능이라고! 가정해버리는 겁니다. 그러니까…
$t=1$일 때, 연속이려면 함숫값이 같아야 합니다.
$$d_1 e^{-1} + d_2 e^{-2} + \frac{1}{2} = c_1 e^{-1}+ c_2 e^{-2}$$
$t=1$일 때, 미분가능이려면 미분한 함숫값이 같아야 합니다.
$$- d_1 e^{-1} -2 d_2 e^{-2} = -c_1 e^{-1}-2 c_2 e^{-2}$$

5.귀찮으니

계산은 생략합시다. $c_1, c_2$가 한눈에 봐도 별로 정감이 들지 않습니다. 게다가, $y$가 따로따로 구해진다는 건 그렇게 매력적인 답안은 아니기도 하죠. 게다가 함숫값, 미분값을 비교하는 과정이 두 번이나 들어가 있습니다. 이런 귀찮은 과정을, Laplace transform 을 통해 한 방에 다 해결해버릴 수 있다는 얘기죠! 이제 불연속 함수에 대한 귀찮음을 어느정도 이해하셨나요?ㅋㅋ

Laplace transform의 정의

첫 포스팅이니, 정의와 성질만 이야기 하고 마치도록 하겠습니다 ㅎㅎ

$$\mathscr{L}(f) = \int_0 ^\infty e^{-st} f(t) dt$$
대문자 L이 정말 예쁘죠? $\mathscr{L}$ $\mathscr{L}$ $\mathscr{L}$ ㅋㅋㅋ

적분식을 잘 보면, $s$는 적분과정에서 상수취급이 됩니다. 즉, 적분결과는 $s$에 대한 함수로 나올거라는 얘기죠. 그래서 $f(t)$를 Laplace transform 시킨 놈을 $F(s)$라고도 쓸겁니다.
당연히, $f(t)$에서 $F(s)$를 구하는게 Laplace transform 이라면 $F(s)$를 보고 $f(t)$를 구하는건 inverse transform 이겠죠? 이 과정에 대한 일반식도 있기는 하지만, 사실 안다고 해서 별로 유용한 식은 아닙니다. 차라리 표를 암기하는게 맘편할정도ㅠㅠ 그냥 편하게 이렇게 표현합시다.

$$\mathscr{L}^{-1} (F(s)) = f(t)$$

아주 바람직하게도, Laplace transform 과 inverse Laplace transform 은 linearity가 성립합니다. 무슨말인고 하니…
$$\mathscr{L}(af+bg) = a\mathscr{L}(f) + b \mathscr{L}(g)$$
요런 성질!이 성립한다는 겁니다. 적분식을 잘 만져보기만 하면 증명이 되니까 특별히 증명은 안하고 넘어갈게요!

다음시간에는

기본적인 Laplace transform 들 몇 개를 증명해보고 정리하는 시간을 가진 다음, 더 복잡한 함수에 대한 얘기로 넘어가 보겠습니다. 이번 포스팅에서는 Laplace transform 이 왜필요한지에 대해 충분히 느끼셨기를~