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Laplace transform
- Laplace transform이 갖는 의의
- 기초적인 Laplace transform
- unit step function과 dirac’s delta function
- shifting과 정수배
- 미분, 적분 관계
- Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
- 주기함수
- 실전 문제 풀이
오늘은 Laplace transform 을 가장 쓸모있게 만드는 unit step function, dirac’s delta function에 대해 알아보도록 하겠습니다! 함수의 정의 자체는 그리 어렵지 않지만, 정신놓고 따라오면 여긴어디나는누구! 가 될 수도 있으니 주의하자구요~
unit step function
1.정의
우리말로는 ‘단위 계단 함수’, 다른 이름은 ‘Heaviside function’라고 부릅니다. 어떤 함수인지 그래프부터 확인해볼까요? 그림 출처
이 함수가 ‘연속인가요?’ 라는 질문에 어떻게 대답할까요? 얼핏 보기엔 연속이 아닌 것 같죠? 함수의 엄밀한 정의를 가져와보겠습니다.
일 때의 값은 일 수도 있고, 필요에 따라 을 넣기도 하고, 어떨 때는 Undefined 상태로 두기도 합니다. 즉, 일 때의 값에 관심을 두지 않을겁니다. 그러니 에서 불연속인 함수라는 것을 알 수 있습니다.
말로 이 함수를 정의하자면, 0에서 1로 함숫값이 튀어오를 때를 표현하는 함수라고 할 수 있겠죠?
2. 성질
미분?
미분을 한 번 해볼겁니다. 에서는 미분이 불가능할테고, 다른 곳에서는 무조건 상수니까 다 0으로 가버립니다. 그리고 에서는, 라고 정의하기로 약속합니다. 정의하자면,
이런거죠. 이 모양, 뒤에서 나올테니 잘 기억해둡시다.
평행이동?
그런데 이 함수는 무조건 에서만 값이 뜁니다. 그러니 평행이동을 하면 값이 0에서 1로 뛰는 위치가 달라질 겁니다. 표현법이 두 가지가 있어요!
또는
이렇게 표현합니다. 또는 라고 표현하면, 에서 값이 뛰어오르는 unit step function 이 되는 거죠! 물론 가끔 뭐 이런식으로 함수를 괴상하게 만들 수도 있지만 그건 논외로 하고….ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이 포스에서는 Kreyzig 아저씨가 사용하는 표기법을 따르기로 합시다!
부호바꾸기?
에 대신 를 대입하면, 이런 일이 일어납니다.
즉,
이라는 관계식이 성립하겠네요.
3. Laplace transform 시키기
그렇다면, 정의에 따라서 이걸 Laplace transform 시켜봅시다.
조..금만 생각해보면 당연한 얘기입니다. 는 0보다 큰 곳에서 무조건 1이니까요. 그렇다면 unit step function 을 평행이동 시킨 결과는 어떻게 될까요?
네 이렇게! 됩니다.
별거 아닌 것 같지만, 왜 이게 이렇게 중요하냐하면….
4. 범위별로 다르게 정의된 함수 만들기
이렇게생긴 함수를 표현해 보겠습니다. 가장 보기 편하던 방식은, 구간별로 쪼개어 함수를 정의하는 방법이었습니다. 이렇게!
이걸 일일이 Laplace transform 하려니 막막하기만 합니다. 이것을 unit step function을 이용해서 바꿔준다면 한 번의 계산을 통해 transform 결과를 얻을 수 있을 겁니다. 이걸 어떻게 unit step function으로 변형 시킬 것이냐!
- 착안) 인 범위에서만 가 되는 함수를 unit step function으로 만들어야 한다.
- 는 에서 1이고, 는 에서 1입니다. 그러니까 를 하면, 에서만 1이 나오는 함수를 만들 수 있다.
- 그러니 를 하면, 에서의 함수를 만드는 것이 끝!
잘 따라오고 있나요? 다시 정리해보면..
- 주어진 범위에서만 1이 되는 함수를 만든다.
- 그 앞에 그 범위에서 정의된 함수의 모양을 곱한다.
이렇게 를 하나의 식으로 표현해볼겁니다.
좀 정리해보면….
이렇게 정리가 됩니다. 이걸 transform 그대로 시켜버리고 싶은데, 하나를 check 해줘야 합니다.
5. 함수와 unit step function 곱하기
사실 unit step function 자체를 laplace transform 하는 것은 그리 큰 의미가 없습니다. 4에서 본 것 처럼 어떤 함수와 함께 곱해져서, 그 함수가 ‘여기부터 등장합니다~’라는 것을 나타내어 줄 때 유용해지죠. 그러니까 이런 형태일 때 더욱 더 유용해집니다.
그런데, 문제는 안에 들어가있는 녀석은 가 그대로 부터 등장하는 모양새가 아닙니다. 왜냐하면 는 그대로 있고, 일 때부터 이기 때문에 중 인 부분이 등장하는 것이지 함수 자체가 부터 등장하는 것이 아니기 때문이에요.
예를들어…
인 경우를 들어봅시다. 우리는 에서, 0부터 시작해서 오른쪽 위로 올라가는 함수를 만들고 싶은데, 로 정의해버리면, 에서, 1부터 시작해서 오른쪽 위로 올라가는 함수가 되어버리겠죠.
왜이렇게 열심히 설명하고 있냐구요?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
인것을 설명하기 위해서 입니다. 반드시, 범위별로 쪼개진 함수와 곱해진 어떤 함수를 Laplace transform 하기 위해서는 가 아닌, 로 어떤 수를 써서든 변형을 시켜줘야 합니다.
그럼 저 Laplace transform 의 결과는 뭘까요?
적분식에서 으로 치환을 해주자면..
즉,
라는 멋진 공식을 얻을 수 있네요. 말로 멋지게 정리해보면..
- 를 만큼, 양의 방향으로 평행이동 시킨 함수를 Laplace transform 시키면 원래 함수를 Laplace transform 시킨 결과에 가 곱해진 것 과 같다.
이렇게 되겠네요 ㅎㅎ
그러면, 이제 4번에서 얻었던
를 Laplace transform 시켜주기 위해, unit step function 앞에 곱해진 함수를 교묘히 변형시켜봅시다.
예제를 잘 골라왔다 다행이다...다행히도, 특별한 변형 과정 없이도 그대로 Laplace transform 할 수 있는 식이네요!
6. 함수와 unit step function이 곱해진 Laplace transform
그러면, 이제 Laplace transform 을 할겁니다. 모두모두 를 평행이동 한 함수라는 사실은 모양새를 보면 쉽게 알 수 있죠? 상수는 linearity 에 의해 모두 앞으로 빼줄거구요! 그러니 라는 사실을 기억한다면,
이런 형태가 나올 겁니다. 조금 더 깔끔하게 정리해보면,
이렇게 되겠죠!
unit step function 예제
네 위의 예제는 정말정말 이상적인….경우였구요, 대부분의 경우는 ㅋㅋㅋ 그리 달갑지 않은 형태로 나타납니다. 하지만 ‘부분별로 다르게 정의되는 함수’에 대한 처리가, ‘부분별로 Laplace transform’하는 것 보다는 간편하기 때문에 메리트가 있는거죠!
엄청난 귀찮음을 뒤로하고, 한 문제 풀어보려합니다 ㅠㅠ
일단, 위에서 했던 방식대로 unit step function 로 표현해주겠습니다.
1.unit step function 분해
이제 이것을, 와 곱해진 녀석들을 전부 꼴로 고쳐줘야 합니다. 차근차근~
2.shifted form 으로 바꾸고 Laplace transform
1. 첫째 항
맨 앞에 있는 녀석은 상관이 없습니다. 그냥 상수함수이기 때문에, 그대로 Laplace transform 을 시켜도 됩니다.
2. 둘째 항(1)
그 다음에 있는 항은, 앞에 그냥 이 붙어있기 때문에 이걸 를 포함한 항으로 바꿔야 합니다. 어떻게 하느냐…
그러니까, 여기에 을 곱한 녀석을 Laplace transform 시키면 이렇게 될겁니다.
한 번 더 짚고 넘어가보면,
를 계산할 때 헷갈리지 않는 tip은,
로 계산해둔 뒤에 이것이 로 이동되었으니까, 여기에 를 곱해주면 되는 겁니다. 가장 중요한 건, 원래 함수의 Laplace transform 을 머릿속에 넣고 있는 것!
3. 둘째 항(2)
그 다음은 좀 더 복잡합니다. 가 곱해져있거든요! 이것도 위에서 한 것 처럼 분해해봅시다.
이것도 마찬가지로 Laplace transform!
4. 셋째 항
이제 남은 한 항, 만 Laplace transform 시키면 됩니다. 삼각함수의 경우, 사이의 순환성을 이용하면 쉽게 바꿀 수 있습니다.
끝! 아까보다 훨씬 간단하죠?
3. 종합해보면..
만만치 않은 작업입니다 ㅠㅠㅠㅠㅠ
dirac’s delta function
정의
unit step function 은 함숫값이 0에서 1로 뛰어오르는 함수였다면, dirac’s delta function 은 어떤 값에서 함숫값이 0에서 로 솟아올랐다가 다시 0으로 돌아오는 함수입니다. 그림으로 보면 이렇습니다. 그림 출처
이 함수를 정의하는 것은 그리 쉬운일이 아닙니다. 엄밀히 말해서 ‘함수’라고 정의되는 지도 잘 모를 일이니까요…. ㅎㅎㅎㅎ 이 함수는 아래와 같이 ‘약속된’ 정의를 사용합니다.
라는 놈은, 이 조건을 만족하도록 잡은 함수입니다.
이 성질은 를 0으로 보낸 상태에서도 성립할테니, 이 식도 성립합니다.
그런데 delta function 은 이렇게 표현이 되는 함수 아니었던가요!
대입을 그대로 해보면,
응?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 말도 안되고, 수학적인 기호를 옳게 사용하지도 않았습니다.
네 그래서 이 함수는 우리가 엄밀히 정의하려고 깊게 파고들지 않을 겁니다. 어디까지나 ‘직관적으로’ 이해하면 되는 함수에요!ㅋㅋㅋ
그리고 위에서 봤던 unit step function 의 경우, 그 아이를 미분한 결과가 delta function 과 동일하다는 것은 눈치채셨을 겁니다.
Laplace transform
바로 Laplace transform 시키지 못하고, 먼저 를 대입한 다음 를 0으로 보내는 극한을 취해야 합니다.
라는 점에 착안, 먼저 부터 Laplace transform 시켜봅시다.
여기에 극한을 씌우면,
그러니까 끝! 결론적으로는,
unit step function 과 같은듯 다른듯 하죠?ㅋㅋㅋㅋ 이 함수의 가장 큰 특징이라면, 에서 무한대로 치솟아버리기 때문에, 앞에 어떤 함수 가 곱해져 있어도 그와 상관없이 그냥 가 튀어나온다는 것입니다. 주위의 어떤 값에서도 0이니까요! 즉,
unit step function 에 비해 훨씬 간단합니다. 그래서 문제에도 잘 나오지 않습니다.....
정리
오늘은 좀 양이 많았던 것 같네요. 이번 포스팅에서는 unit step function과 dirac’s delta function 의 정의와 각각의 Laplace transform 을 해봤습니다.
이 두 사실만 잘 기억해 둔다면 꽤 많은 함수에 대한 Laplace transform 을 할 수 있을 거라고 믿어 의심치 않습니다 ^0^
다음시간에는, 지금까지 포스팅했던 내용들을 가지고 ‘shifting’ 과 ‘multiplying’에 대한 내용을 좀 정리해보려 합니다. Laplace transform 을 할 때 항상 염두에 두어야 할 ‘꼼수’와 ‘직관’ 이니까, 더욱더 꼼꼼히 포스팅 해보고자 합니다. 다음 포스팅에서 만나요~
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