#5.Laplace transform(3. shifting, multiplying)

Laplace transform

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

저번 포스팅에서 어마어마한 계산량과 식의 길이에 압도당하셨나요?ㅋㅋㅋㅋ 이번 포스팅에서는 잠시 쉬어가는 시간으로 그동안 배웠던 지식들을 좀 체계화시켜봅시다. 이 다음 포스팅에서는 또 엄청난 계산량이 우리를 기다리고 있기 때문에…ㅠㅠㅠ

Shifting?

그게 뭔데?

shifting 을 수학적인 관점에서의 Laplace 로만 본다면 바로 이해가 되지 않을 수도 있습니다. 가장 이해하기가 쉬운 것이, ‘회로에서 주어지는 외부의 전기 신호’를 통해 이해하는 건데요, 그렇다면 아래에 주어진 식을 잠시 ‘물리적인’ 관점에서 살펴봅시다.
$$R\frac{dq}{dt}+ \frac{1}{C}q(t)=v(t)$$

이 식은, 그림과 같이 생긴 RC 회로에서 외부 전압이 $v(t)$의 형태로 가해질 때 전하량 $q$와, 시간 $t$사이의 관계를 나타낸 미분방정식입니다. 그리고 각각 저항과 전기용량을 뜻하는 $R, C$는 상수로 들어가있구요.

$v(t)=0$이라면 당연히 homogeneous equation 이니까 풀 수 있을텐데, 그렇지 않은 경우에 대한 이야기 입니다. 전압을 줄 수 있는 방법은 다양하고, 그것을 함수로 표현할 수 있는 방법도 다양합니다. 아래 두 가지 예시를 한 번 볼까요? 그림출처 1 그림출처2

전압을 ‘무한히’ 가해줄 수는 없기 때문에, 일정 시간동안 가해줬다가 끊는 형태를 가지게 됩니다. 덕분에 함수는 ‘구간별로 나누어진’ $v(t)$ 모양이 나오게 되는거죠.

왼쪽과 같은 전압의 경우에는, $t=3$에서 $t= 6$까지, $0.35V$의 전압을 준겁니다. 그러니까 $v=0.35$라는 함수의 일부분이라고 생각할 수 있겠네요.
그런데 꼭 시간을 저렇게만 줄 수 있는건 아닙니다. 신호를 주는 time interval 이 바뀔 때 마다 함수를 다시 설정해 주는 것은 별로 현명하지 못한 선택이기에, 다른 관점으로 바라보자는 생각을 하죠. 바로 ‘똑같은 함수를 이동시킨 거라고 보면 안되나?’라는 겁니다.
그런 관점에서 왼쪽 전압을 다시 살펴보면, $t=0$부터 시작하는 $v=0.35$라는 함수를, $t$축의 양의 방향으로 $3$만큼 이동시킨 다음 $t=6$에서 잘라버린 것아닐까? 라고 생각하자는 겁니다.
오른쪽 그림으로 좀 더 자세히 알아볼까요? 이 경우에는, $v=\sin \frac{t\pi}{0.01}$라는 함수가 $t=0.01$에서 끊겨있습니다. 이 경우에는 $t$축방향의 shifting 이 일어나지 않았고, $t=0.01$에서 자르는 과정을 거쳤다고 보는 겁니다. 그런데 꼭 이렇게 전압을 주지 않고, $t=1$부터 줄 수도 있습니다. 그럴 경우에는 간단히 그림의 전압을 $t$축의 양의 방향으로 $1$만큼 shifting 시키면 되는 거죠.

즉, t축 방향으로 shifting 을 한 다음 자르는 형태로 $v(t)$가 결정이 된다고 생각한다면, unit step function 을 가지고 열심히 Laplace transform 을 시키는 것에 대해 좀 납득이 되시나요?ㅋㅋㅋ ‘시간’에 대한 자율성을 얻기 위해 하나의 정해진 ‘기준 함수’를 잡고, 그것을 shifting 한다고 생각하여 여러 함수를 파생시키는 거죠!

t-shifting

여러분을 위해 자세히 shifting 을 설명했습니다…ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 물리학적인 관점에서 봤을 때, ‘time’에 대한 자율성을 좀 더 얻기 위한 노력이라고 한마디로 정리해 볼 수 있겠네요. 그 결과로 얻은게 t-shifting 을 좀 더 쉽게 하기 위한 unit step function 입니다. 그러면 shifting 을 한 함수에 대해서도 규칙적으로 Laplace transform 이 일어났으면 좋겠는데, 이게 바로 저번 포스팅에서 본 unit step function의 Laplace transform 입니다.
$$\mathscr{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as}\mathscr{L}(f(t))$$
즉, 원래의 함수를 $a$만큼 time shifting 시키면, Laplace transform 시킨 함수 앞에 $e^{-as}$가 붙네요. 이걸 거꾸로 얘기하면,

$$\mathscr{L}^{-1}(e^{-as} F(s) ) = f(t-a)u(t-a)$$
즉 Laplace transform 시킨 함수에 $e^{-as}$가 붙어있다면 이것의 원래 함수는 t-shifting 이 된 함수다!

지금은 쉬워보이죠?ㅋㅋㅋㅋ 문제풀 때 꼭 기억하고 있길 바랍니다 ㅠ

s-shifting

$\mathscr{L}(f(t)) = F(s)$에서 $t$는 shifting 을 시킨 결과가 규칙적입니다. 그러면 $s$를 shifting 시키면?
이것도 이미 한 내용입니다. 다시 가서 확인!
$$\mathscr{L} (e^{at}) = \frac{1}{s-a}$$
이걸 잘 관찰해보면,
$$\mathscr{L}(1) = \frac{1}{s}$$
이 놈이랑 잘 비교를 해보고 싶은 생각이 마구마구!
우변은 $s$ shifting 이 일어났구나~라고 추측해볼 수 있습니다. 그러면 우린 공대생이니까, 가설을 하나 세우는데에 익숙해져있겠죠 ㅎㅎ
$$\mathscr{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a)$$
심지어 맞는 가설입니다. ㅋㅋㅋ 정의를 이용해서 간단하게 증명해봅시다.
$$\mathscr{L}(e^{at}f(t)) = \int_0^\infty f(t) e^{at}e^{-st}dt = \int_0^\infty f(t) e^{-(s-a)t}dt = F(s-a)$$
$s$는 적분을 하는 문자가 아니기 때문에 그냥 바꿔주면 끝입니다. ㅋㅋㅋㅋ 참 쉽죠?

shifting theorem

별거 아니어 보일 수도 있지만, 정말 중요한 의미를 가지기 때문에 이론으로 정리를 해둡니다. 반드시 기억하고 넘어갈 두 shifting 의 차이!
$$\mathscr{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as} F(s) \\ \mathscr{L}(e^{at}f(t)) = F(s-a)$$
두 shifting 을 따로 볼 때는 그렇구나~라는 기분이지만, 문제를 풀 때 막상 t shifting 때문에 $e$가 붙을 때 $e^{-as}$인지 $e^{as}$인지, s shifting 때문에 $e$가 붙을 때 $e^{at}$인지 $e^{-at}$인지 정말 헷갈립니다. 차이를 잘 봐두고, 유도가 어렵지는 않으니 만약의 경우를 대비해서 ‘유도’를 익혀두는 것도 나쁘지 않은 방법이겠죠~

곱하기

shifting 을 통해 평행이동을 했다면, 앞에 상수를 곱해서 함수를 쭉 잡아당기거나, 쫙 누르는 건 어떨까요? 그것에 대한 내용도 모두 증명이 되어있습니다.
$$\mathscr{L} (f(ct))$$ 를 계산해봅시다. 즉 $f(t)$를 상수배 하는 거죠!
$$\begin{align}\mathscr{L} (f(ct)) &= \underbrace{\int_0^\infty f(ct) e^{-st} dt = \int_0^\infty f(u)e^{-\frac{su}{c}} \frac{1}{c} du} _{ct=u, cdt = du} \\&= \frac{1}{c} \int_0^\infty f(u) e^{-\frac{s}{c} u} du = \frac{1}{c} F(\frac{s}{c})\end{align}$$
$f(t)$가 $c$만큼 상수배 되면, $F(s)$는 $\frac{1}{c}F(\frac{s}{c})$로 변한다는 사실을 알 수 있습니다.
$f(t)$를 상수배했으니, $F(s)$도 상수배해봐야겠죠? 그런데 위에서 이미 결과가 나와있습니다.
$$\mathscr{L}(f(ct)) = \frac{1}{c} F(\frac{s}{c})$$
니까, $\frac{1}{c}$대신에 $k$를 넣어봅시다.
$$\mathscr{L} (f(\frac{1}{k}t) )= kF(sk)$$
정리하면,
$$F(sk) = \frac{1}{k} \mathscr{L}(f(\frac{1}{k}t))$$
ㅋㅋㅋㅋㅋ 참 쉽죠?
어떤 책에서는 좀 더 일반화해서 이런 식 까지 얻어내기도 합니다.
$$F(as+b) = \frac{1}{a} \mathscr{L}\left(e^{-\frac{b}{a}t} f(\frac{t}{a})\right)$$
하지만 공식이 적으면 적을 수록 좋은 입장인 학생에서, 이건 굳이 암기할 필요 NO!
$$F(as+b) = F(a(s+\frac{b}{a}))$$
식을 살짝만 손보면, s shifting 한 다음에 $a$만큼 상수배시켰다는 사실을 쉽게 알 수 있습니다. 손으로 한 번만 따라오면 이해 완료!

정리

오늘은 그동안 배운 지식을 다시 써먹어 보면서 shifting 과 상수배에 대해 알아보았습니다. 그닥 어려운 내용은 아니었지만, shifting 같은 경우 상당히 자체적인 의미가 크기 때문에 (+헷갈리기 때문에) 머릿속에 확실히 각인시킬 필요가 있어요!ㅋㅋㅋ

왠지 Laplace transform 답지 않은 간단한 포스팅이었네요. 다음 포스팅에서는 미분, 적분 관계식에 대해 말해보도록 하겠습니다. 그럼 20000~