#5.Laplace transform(1. 기본)

그림 출처

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Laplace transform

Laplace transform 두 번째 시간입니다. Laplace transform 자체는 그렇게 어렵지 않지만, inverse transform 이 꽤 난이도가 있고 ‘직관’에 의존하기 때문에 transform 된 형태를 눈에 많이 익혀두고 있는 것이 중요합니다!

일단, 거의 모든 Laplace transform 이 담겨있는 table 하나를 가져와 보겠습니다 ㅎㅎ 여기서 가져온 겁니다1 , 여기서 가져온 겁니다2   

네 이렇게….많..습니다 ㅋㅋㅋㅋ Laplace transform 에서 대략 멍해지는 이유는, ‘shifting’에 따른 결과가 굉장히 불규칙적기억하기 힘들다는 점이고, Laplace transform 의 미분, 적분이 들어가는 순간 직관의 영역을 조금 많…이 벗어나 버린다는 것입니다.
ㅋㅋㅋ그래서 하룻밤 벼락치기가 더더욱 힘든 분야입니다. 앞으로 Laplace transform 을 할 때 가장 눈여겨 보아야 할 것은, ’inverse transform이 어떻게 나올 것인가?를 항상 염두에 두는 것이 활용을 위해 맘편하다는 것! 입니다. 그럼 시작해볼까요?

들어가기전에

일단, transform 하기 전의 함수는 전부 $t$에 대한 함수, 하고 난 함수는 전부 $s$에 대한 함수라는 걸 기억하고 갑시다~

기본함수

우리가 non-homogeneous ODE를 풀 때 다뤘던 함수들은, 다항함수, 지수함수, 삼각함수, 로그함수 가 있었습니다. 그것에 대한 Laplace transform 을 직접 해보고, 앞으로의 계획을 세워봐요 ㅎㅎㅎ

1. 다항함수

가장 간단한 $f(t) = t$부터 라플라스에 넣어봅시다.
$$\mathscr{L} (f(t)) = \int_0^\infty e^{-st} tdt$$
부분적분을 먹이기 위해 행렬을 가져와볼게요! 부분적분 어떻게 하는지는 다 알죠?ㅎㅎㅎ
$$\matrix{e^{-st} & t \\ - \frac{e^{-st}}{s} & 1}$$
$$\int_0^\infty e^{-st} t dt = \left[ -\frac{1}{s} t e^{-st}\right]_0^\infty + \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-st} dt$$
여기서 적분기호가 없는 항은 그냥 0입니다. 무한대로 보내보면 바로 나오는 거니 생략하고… 뒷부분 적분만 한 번 다시 계산해봅시다.
$$\int_0^\infty e^{-st} t dt = \frac{1}{s}\int_0^\infty e^{-st} dt = \frac{1}{s} \times \left( - \frac{1}{s}\right) \times \left[ e^{-st}\right]^\infty _0 = \frac{1}{s^2}$$
이렇게 됩니다. 즉,
$$\mathscr{L} (t) = \frac{1}{s^2}$$

이걸 일반적인 경우로 확장시켜보면, $f(t) =t^{n-1}$을 넣어보겠습니다.
$$\mathscr{L} (f(t)) = \int_0^\infty e^{-st} t^{n-1}dt$$
여기에 행렬을 한 번 더 먹여보면…
$$\matrix{e^{-st} & t^{n-1} \\ - \frac{e^{-st}}{s} & (n-1)t^{n-2}}$$

$$\int_0^\infty e^{-st} t dt = \left[ -\frac{1}{s} t^{n-1} e^{-st}\right]_0^\infty + \frac{(n-1)}{s}\int_0^\infty e^{-st} t^{n-2} dt$$
똑같은 모양으로 계속해서 내려갈 것이라는건, 공대생의 직감 정도라면 충분히 파악할 수 있을겁니다 ^0^ ㅋㅋㅋㅋ 즉 적분을 $n-1$번 하면 끝나게 될겁니다. 그러니까…
$$\mathscr{L} (t^{n-1}) = \frac{(n-1)!}{s^n}$$

2. 다항함수 심화판

사실 $n$자리에 자연수 말고 실수를 넣어도 성립하기는 합니다. 그런데 실수에서는 팩토리얼이 아닌, Gamma function을 쓰기 때문에 살짝 다른 형태를 가지겠죠? 결론만 말하자면,
$$\mathscr{L} (t^{a-1}) = \frac{\Gamma(a)}{s^a}$$
이렇습니다. 단, $a-1>-1 (a>0)$이라는 조건이 반드시! 붙는다는 것 주의해야합니다. 분수함수에 대한 Laplace transform 은 꽤나 까다롭기 때문에..

그러면 $a= \frac{1}{2}$를 넣어볼까요?ㅋㅋㅋ Gamma function 의 $\frac{1}{2}$값은 알고있으니까,
$$\mathscr{L} (\frac{1}{\sqrt t}) = \frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{ s}}$$
이런 결과를 얻을 수 있습니다! ㅎㅎ

3. 지수함수

지수함수는 사실 제일 쉽습니다. 굳이~ 이걸 해야하나 싶....어차피 자체 라플라스 안에 지수함수가 들어있기 때문에, 알아서 잘 정리가 되는거죠! $f(t) = e^{at}$를 넣어보겠습니다.
$$\mathscr{L} (f(t)) = \int_0^\infty e^{-st} e^{at} dt$$
부분적분이 필요없는 좋은 식입니다. ㄱㄱ!
$$\int_0^\infty e^{-st} e^{at}dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t}dt = \left[-\frac{1}{s-a} e^{-(s-a)t} \right]_0 ^\infty = \frac{1}{s-a}$$
끝!ㅋㅋㅋ
$$\mathscr{L} (e^{at}) =\frac{1}{s-a}$$
이 식은 엄청 중요한 결과를 도출해낼 수 있는 식입니다. 나중에 볼 s shifting 과 관련이 있는 식이니, 간단하지만 결과로 나온 $\frac{1}{s-a}$를 꼭 기억해 둡시다~

4. 삼각함수

지수함수와 삼각함수의 곱을 적분하는 건 그리 달가운 일은 아니기 때문에
암기를 해두는 것을 추천…ㅎㅎ 일단, $f(t) = \cos \omega t$와 $f(t) = \sin \omega t$를 각각 대입해봅시다.
$$\mathscr{L} ( \cos \omega t) = \int_0^\infty e^{-st} \cos \omega t dt \\ \mathscr{L} (\sin\omega t) = \int_0^\infty e^{-st} \sin \omega t dt$$
각각 부분적분을 먹여보면…
$$\left ( \matrix{e^{-st} & \cos \omega t \\ -\frac{1}{s}e^{-st} & -\omega \sin \omega t} \right) ~ \left ( \matrix{e^{-st} & \sin \omega t \\ -\frac{1}{s}e^{-st} & \omega \cos \omega t} \right)$$

$$\begin{align} \int_0^\infty e^{-st} \cos \omega t dt & = \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \cos \omega t \right]_0^\infty - \frac{\omega}{s}\int_0^\infty e^{-st}\sin \omega t dt \\&=\frac{1}{s} - \frac{\omega}{s}\mathscr{L}(\sin \omega t) \\ \int_0^\infty e^{-st} \sin \omega t dt &= \left[ -\frac{1}{s}e^{-st} \sin \omega t \right]_0^\infty + \frac{\omega}{s}\int_0^\infty e^{-st}\cos \omega t dt \\ & = \frac{\omega}{s} \mathscr{L}(\cos \omega t) \end{align}$$
네, 두 함수는 서로 순환하는 관계를 가지고 있다는거, 알 수 있겠죠? 그러면 먼저 $f(t) = \cos \omega t$부터 살펴봅시다.
$$\mathscr{L}(\cos \omega t) = \frac{1}{s} - \frac{\omega}{s} \frac{\omega}{s} \mathscr{L}(\cos \omega t) = \frac{1}{s} - \frac{\omega^2}{s^2} \mathscr{L}(\cos \omega t)$$
따라서, 정리하면
$$\begin{align}\frac{s^2+\omega^2}{s^2} \mathscr{L} (\cos \omega t) & = \frac{1}{s} \\ \mathscr{L}(\cos \omega t) &= \frac{s}{s^2+\omega^2} \end{align}$$
어떤 과정인지 알겠죠? 그러면 $f(t) = \sin \omega t$도 살펴봅시다.
$$\mathscr{L}(\sin \omega t) = \frac{\omega}{s} \left( \frac{1}{s} - \frac{\omega}{s} \mathscr{L} (\sin \omega t) \right) = \frac{\omega}{s^2} - \frac{\omega^2}{s^2} \mathscr{L}(\sin \omega t)$$
즉, 정리하면
$$\begin{align}\frac{s^2 + \omega^2}{s^2} \mathscr{L} (\sin \omega t) = & \frac{\omega}{s^2} \\ \mathscr{L}(\sin\omega t)=&\frac{\omega}{s^2 + \omega^2 } \end{align}$$

그러니까, 정리하면
$$\mathscr{L} (\cos \omega t) = \frac{s}{s^2 + \omega^2} \\ \mathscr{L}(\sin \omega t) = \frac{\omega}{s^2 +\omega ^2}$$
이런 결과가 성립하더라~ 라는겁니다 ㅎㅎ 굉장히 형태가 헷갈리게 생겼으니, 잘 눈에 익혀 둡시다.

역변환 시키기

Laplace transform 의 꽃은 뭐니뭐니해도, 역변환입니다. 다시 $t$에 대한 함수로 돌려놓지 않으면 아무 쓸모가 없거든요! 아직은 할 수 있는게 많지 않으니, 간단한 예시 두 개만 들어보겠습니다.

Example 1.

$$F(s) = \frac{0.2s+1.4}{s^2 + 1.96}$$
일단 분모에 실수범위에서 인수분해가 되지 않는 항이 있으니, 삼각함수꼴이 원래의 함수라는 추측을 할 수 있습니다. 그렇다면, 분자에 $s$가 있느냐 상수가 있느냐에 따라 삼각함수의 종류가 달라지겠네요! 그러니 식을 찢읍시다. ㅎㅎ

$$\frac{0.2s+1.4}{s^2 + 1.96} = \frac{0.2s}{s^2 + 1.96} + \frac{1.4}{s^2 + 1.96}$$
분모는, $s^2 + 1.4^2$로 고쳐질거고, 그러면 거의 끝난 것이나 다름 없습니다.
$$\underbrace{0.2 \times \frac{s}{s^2+ 1.4^2}}_{0.2 \cos 1.4t} + \underbrace{\frac{1.4}{s^2 + 1.4^2} }_{\sin 1.4t}$$
그러니까,
$$f(t) = 0.2 \cos 1.4t + \sin 1.4t$$
로 결정된다는 것을 알 수 있겠죠 ㅎㅎ

Example 2.

$$F(s) = \frac{4s+32}{s^2 - 16}$$
이번에는 분모에 실수범위에서 인수분해가 되는 항이 있습니다. 그러니 인수분해를 해서 $s^2 - 16 = (s+4)(s-4)$로 분모를 찢어놓은 다음, 부분분수를 사용해서 분자를 결정합시다.

$$\frac{4s+32}{s^2 - 16} = \frac{a}{s+4}+ \frac{b}{s-4} = \frac{(a+b)s+4(b-a)}{s^2 -16}$$
$a+b = 4 , b-a=8$라는 결론을 얻을 수 있습니다. 즉, $b=6, a=-2$겠군요. 다시 써보면,
$$F(s) = -2 \times \frac{1}{s+4} + 6 \times \frac{1}{s-4}$$
이렇게 나오는 건 $f(t)$가 지수함수 꼴이었을 때의 결과였습니다. 주의할 것은 부호가 반대라는 것! 이것에 주의해서 써보자면,
$$\underbrace{-2 \times \frac{1}{s-(-4)}}_{-2e^{-4t}} +\underbrace{6 \times \frac{1}{s-4}}_{6e^{4t}}$$
따라서,
$$f(t) = -2e^{-4t} + 6e^{4t}$$

앞으로의 계획

오늘은 가장 기본, 기본중의 기본 함수에 대한 얘기를 해봤습니다. 다음 시간에는, 특수한 목적을 가진 함수 몇 개를 정의한 다음, 그에 대한 Laplace transform 이 어떻게 나오는지 살펴보도록 하겠습니다. Laplace transform 을 가장 쓸모있게 해주는 함수거든요!

앞으로 Laplace transform 의 다양한 계산법을 차근차근 포스팅해 나갈겁니다. 8~10개의 포스팅을 생각하고 있어요 ^0^ 차근차근 따라오면서 눈에 많이 익혀둡시다. 특히 삼각함수!

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이