#5.Laplace transform(2. unit step function, dirac's delta function)

그림 출처

* 주의 : 식이 너무 길어서 창 크기가 작으면 식이 잘릴 수 있습니다! 최대 크기로 키워서 봐주세요~

Laplace transform

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

오늘은 Laplace transform 을 가장 쓸모있게 만드는 unit step function, dirac’s delta function에 대해 알아보도록 하겠습니다! 함수의 정의 자체는 그리 어렵지 않지만, 정신놓고 따라오면 여긴어디나는누구! 가 될 수도 있으니 주의하자구요~

unit step function

1.정의

우리말로는 ‘단위 계단 함수’, 다른 이름은 ‘Heaviside function’라고 부릅니다. 어떤 함수인지 그래프부터 확인해볼까요? 그림 출처

이 함수가 ‘연속인가요?’ 라는 질문에 어떻게 대답할까요? 얼핏 보기엔 연속이 아닌 것 같죠? 함수의 엄밀한 정의를 가져와보겠습니다.

$$u(t) = \cases{0 & t<0 \\ \frac{1}{2} & t=0 \\ 1 & t>0}$$
$t=0$일 때의 값은 $\frac{1}{2}$일 수도 있고, 필요에 따라 $0, 1$을 넣기도 하고, 어떨 때는 Undefined 상태로 두기도 합니다. 즉, $t=0$일 때의 값에 관심을 두지 않을겁니다. 그러니 $t=0$에서 불연속인 함수라는 것을 알 수 있습니다.
말로 이 함수를 정의하자면, 0에서 1로 함숫값이 튀어오를 때를 표현하는 함수라고 할 수 있겠죠?

2. 성질

미분?

미분을 한 번 해볼겁니다. $t=0$에서는 미분이 불가능할테고, 다른 곳에서는 무조건 상수니까 다 0으로 가버립니다. 그리고 $t=0$에서는, $\infty$라고 정의하기로 약속합니다. 정의하자면,
$$\frac{du}{dt} = \cases{ \infty & t=0\\ 0 & otherwise}$$
이런거죠. 이 모양, 뒤에서 나올테니 잘 기억해둡시다.

평행이동?

그런데 이 함수는 무조건 $t=0$에서만 값이 뜁니다. 그러니 평행이동을 하면 값이 0에서 1로 뛰는 위치가 달라질 겁니다. 표현법이 두 가지가 있어요!
$$u(t-c) =\cases {0 & t<c \\ 1 & t>c}$$
또는
$$u_c (t) = \cases {0 & t<c \\ 1 & t>c}$$
이렇게 표현합니다. $u(t-4)$또는 $u_4 (t)$라고 표현하면, $t=4$에서 값이 뛰어오르는 unit step function 이 되는 거죠! 물론 가끔 $u_4 (t-3)$뭐 이런식으로 함수를 괴상하게 만들 수도 있지만 그건 논외로 하고….ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
이 포스에서는 Kreyzig 아저씨가 사용하는 $u(t-c)$표기법을 따르기로 합시다!

부호바꾸기?

$u(t)$에 $t$대신 $-t$를 대입하면, 이런 일이 일어납니다.
$$u(-t) = 1-u(t)$$
즉,
$$u(t) + u(-t)= 1$$
이라는 관계식이 성립하겠네요.

3. Laplace transform 시키기

그렇다면, 정의에 따라서 이걸 Laplace transform 시켜봅시다.
$$\begin{align}\mathscr{L} (u(t)) &=\int_0 ^\infty e^{-st}u(t)dt \\&=\int_0 ^\infty e^{-st} dt\\ &=\frac{1}{s} \end{align}$$
조..금만 생각해보면 당연한 얘기입니다. $u(t)$는 0보다 큰 곳에서 무조건 1이니까요. 그렇다면 unit step function 을 평행이동 시킨 결과는 어떻게 될까요?
$$\begin{align}\mathscr{L}(u(t-c)) &= \int_0 ^\infty e^{-st} u(t-c)dt \\ &= \underbrace{\int_0 ^c e^{-st} u(t-c) dt}_{=0} + \int_c ^\infty e^{-st} dt \\&=\frac{e^{-sc}}{s} \end{align}$$
네 이렇게! 됩니다.
별거 아닌 것 같지만, 왜 이게 이렇게 중요하냐하면….

4. 범위별로 다르게 정의된 함수 만들기

이렇게생긴 함수를 표현해 보겠습니다. 가장 보기 편하던 방식은, 구간별로 쪼개어 함수를 정의하는 방법이었습니다. 이렇게!

$$f(t) = \cases{0 & t<0 \\ 5t & 0<t<2 \\ 20-5t & 2<t<6 \\ 5t-40 & 6<t<8 \\ 0 & t>8}$$
이걸 일일이 Laplace transform 하려니 막막하기만 합니다. 이것을 unit step function을 이용해서 바꿔준다면 한 번의 계산을 통해 transform 결과를 얻을 수 있을 겁니다. 이걸 어떻게 unit step function으로 변형 시킬 것이냐!

• 착안) $0<t<2$인 범위에서만 $5t$가 되는 함수를 unit step function으로 만들어야 한다.
• $u(t-0)$는 $t>0$에서 1이고, $u(t-2)$는 $t>2$에서 1입니다. 그러니까 $u(t-0)-u(t-2)$를 하면, $0<t<2$에서만 1이 나오는 함수를 만들 수 있다.
• 그러니 $5t(u(t)-u(t-2))$를 하면, $0<t<2$에서의 함수를 만드는 것이 끝!

잘 따라오고 있나요? 다시 정리해보면..

1. 주어진 범위에서만 1이 되는 함수를 만든다.
2. 그 앞에 그 범위에서 정의된 함수의 모양을 곱한다.

이렇게 $f(t)$를 하나의 식으로 표현해볼겁니다.
$$f(t) = 5t(u(t)-u(t-2)) + (20-5t)(u(t-2)-u(t-6))+ (5t-40)(u(t-6)-u(t-8))$$
좀 정리해보면….
$$f(t) = 5tu(t) -(10t-20)u(t-2) +(10t-60)u(t-6)-(5t-40)u(t-8)$$
이렇게 정리가 됩니다. 이걸 transform 그대로 시켜버리고 싶은데, 하나를 check 해줘야 합니다.

5. 함수와 unit step function 곱하기

사실 unit step function 자체를 laplace transform 하는 것은 그리 큰 의미가 없습니다. 4에서 본 것 처럼 어떤 함수와 함께 곱해져서, 그 함수가 ‘여기부터 등장합니다~’라는 것을 나타내어 줄 때 유용해지죠. 그러니까 이런 형태일 때 더욱 더 유용해집니다.
$$\mathscr{L} (f(t)u(t-c))$$
그런데, 문제는 안에 들어가있는 녀석은 $f(t)$가 그대로 $t=c$부터 등장하는 모양새가 아닙니다. 왜냐하면 $f(t)$는 그대로 있고, $t=c$일 때부터 $1$이기 때문에 $f(t)$중 $t>c$인 부분이 등장하는 것이지 $f(t)$함수 자체가 $t=c$부터 등장하는 것이 아니기 때문이에요.

예를들어…

$f(t)=t$인 경우를 들어봅시다. 우리는 $t=1$에서, 0부터 시작해서 오른쪽 위로 올라가는 함수를 만들고 싶은데, $f(t)u(t-1)$로 정의해버리면, $t=1$에서, 1부터 시작해서 오른쪽 위로 올라가는 함수가 되어버리겠죠.

왜이렇게 열심히 설명하고 있냐구요?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
$$\mathscr{L} (f(t-c)u(t-c))$$
인것을 설명하기 위해서 입니다. 반드시, 범위별로 쪼개진 $u(t-c)$함수와 곱해진 어떤 함수를 Laplace transform 하기 위해서는 $f(t)$가 아닌, $f(t-c)$로 어떤 수를 써서든 변형을 시켜줘야 합니다.
그럼 저 Laplace transform 의 결과는 뭘까요?
$$\mathscr{L} (f(t-c)u(t-c))= \int_c ^\infty f(t-c) e^{-st}dt$$
적분식에서 $t-c=t'$으로 치환을 해주자면..
$$\int_0 ^\infty f(t')e^{-s(t'+c)} dt'= e^{-sc} \mathscr{L}(f(t))=e^{-sc}F(s)$$
즉,
$$\mathscr{L}(f(t-c)u(t-c)) = e^{-sc} F(s)$$
라는 멋진 공식을 얻을 수 있네요. 말로 멋지게 정리해보면..

• $f(t)$를 $c$만큼, 양의 방향으로 평행이동 시킨 함수를 Laplace transform 시키면 원래 함수를 Laplace transform 시킨 결과에 $e^{-sc}$가 곱해진 것 과 같다.

이렇게 되겠네요 ㅎㅎ

그러면, 이제 4번에서 얻었던
$$f(t) = 5tu(t) -(10t-20)u(t-2) +(10t-60)u(t-6)-(5t-40)u(t-8)$$
를 Laplace transform 시켜주기 위해, unit step function 앞에 곱해진 함수를 교묘히 변형시켜봅시다.
$$f(t) = 5(t-0)u(t-0) -10(t-2)u(t-2) + 10(t-6)u(t-6) - 5(t-8) u(t-8)$$
예제를 잘 골라왔다 다행이다...다행히도, 특별한 변형 과정 없이도 그대로 Laplace transform 할 수 있는 식이네요!

6. 함수와 unit step function이 곱해진 Laplace transform

그러면, 이제 Laplace transform 을 할겁니다. 모두모두 $f(t)=t$를 평행이동 한 함수라는 사실은 모양새를 보면 쉽게 알 수 있죠? 상수는 linearity 에 의해 모두 앞으로 빼줄거구요! 그러니 $\mathscr{L}(t) = \frac{1}{s^2}$라는 사실을 기억한다면,

$$\begin{align}\mathscr{L}(f(t)) &= 5\mathscr{L}(tu(t))-10 \mathscr{L}((t-2)u(t-2)) \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+10 \mathscr{L}((t-6)u(t-6))-5 \mathscr{L} ((t-8)u(t-8)) \\&= \frac{5}{s^2} -10\frac{e^{-2s}}{s^2} +10 \frac{e^{-6s}}{s^2} -5 \frac{e^{-8s}}{s^2}&\end{align}$$

이런 형태가 나올 겁니다. 조금 더 깔끔하게 정리해보면,
$$F(s) = \frac{5}{s^2} \left( 1-2e^{-2s}+2e^{-6s} -e^{-8s} \right)$$
이렇게 되겠죠!

unit step function 예제

네 위의 예제는 정말정말 이상적인….경우였구요, 대부분의 경우는 ㅋㅋㅋ 그리 달갑지 않은 형태로 나타납니다. 하지만 ‘부분별로 다르게 정의되는 함수’에 대한 처리가, ‘부분별로 Laplace transform’하는 것 보다는 간편하기 때문에 메리트가 있는거죠!
엄청난 귀찮음을 뒤로하고, 한 문제 풀어보려합니다 ㅠㅠ

$$f(t) = \matrix{2 & 0<t<1 \\ \frac{t^2}{2} & 1 < t< \frac{\pi}{2} \\\cos t & t> \frac{\pi}{2}}$$
일단, 위에서 했던 방식대로 unit step function 로 표현해주겠습니다.

1.unit step function 분해

$$f(t) = 2(u(t) - u(t-1))+ \frac{t^2}{2}(u(t-1)-u(t-\frac{\pi}{2})) + \cos t u(t-\frac{\pi}{2})$$
이제 이것을, $u(t-c)$와 곱해진 녀석들을 전부 $f(t-c)$꼴로 고쳐줘야 합니다. 차근차근~

2.shifted form 으로 바꾸고 Laplace transform

1. 첫째 항

맨 앞에 있는 녀석은 상관이 없습니다. 그냥 상수함수이기 때문에, 그대로 Laplace transform 을 시켜도 됩니다.
$$2\mathscr{L}(u(t)) - 2\mathscr{L}(u(t-1)) = \frac{2}{s} - \frac{2e^{-s}}{s}$$

2. 둘째 항(1)

그 다음에 있는 항은, 앞에 그냥 $t^2$이 붙어있기 때문에 이걸 $(t-1)$를 포함한 항으로 바꿔야 합니다. 어떻게 하느냐…
$$\frac{t^2}{2} = \frac{((t-1)+1)^2}{2}= \frac{(t-1)^2 + 2(t-1)+1}{2}$$
그러니까, 여기에 $u(t-1)$을 곱한 녀석을 Laplace transform 시키면 이렇게 될겁니다.
$$\begin{align}\mathscr{L}\left(\frac{(t-1)^2 + 2(t-1)+1}{2} u(t-1)\right) &= \frac{1}{2} \mathscr{L}((t-1)^2 u(t-1))+ \mathscr{L}((t-1)u(t-1))\\&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{1}{2} \mathscr{L}(u(t-1)) \\ &=\frac{1}{2}\frac{2e^{-s}}{s^3} + \frac{e^{-s}}{s^2} + \frac{e^{-s}}{2}\\&=e^{-s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{2s}\right) \end{align}$$
한 번 더 짚고 넘어가보면,
$$\mathscr{L}((t-1)^2 u(t-1))$$
를 계산할 때 헷갈리지 않는 tip은,
$$\mathscr{L}(t^2)= \frac{2!}{s^3}$$
로 계산해둔 뒤에 이것이 $(t-1)^2u(t-1)$로 이동되었으니까, 여기에 $e^{-s}$를 곱해주면 되는 겁니다. 가장 중요한 건, 원래 함수의 Laplace transform 을 머릿속에 넣고 있는 것!

3. 둘째 항(2)

그 다음은 좀 더 복잡합니다. $u(t-\frac{\pi}{2})$가 곱해져있거든요! 이것도 위에서 한 것 처럼 분해해봅시다.
$$\frac{t^2}{2} = \frac{((t-\pi/2)+\pi/2)^2}{2}= \frac{(t-\pi/2)^2+\pi (t-\pi/2)+ \pi^2 /4}{2}$$
이것도 마찬가지로 Laplace transform!
$$\begin{align}\mathscr{L}\left( \frac{(t-\pi/2)^2+\pi (t-\pi/2)+ \pi^2 /4}{2} u(t-\frac{\pi}{2})\right) &= \frac{1}{2} \mathscr{L}((t-\frac{\pi}{2})^2u(t-\frac{\pi}{2})) \\ &~~~~~~~~~+ \frac{\pi}{2}\mathscr{L}((t-\frac{\pi}{2})u(t-\frac{\pi}{2})) + \frac{\pi^2}{8}\mathscr{L}(u(t-\frac{\pi}{2})) \\ &=\frac{1}{2} \frac{2e^{-\pi s/2}}{s^3} + \frac{\pi}{2} \frac{e^{-\pi s/2}}{s^2} + \frac{\pi^2}{8} e^{-\pi s/2} \\ &=e^{-\pi s/2} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{\pi}{2s^2} + \frac{\pi^2}{8}\right) \end{align}$$

4. 셋째 항

이제 남은 한 항, $\cos t u(t-\frac{\pi}{2})$만 Laplace transform 시키면 됩니다. 삼각함수의 경우, $\sin, \cos$사이의 순환성을 이용하면 쉽게 바꿀 수 있습니다.
$$\cos t = -\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)$$
끝! 아까보다 훨씬 간단하죠?
$$\mathscr{L}( \cos t u(t-\frac{\pi}{2})) = \mathscr{L}(-\sin\left(t-\frac{\pi}{2}\right)u\left(t-\frac{\pi}{2}\right)) = - \frac{e^{-\pi s/2}}{s^2 +1}$$

3. 종합해보면..

$$\begin{align}\mathscr{L}(f(t)) &= \mathscr{L} \left[ 2(u(t) - u(t-1))+ \frac{t^2}{2}(u(t-1)-u(t-\frac{\pi}{2})) + \cos t u(t-\frac{\pi}{2}) \right] \\ &= \frac{2}{s} - \frac{2e^{-s}}{s} + e^{-s} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} + \frac{1}{2s}\right) \\&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~- e^{-\pi s/2} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{\pi}{2s^2} + \frac{\pi^2}{8}\right) - \frac{e^{-\pi s/2}}{s^2 +1} \\ & = \frac{2}{s} + e^{-s} \left(\frac{1}{s^3} + \frac{1}{s^2} -\frac{3}{2s} \right) - e^{-\pi s/2} \left( \frac{1}{s^3} + \frac{\pi}{2s^2} + \frac{1}{s^2+1} + \frac{\pi^2}{8}\right) \end{align}$$
만만치 않은 작업입니다 ㅠㅠㅠㅠㅠ

dirac’s delta function

정의

unit step function 은 함숫값이 0에서 1로 뛰어오르는 함수였다면, dirac’s delta function 은 어떤 값에서 함숫값이 0에서 로 솟아올랐다가 다시 0으로 돌아오는 함수입니다. 그림으로 보면 이렇습니다. 그림 출처

이 함수를 정의하는 것은 그리 쉬운일이 아닙니다. 엄밀히 말해서 ‘함수’라고 정의되는 지도 잘 모를 일이니까요…. ㅎㅎㅎㅎ 이 함수는 아래와 같이 ‘약속된’ 정의를 사용합니다.
$$f_k (t-a) = \matrix{1/k & a \leq t \leq a+k \\ 0 & o.w.}$$
$$\delta(t-a) = \lim_{k \to 0}f_k (t-a)$$
$f_k$라는 놈은, 이 조건을 만족하도록 잡은 함수입니다.
$$\int_0 ^\infty f_k(t-a) dt =1$$
이 성질은 $k$를 0으로 보낸 상태에서도 성립할테니, 이 식도 성립합니다.
$$\int_0 ^\infty \delta(t-a) dt = 1$$
그런데 delta function 은 이렇게 표현이 되는 함수 아니었던가요!
$$\delta(t-a) = \matrix{\infty & t=a \\ 0 & o.w.}$$
대입을 그대로 해보면,
$$\int_a ^a \infty dt =1$$
응?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 말도 안되고, 수학적인 기호를 옳게 사용하지도 않았습니다.
네 그래서 이 함수는 우리가 엄밀히 정의하려고 깊게 파고들지 않을 겁니다. 어디까지나 ‘직관적으로’ 이해하면 되는 함수에요!ㅋㅋㅋ

그리고 위에서 봤던 unit step function 의 경우, 그 아이를 미분한 결과가 delta function 과 동일하다는 것은 눈치채셨을 겁니다.

Laplace transform

바로 Laplace transform 시키지 못하고, 먼저 $f_k(t-a)$를 대입한 다음 $k$를 0으로 보내는 극한을 취해야 합니다.
$$f_k (t-a) = \frac{1}{k} ((u(t-a)-u(t-(a+k)))$$
라는 점에 착안, 먼저 $f_k$부터 Laplace transform 시켜봅시다.
$$\mathscr{L}(f_k (t-a)) = \frac{1}{s}\frac{(e^{-as} - e^{-(a+k)s})}{k} = \frac{1}{s} \frac{e^{-as}(1-e^{-ks})}{k}$$
여기에 $k \to 0$극한을 씌우면,
$$\underbrace{\lim_{k\to 0} \frac{1}{s} \frac{e^{-as}(1-e^{-ks})}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{e^{-as}}{s} \frac{se^{-ks}}{1}}_{by~ L'H\hat o pital's~ rule} = e^{-as}$$

그러니까 끝! 결론적으로는,
$$\mathscr{L} (\delta(t-a)) = e^{-as}$$
unit step function 과 같은듯 다른듯 하죠?ㅋㅋㅋㅋ 이 함수의 가장 큰 특징이라면, $t=a$에서 무한대로 치솟아버리기 때문에, 앞에 어떤 함수 $f(t)$가 곱해져 있어도 그와 상관없이 그냥 $e^{-as}$가 튀어나온다는 것입니다. $t=a$주위의 어떤 값에서도 0이니까요! 즉,
$$\mathscr{L}(\cos t\delta(t-a)) = e^{-as}$$
unit step function 에 비해 훨씬 간단합니다. 그래서 문제에도 잘 나오지 않습니다.....

정리

오늘은 좀 양이 많았던 것 같네요. 이번 포스팅에서는 unit step function과 dirac’s delta function 의 정의와 각각의 Laplace transform 을 해봤습니다.

$$\mathscr{L}(f(t-a)u(t-a)) = e^{-as} F(s) \\ \mathscr{L} (f(t) \delta(t-a)) = e^{-as}$$
이 두 사실만 잘 기억해 둔다면 꽤 많은 함수에 대한 Laplace transform 을 할 수 있을 거라고 믿어 의심치 않습니다 ^0^

다음시간에는, 지금까지 포스팅했던 내용들을 가지고 ‘shifting’ 과 ‘multiplying’에 대한 내용을 좀 정리해보려 합니다. Laplace transform 을 할 때 항상 염두에 두어야 할 ‘꼼수’와 ‘직관’ 이니까, 더욱더 꼼꼼히 포스팅 해보고자 합니다. 다음 포스팅에서 만나요~