#5.Laplace transform(5. convolution)

사진출처 : 이분이 Volterra!

Laplace transform

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

Laplace transform 을 반 넘게 오면서 느끼는 것이지만, 초기 조건이 주어진 문제를 일일이 미분해서 푸는 것도 귀찮기는 합니다. 그런데, Laplace transform을 위한 초석을 다지는 과정도 그리 만만치는 않은 작업인 것 같습니다. Laplace transform 자체가 가지는 매력도 분명히 있지만, 무조건 Laplace transform 만을 사용하는 것도 좋은 일만은 아닌 것 같아요 ㅋㅋㅋ ODE를 푸는 다양한 방식을 알아두는 것이 중요한 이유겠죠~?

오늘은, 변태같은 수학자들의 안되면 되게 식을 조작하려는 그런 속성을 잘 살펴볼 수 있는……..그런 시간입니다. ㅋㅋㅋㅋㅋ Laplace transform 덧셈, 뺄셈이 성립하는 linear 한 성질이 있다고 했던 적이 있죠?ㅋㅋㅋ 하지만 곱셈에 대한 성질은 성립하지 않습니다. 무슨 말이느냐..

$$\mathscr{L} (f+g) = \mathscr{L}(f) + \mathscr{L} (g)$$
는 성립하지만
$$\mathscr{L} (fg) = \mathscr{L}(f) \mathscr{L} (g)$$
는 성립하지 않는다는 거죠. 그래서 ㅋㅋㅋ 그냥 넘어가도 될법 하지만…..굳이 저 성질이 성립하게 만들기 위한 노력을 하는 겁니다. 한 번 시작해 볼까요?

Convolution

Convolution 의 정의는, 일단 Kreyzig 책을 따르면 아래와 같습니다.

$$\begin{align}(f*g)(t) &= \int_0 ^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau \\ &= \int_0 ^t f(t-\tau) g(\tau) d\tau\end{align}$$
사실 $t-\tau$가 $f, g$중 어디에 들어가있는지는 크게 중요하지 않습니다. 그리고 위끝과 아래끝을 조금 다른 식으로 정의하는 경우도 있구요. 일단 우리는 저 정의를 가지고 다뤄보겠습니다. ㅎㅎ

Laplace transform 해보기

그렇다면, 왜 곱셈법칙이 성립하는지 함께 계산해보도록 합시다.
$$\begin{align} \mathscr{L} (f*g) &= \int_0 ^\infty e^{-st} (f*g) dt \\ &=\int_0^\infty e^{-st} \int_0^t f(\tau)g(t-\tau) d\tau dt \end{align}$$
이제 순서를 살짝 바꿔봅시다. 여기에 사용되는 것이 Fubini의 정리인데요, 적분하는 영역만 같다면 순서와 범위를 설정하는 방법에 상관없이 결과가 같다는 겁니다. 자세한 내용은 요기요기에서 확인을 하시고, 저게 어떻게 적분식을 변형하는지 잘 살펴볼까요?

$\tau = 0$~$t$부터 적분을 한 다음, $t=0$~$\infty$까지 적분을 하는 것을 $t-\tau$평면에 도시해보면 아래와 같은 모양이 나올겁니다. $\tau=t$의 직선을 그리면 되는거죠.

그런데, 이 그림을 꼭 저렇게가 아니라, 다르게 표현할 수도 있습니다. $t=\tau$부터 시작해서 $\infty$까지 가는 범위이고, $\tau$는 $0$부터 시작해서 $\infty$까지 가도록 만들 수 있는거죠. (빨간 색) 그래프를 잘 째려보면 됩니다. 아하! 하고 납득을 하셨다면, 순서를 바꿔봅시다.
$$\int_0^\infty f(\tau) \int_\tau^\infty e^{-st}g(t-\tau) dt d\tau$$
네 이제 이걸…$t-\tau=p$로 치환해보겠습니다. $\tau$를 상취급할거에요! 그러면 $p=0$부터 시작해서 $\infty$까지 가겠죠?
$$\int_0^\infty f(\tau) \int_0^\infty e^{-s(p+\tau)}g(p) dp d\tau$$
이제 적당히 식을 정리해봅시다.
$$\int_0^\infty e^{-s\tau} f(\tau) d\tau \int_0^\infty e^{-sp} g(p)dp$$
이렇게 되면, 굉장히 익숙한 함수 두 개의 모양이죠? ㅋㅋㅋ 바로 Laplace transform 의 정의입니다. 그러니…
$$\mathscr{L}(f) \mathscr{L}(g)$$
요롷게 식이 바뀔 수 있는 거죠. 즉, convolution 관계에 있는 두 함수를 Laplace transform 시키면 Laplace transform 의 곱이 탄생하는 겁니다. 결론을 써보면,

$$\mathscr{L}(f*g) = \mathscr{L}(f)\mathscr{L}(g)$$
이렇게 정리할 수 있겠네요.

어디에 쓰이느냐?

사실 convolution 자체를 수학적으로 엄청 쓸일이 있는 것은 아닌….것 같습니다. 전기 신호를 연구하는 쪽에서는 자세히 다루는 것 같기도 하던데, 일단 ‘수학적’인 의미만을 놓고 봤을 때는 convolution 자체 보다는 그 결과를 다시 돌려놓거나, 아니면 다른 equation 을 푸는데에 응용하는 경우가 더 많았거든요! 아래의 두 가지 예시가 convolution을 중요하게 만드는 이유니까, 잘 익혀두도록 합시다!

응용 1 : Inverse transform

Inverse transform을 할 때, 부분분수로 나누는 과정이 참 화나는 일이었습니다. 분모에 곱해져있는 수많은 항들을 일일이 부분분수로 쪼개서 계수를 구하는….과정은 정말 인내심의 한계를 테스트하는 힘든 작업입니다. 하지만 우리는 ‘곱해져있는’ 함수에 대한 inverse laplace transform 을 할 수 있습니다. Convolution 을 이용하면 되니까요!

예를들어…
$$\mathscr{L}^{-1}\left( \frac{5}{(s^2 + 1)(s^2 + 25)} \right)$$
요런 계산을 해야한다고 칩시다. 원래대로라면…
$$\frac{as+b}{s^2+1} + \frac{cs+d}{s^2+ 25}$$
이렇게 분해해서 $a, b, c, d$를 일일이 구해야 겠지만, 지금은 비장의 무기가 있죠! 바로 Convolution!
$\mathscr{L}(f) = \frac{1}{s^2 + 1}$ 이 되는 $f$는 $\sin t$이고, $\mathscr{L} (g) = \frac{5}{s^2+25}$가 되는 $g$는 $\sin 5t$입니다. 그러니까,
$$\mathscr{L} (f*g) = \frac{1}{s^2 +1 } \frac{5}{s^2 + 25}$$
이렇게 손쉬운 계산을 할 수 있는 겁니다. 그렇다면 원 함수를 구하기 위해 convolution 만 하면 OK!
$$f*g = \int_0 ^t \sin \tau \sin 5 (t-\tau) d\tau$$
이건 쉽게 하나의 함수로 만들 수 있을 거라고 믿겠습니다. 삼각함수의 곱셈이니까요~!

의의는..

굳이 복잡하게 부분분수 분해를 하지 않아도, 분모에 뭔가 복잡하게 곱해져있다면 한 번 쯤 생각해봐도 괜찮을법한 그런 방법입니다. 물론 그렇게 구한 함수 두 개를 적분기호 안에 넣었을 때 적분이 쉽게 되는지 여부는 확인해보아야 겠죠? 둘 중 어느 것이 더 빠르고 실수가 적은지는 여러분의 취향에 따라 다를테니, 제안만 하고 다음 응용으로…!!

응용 2 : Integral equation

이런 방정식이 있다고 합시다.
$$y - \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) d \tau = t$$
원래 이 방정식은 ‘정석적으로’ 풀자면 양변을 미분해서 풀어야 합니다. ㅋㅋㅋㅋㅋ 생각만 해도 끔찍하죠? 한 번 미분을 해보려했는데, 적분기호 위에도 $t$가 있고 그 안에도 $t$가 있습니다. 이것 참 난감하죠?
적분범위가 상수가 아니라 변수이기 때문에, 살짝 골치가 아파지는 거죠. 이 현상에 대해 연구를 한 수학자의 이름을 따서 Volterra integral Equation 이라고 부릅니다.

진짜 미분을 해서 풀어볼까?

저 식을 미분을 한다면, $t$를 어떻게 처리할 지가 관건이겠죠! 양변을 $t$에 대해 미분을 한 번 해보겠습니다.

미분

$$\frac{dy}{dt} - \frac{d}{dt} \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) d\tau =1$$

저 미분과 적분이 합쳐진 항은 어떻게 할 거냐구요?ㅋㅋ이 성질을 이용할 겁니다.
$$\frac{d}{dx} \int_0^{b(x)} f(x, y)dy = f(x, b(x)) \frac{db}{dx} + \int_0^{b(x)} \frac{\partial f}{\partial x}dy$$
이 경우에는 $f(x, b(x))$를 해버리면 $\sin(t-\tau)$때문에 $0$이 되어버리니, 뒤에 있는 적분항만 남을 겁니다. 정리해보면,

$$\frac{dy}{dt} - \int_0^t y(\tau) \cos(t-\tau) d\tau =1$$
아직 적분기호가 남아있네요. 한 번 더 미분!
$$\frac{d^2 y }{dt^2} - y(t)+ \int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)d\tau =0$$

연립

네 그러니………….ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
$$y - \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) d \tau = t$$
이 식과 연립을 해서 풀어야 합니다. 변변 더하면,
$$\frac{d^2y}{dt^2} = t$$
이런 식이 나오겠죠. 그럼 초기조건 두 개를 찾아야 합니다. 다시 처음 식으로 올라가서 $t=0$을 대입하면 $y(0)=0$을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{dy}{dt} - \int_0^t y(\tau) \cos(t-\tau) d\tau =1$$
여기에 $t=0$을 대입하면 미분값에 대한 초기조건도 얻을 수 있죠. $$\left.\frac{dy}{dt} \right|_{t=0} = 1$$
이제 ODE를 푸시면 됩니다! ㅋㅋㅋ non-homogeneous 2nd order linear ODE 이니까, 큰 문제는 없을거에요. 다만 엄청나게 귀찮을 뿐…..ㅋㅋㅋㅋ

정답은

$$y=t + \frac{t^3}{6}$$
이렇게 나옵니다. 저 방법으로 풀면 좀 힘들테니 다른 방법으로 답을 얻어볼게요 전 ^^

Laplace transform 이용하기

$$y - \int_0^t y(\tau) \sin(t-\tau) d \tau = t$$

왠지 굉장히 적분기호 안에 있는 식이 convolution 을 떠올리게 생겼습니다. 그러니 전 그냥 주어진 방정식을 통째로 Laplace transform 하겠습니다.
$$\mathscr{L} (y) - \mathscr{L}(y) \mathscr{L} (\sin t)=\mathscr{L}(t)$$
$\mathscr{L}(y) = Y(s)$라고 두고 식을 조금 정리해보면
$$Y - Y \mathscr{L} (\sin t) = \mathscr{L} (t)$$
이고, 각각의 Laplace transform 을 구해보면
$$Y - Y \frac{1}{s^2 +1} = \frac{1}{s^2}$$
그러니…
$$\begin{align}Y \frac{s^2}{s^2 + 1} &= \frac{1}{s^2} \\ Y &= \frac{s^2 + 1}{s^4} = \frac{1}{s^2} + \frac{1}{s^4} \end{align}$$
라는 결과가 나오네요. 저 결과는 inverse Laplace transform 시키기 굉장히 좋은 형태죠? 다시 원래의 함수를 얻을 수 있을 겁니다. 마찬가지로 정답은
$$y=t + \frac{t^3}{6}$$
로 얻을 수 있겠네요.

의의?

긴 말이 필요 없죠? ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ Volterra Integral Equation 은 의외로 많이 나오는 방정식이고, 저걸 일일이 미분하고 초기조건을 하나하나 따져 넣는 것 보다는 나을 것 같습니다. 앞에 $y$가 아니라 $\frac{dy}{dx}$가 붙어있기만 해도, 세 번, 네 번 미분은 그냥 찍고 갑니다. 이럴 때 일 수록 Laplace transform 의 활약이 눈부시네요!

정리

이번 포스팅에선 할 얘기가 별로 없을 줄 알았는데 왜 어느새 이렇게 길어져있는건지….ㅋㅋㅋㅋㅋ 항상 이러네요 ㅋㅋ

이제 Laplace transform 으로 미분방정식을 풀 수 있는 준비는 모두 되었습니다. 기본적인 상식(???!?!!)은 다 갖춰졌다고 할 수 있죠. 앞에서 배운 여러 공식들을 머릿속에서 아주 잘 정리하고 있다면, 앞에서 배운 analytic solution 보다 어떨 때는 더 편하게 ODE를 풀 수 있을 겁니다.

다음 포스팅에서는, 조금 심화…라고는 하지만 모든 교수님들이 시험문제에서 하나쯤은 꼭 출제해 주시는 periodic function 에 대한 Laplace transform 에 대한 이야기를 한 후 문제 풀이 포스팅으로 넘어가보려 합니다. 이제 참새의 공학수학도 거의 막바지에 도달했네요. 뿌듯!ㅋㅋㅋㅋ
다음 포스팅에서 뵙겠습니다. 그럼 이만!