#5.Laplace transform(6. 주기함수)

그림출처

Laplace transform

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

이번 포스팅은 Laplace transform 의 마지막 이론 부분입니다. 바로 학교에서 수업시간에 다뤄주지는 않고 연습문제에 툭 하고 던져주기만 하지만, 시험에는 굉장히 자주 나오는 주기함수, periodic function 의 Laplace transform 에 대해 다뤄보고자 합니다. 적분의 신기한 성질과 무한급수의 합에 의한 성질 때문에 식이 한 방에 정리가 될 거에요. 그럼 시작해볼까요?

주기함수의 표현

주기가 $p(>0)$인 주기함수는, 기본적으로 아래와 같은 성질을 가집니다.
$$f(x+p) = f(x)$$
예를 들어…
$$f(x) = \sin x$$ 같은 경우
$$f(x+2\pi) = \sin(x+2\pi) = \sin x$$
이기 때문에, $2\pi$를 주기로 하는 주기함수입니다. 눈치를 챘겠지만 주기함수는 periodic function 이기 때문에 주기를 나타내는 알파벳이 $p$…..ㅎㅎ

뭐 여튼, 주기함수의 표현법은 이정도만 알고 계시면 됩니다 ㅋㅋㅋㅋ

주기함수의 Laplace transform

그렇다면 저 성질을 만족하는 주기함수를 Laplace transform 의 정의에 넣어봅시다.
$$\mathscr{L} (f) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt$$
그런데, $p$마다 반복해서 $f(t)$가 똑같이 나오니까, 구간을 $t=np$마다 끊어서 적분을 해줘도 상관이 없지 않을까?라는 생각에 적분을 이렇게 변형시킵니다.
$$\int_0^p f(t) e^{-st}dt + \int_p^{2p} f(t) e^{-st} dt+ \int_{2p}^{3p} f(t) e^{-st} dt+ ......$$
그렇다면, 안에 있는 $f(t)$는 똑같은데 적분 범위만 달라지는 것을 볼 수 있습니다. 그러니 적분 범위를 맞춰주기 위해 치환을 해줍시다.
$$\begin{align} \int_0^p f(t) e^{-st}dt &= \int_0^p f(t) e^{-st} dt \\ \int_p^{2p} f(t) e^{-st} dt &= \int_0^p f(\tilde t+p) e^{-s(\tilde t + p) } d\tilde t \\&= e^{-sp} \int_0^p f(\tilde t) e^{-s \tilde t} d\tilde t &(t-p=\tilde t) \\ \int_{2p}^{3p} f(t) e^{-st} dt &=\int_0^p f(\tilde t +2p) e^{-s(\tilde t + 2p) } d \tilde t \\ &= e^{-2sp} \int_0^p f(\tilde t) e^{-s \tilde t} d\tilde t & (t-2p = \tilde t) \\ ....\end{align}$$

네 이렇게….. 치환을 합니다. 잘 보면 $$\int_0^p f(t) e^{-st}dt$$ 요놈은 계속 반복되고 있고, 앞에 붙어있는 놈만 $e^{-sp}, e^{-2sp},...$
이렇게 변해가고 있다는 사실을 눈치챌 수 있습니다. 그 다음도 계속 그럴것이라는 사실은 그냥 증명없이…..받아들일 수 있겠죠?ㅋㅋ
다시 대입해보면,
$$\mathscr{L} (f) = \left(1+ e^{-sp} + e^{-2sp} + ... \right) \int_0^p f(t)e^{-st} dt$$
이런 모양이 되겠죠. 적분기호 앞에 곱해진 항은 그렇다면,
$$1 + e^{-sp}+ e^{-2sp} + ...$$
공비가 $e^{-sp}$인 무한 등비 급수라는 사실을 알 수 있습니다. 그렇다면 이 아이가 수렴하려면, $e^{-sp}<1$이어야 하고, 즉 $sp>0$이어야 합니다. $p>0$인 것은 정의에 의해 자명하므로, $s>0$이어야만 하겠죠. 즉 주기함수의 Laplace transform 을 깔끔하게 정리할 수 있는 경우는 $s>0$인 경우 뿐이라는 것!

$s>0$이라는 조건을 달고, 정리해보면

$$\begin{align}\mathscr{L} (f) & = \left(1+ e^{-sp} + e^{-2sp} + ... \right) \int_0^p f(t)e^{-st} dt \\ &=\frac{1}{1-e^{-sp}} \int_0^p f(t) e^{-st} dt\end{align}$$
그러니 이제 한 주기 안에서만 적분하고, $\infty$까지의 적분을 하지 않아도 된다는 것!

정리해보면

$p$를 주기로 하는 주기함수 $f(t)$에 대하여,
$$\mathscr{L} (f) = \frac{1}{1-e^{-ps}}\int_0^p e^{-st} f(t) dt (s>0)$$
이 성립한다.

한 걸음 더 - staircase function

그렇다면, 주기함수는 주기함수인데 일정한 값 $k$ 만큼씩 증가하는 아래와 같은 함수는 어떻게 될까요? (그림 : Kreyszig 공학수학)

이 함수는 $p$가 지날 때 마다 $k$씩 더해지는 구조를 가진 함수입니다. 우리는 살짝 잔머리를 굴려서, 이미 알고 있는 아래와 같은 주기함수와의 연관성을 찾아보려 합니다. (그림을 수정하기 귀찮으니 $y$축에 $f(t)$라고 쓰인 것은 무시하고 $g(t)$라고 합시다 ㅎ….ㅋㅋㅋㅋㅋ)

$$g(t) = \frac{k}{p}t, g(t+p) = g(t) (0<t<p)$$
이 그림에 오른쪽 위로 쭉 올라가는 $\frac{k}{p}t$그래프를 한 번 쭉 그어보면, $g(t)$와의 차이가 점점 $0, k, 2k, 3k...$로 증가하고 있습니다. 그러니 우리는 쭉 올라가고 있는 $\frac{k}{p}t$에서 $g(t)$를 빼면 원하는 모양의 staircase function 을 얻을 수 있겠네요.
$$f(t) =\frac{k}{p}t - g(t)$$
즉,
$$\mathscr{L}(f) = \mathscr{L}(\frac{k}{p}t)- \mathscr{L}(g) = \frac{k}{p} \mathscr{L} (t) -\mathscr{L}(g)$$
이렇게 변하는 거겠죠.
$$\begin{align} \mathscr{L} (t) &= \frac{1}{s^2} \\ \mathscr{L}(g) &= \frac{1}{1-e^{-sp}}\int_0^p \frac{k}{p} te^{-st} dt\\ &= \frac{k}{p}\frac{1}{1-e^{-sp}} \left[ \left. \frac{-1}{s}te^{-st} \right|_0^p + \frac{1}{s}\int_0^p e^{-st} dt\right] \\ &= \frac{k}{p} \frac{1}{1-e^{-sp}} \left[ - \frac{1}{s} pe^{-sp} - \frac{1}{s^2}(e^{-sp}-1) \right] \\ &= -\frac{ke^{-sp}}{s(1-e^{-sp})} + \frac{k}{s^2p}\end{align}$$
이렇다는 사실을 떠올려보고, 대입해버리면
$$\begin{align} \mathscr{L}(f) &= \frac{k}{s^2p}+ \frac{ke^{-sp}}{s(1-e^{-sp})} - \frac{k}{s^2p} \\ &=\frac{ke^{-sp}}{s(1-e^{-sp})}\end{align}$$

이렇게 됩니다. 즉, 계단모양으로 한층한층 올라가는 함수에 대한 Laplace transform 은 저렇게 생겼네요. 물론 당연히, $s>0$입니다.

정리해보면

$p$를 주기로 $k$씩 계단모양으로 증가하는 함수 $f(t)$에 대한 Laplace transform 은
$$\begin{align} \mathscr{L}(f) =\frac{ke^{-sp}}{s(1-e^{-sp})}\end{align}$$
로 얻어진다.

정리

오늘 내용은 그리 많지도 않고, 살짝 식만 변형해주면 되지만 한 번 눈으로 보지 않으면 접근하기가 상당히 골룸한 내용입니다. ㅋㅋ 여러분을 위한 배려..^0^
주기가 $p$인 주기함수 $f(t)$를 Laplace transform 한 결과는
$$\mathscr{L} (f) = \frac{1}{1-e^{-ps}}\int_0^p e^{-st} f(t) dt (s>0)$$
이렇게 되고, 더 나아가 일정 주기 $p$마다 $k$씩 계단모양으로 증가하는 함수에 대한 Laplace transform 은
$$\begin{align} \mathscr{L}(f) =\frac{ke^{-sp}}{s(1-e^{-sp})}\end{align}$$
요렇게 된다는 것!

이제 정말 이론적인 것은 완벽하게 갈고닦아 졌을 것이라고 믿습니다. 연습문제는 다음 포스팅에서 한꺼번에 모아 올리고, 풀이도 그 다음 포스팅에 한꺼번에 모아 올리도록 하겠습니다. 다음 포스팅에서는, 문제를 선정해서 올리는 김에 지금까지 한 Laplace transform 들에 대한 총정리와, 어떻게 $F(s)$로부터 $f(t)$를 찾을 것인지 많은 tip을 드리도록 하겠습니다. 저의 글을 볼 날도 얼마 남지 않았군요 ㅋㅋㅋ 그럼 다음 포스팅에서, 문제와 함께 뵙겠습니다. 마지막 주제까지 화이팅!