#5.Laplace transform(8.문제 풀이)

그림출처

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

Laplace transform 문제 풀이

저번 문제가 좀 많았나요?ㅋㅋㅋㅋㅋ 저도 푸는데 좀 힘들….었습니다. ㅋㅋ 옛날 기억을 되살리려니 아무래도 책을 뒤지고, 풀이과정을 깔끔히 정리하기 위해 노력하다보니 포스팅이 늦어졌네요 ㅠㅠ 문제들은 제가 이곳 저곳에서 풀어보다가, 반드시 알아야 한다! 하는 문제들을 주로 모아보았습니다. 당연히 kreyszig 아저씨의 책에 실려있는 것도 있죠. 저도 풀면서 몇 가지 헷갈렸던 사항들을 적어드린 후, 본격적인 문제풀이에 들어가도록 합시다.

또한, 이 많은 문제들을 함께 풀고 확인해준, 가끔 댓글도 남겨주는 같은 과 후배 승훈 군에게 감사의 한 마디를 전합니다! ㅋㅋㅋ 시험은 무사히 봤을거라 믿고있습니다. 두 사람이나 풀었지만, 그래도 틀린 부분이 있을 수 있으니 언제든 댓글로 질문/오타지적은 감사히 받아들이겠습니다!

1. shifting

말이 필요없을 정도로 헷갈리는 부분이었습니다. ㅋㅋㅋㅋ t-shifting 의 경우에는 $f(t)$와 $F(s)$가 동시에 $-$부호가 붙는 반면, s-shifting 의 경우에는 $f(t)$쪽에는 $-$부호가 붙지만 $F(s)$쪽에는 $+$부호가 붙습니다. 사실 지금 쓰면서도 헷갈려서 다시 한 번 확인하고 왔네요 ㅋㅋ 저는 시험 때 정말 답답해서, 알파벳 순서대로 $s, t$니까 $-$부호의 개수도 각각 순서대로 1개, 2개 라고 억지로 암기해서 들어갔던 기억이 납니다 ㅠㅠ

게다가, s-shifting 은 직접 ODE를 풀 때 절대로 간단한 풀이가 나올 수 없게 만드는 주적(?)이기 때문에, 잘 연습해두어야 하겠습니다. 2-5번같은 경우가 특히 많이 연습해 두어야할 케이스같네요 ㅎㅎ

2. 부분분수

부분분수가 조금만 복잡해지면, convolution 을 이용해야할 지 직접 부분분수로 헤쳐야 할지를 선택해야하는 기로에 놓일 때가 있습니다. convolution 의 경우에는 $f(t)$를 처리할 때 적분기호안에 들어가는 함수가 삼각함수…정도만 되어도 아주 귀찮을 거구요, 부분분수로 헤쳐야 하는 경우에는 자칫하다가 미지수가 3개는 가볍게 넘어가는 연립방정식을 풀어야하는 귀찮음이 생깁니다. 물론 문..제를 풀기는 풀어야 하니 어쩔 수 없지만 ㅋㅋ 각자에게 맞고 마음에 드는 방법을 손에 익히시길 바랍니다!

3. 미, 적분 관계와 삼각함수

삼각함수가 제곱, 세제곱….이 되어있는 경우에는 미분을 할 경우 잘 정리해서 원래의 세제곱 형태가 나올 수도 있습니다. 그것을 아주 교묘히 활용한 예제가 1-1과 1-3이 되겠네요. 삼각함수는 서로 밀접한 상관관계가 있고, 이것을 잘 이용해서 Laplace transform 결과를 얻어내는 방법을 익혀두면 좋을 것 같습니다.

4. shifted data problems

처음 문제를 보고 조금 당황하셨을 것 같아 죄송하네요 ㅋㅋㅋ 3-1-5번 문제가 바로 그것인데, 이 문제는 $y$의 초기값이 $t=0$이 아닌 다른 경우가 주어져있었습니다. 이럴 경우에는 $t$를 치환해서 다른 문자로 만든 다음 초기값을 0으로 만들어줘야 합니다. 자세한 것은 문제에서 보도록 합시다. ㅋㅋ

Problems & answers

1. Laplace transform

주어진 함수의 Laplace transform 결과를 구하시오.

1. $$\cos^2 \omega t$$
   이 문제는 단순히 삼각함수를 변형하기만 하면 끝나는 문제였습니다. ㅋㅋ 풀이는 아래에서 확인해봅시다. 

   

   
   

2. $$e^{-t} \sin 4t$$
   단순한 s-shifting 문제였습니다. 일단 $\sin 4t$ 의 laplace transform 을 구한 다음 s-shifting 을 시키면 되는 거였죠? 

   

   
   

3. $$\sin^4 t$$
   1-1번 문제를 함께 활용하고, laplace transform 의 미분 관계식을 교묘히 사용해야하는 문제였습니다. 삼각함수를 교묘하게 정리하는 것이 관건인 문제네요!

   

   
   

   
   

4. $$t\cos 4t$$
   $F$또는 $f$를 미분, 적분해야만 얻을 수 있는 관계식이 드디어 나왔습니다. 원리를 잘 이해했다면 조금 헷갈려도 잘 풀 수 있을겁니다.

   

   
   

   
   

5. $$\sin t ( \frac{\pi}{2} < t < \pi)$$
   unit-step function 입니다. 함수를 잘 만드는 것 뿐만 아니라, 만들어진 함수 안에 있는 $t$를 원래함수에 맞게 잘 shifting 시키는 것 또한 중요한 문제입니다. 1-6번과 더불어 잘 익혀둡시다. 개인적으로 unit-step function 에서 나오는 삼각함수는 번거롭지 않아서 좋더군요 ㅋㅋㅋ 1-6을 보면 지옥같은 귀찮음을 방불케 하는 귀찮음을 볼 수 있을겁니다 ㅋㅋ

   

   
   

   
   

6. $$e^{-\pi t/ 2} ( 1<t<3)$$
   역시, unit-step function 입니다. (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!)

   

   
   

   
   

   
   

7. $$25t-100\delta(t-\pi)$$
   dirac’s delta function 은 너무 쉽….네요! ㅋㅋㅋㅋ 풀이를 보고 확인~

   

   
   

   
   

8. $$\frac{1}{2} t^2 \cos \frac{\pi}{2}t$$
   분수를 두 번 미분하면서 실수하기 쉬운 문제입니다. 차근차근 미분하면 답이 나오는데, 답도 그리 만만하지는 않네요 ㅠ

   

   
   

   
   

9. $$t^3 e^{kt}$$
   네 세…번을 미분하는 문제였고, 1-8번과 같은 원리입니다. ㅋㅋㅋ

   

   
   

   
   

10. $$4t * e^{-2t}$$
    대놓고 convolution 을 하라는 문제입니다. 풀이가 가장 짧은 것 같네요 ㅋㅋ

    

    
    

    
    

11. $$u(t-2\pi) \cos 2t$$
    역시 unit-step function 이었지만, 삼각함수의 특성 상 $4\pi$만큼 이동해도 똑같은 함수가 나오기 때문에 별로 신경쓰지 않아도 되는 문제였습니다.

    

    
    

    
    

12. $$\cos t - t\sin t$$
    삼각함수와, $F$의 미분이 섞인 문제입니다. 이것도 마찬가지로 차근차근 미분해보면 답을 얻을 수 있네요.

    

    
    

    
    

    
    

13. 
    주기함수에 대한 공식은 거의 암기하고 있어야 빠르게 풀 수 있습니다. 한 주기 안에 있는 함수가 간단하니까, 어렵지 않게 풀 수 있었을 겁니다.

    

    
    

    
    

    
    

14. 
    이것도 포스팅에서 했던 내용이죠? ㅋㅋ 교묘한 원리를 잘 기억해둡시다.

    

    
    

    
    

    
    

2. Inverse laplace transform

주어진 함수의 inverse Laplace transform 결과를 구하시오.

1. $$\frac{5s+1}{s^2-25}$$
   문제 4번까지는 거의 똑같이 생긴 모양의 함수가 어떻게 inverse laplace transform 이 이루어지는지 체험해 보시라는 의미에서 숫자를 임의로 만들어 봤습니다. ㅋㅋㅋ 이 경우에는, 부분분수로 만드는 방법이 제일 편하네요.

   

   
   

   
   

2. $$\frac{5s+1}{s^2 + 25}$$
   이번에는 분모의 인수분해가 불가능한데, 잘 쪼개보면 $\sin, \cos$의 laplace transform 결과를 볼 수 있습니다. 숫자와 문자를 잘 조작해서 inverse laplace transform을 하는 요령이 빨리 키워져야만 laplace transform 을 잘 할 수 있습니다! 특히 중요한 문제였다고 할 수 있네요 ㅋㅋ

   

   
   

   
   

   
   

3. $$e^{-4s}\frac{5s+1}{s^2 -25}$$
   2-1번 문제에서 t-shifting 만 이루어진 문제라고 할 수 있습니다. 최종 답안은 저렇게 써도 되고, 그냥 $u(t-4)$가 곱해진 형태로 나타내어도 됩니다.

   

   
   

   
   

4. $$e^{-s}\frac{5s+1}{s^2 +25}$$
   이번에는 2-2번 문제에서 t-shifting 이 이루어졌네요. 다행히도 $\pi$가 아니니까 그대로 shifted 된 값을 써주면 되지만, 만약 $\cos 5(t-\pi)$의 경우에는 반드시 $\pi$가 없는 형태로 바꿔주는것이 삼각함수에 대한 예의(?)입니다. ㅋㅋㅋㅋ

   

   
   

   
   

5. $$\frac{6s+7}{2s^2 + 4s + 10}$$
   정말 중요한 문제입니다. s-shifting 을 얼마나 잘 재주껏 식을 조작해서 만들어낼 수 있느냐를 살펴보는 문제인데, 분모와 분자에 숨어있는 $s+1$을 잘 찾아내서 적절하게 사용할 수 있는 형태로 고치는 것이 관건입니다. 이런 형태의 문제는 꼭 손에 익혀두도록 합시다.

   

   
   

   
   

   
   

6. $$\frac{1}{s(s^2+ 1/4)}$$
   convolution 은 이럴 때 쓰라고 만들어놓은 좋은 도구죠! $1/s$는 $1$을 laplace transform 한 결과이니, convolution 을 할 때 적분 안에 들어가는 함수가 하나 줄어듭니다. 그러니 정말 편하게 $f(t)$를 구할 수 있는 거죠. 이런 안목을 자꾸 키우는 연습을!

   

   
   

   
   

7. $$\frac{e^{-2s}}{(s-1)^2}$$
   s-shifting 과 t-shifting 이 동시에 일어난 경우입니다. 저는 s-shifting 을 먼저 풀었지만, 사실 어느 것을 먼저해도 결과는 마찬가지입니다. (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!) 

   

   
   

8. 제일 풀기 싫었던(…)문제였습니다. 분모의 인수분해가 잘 되었기에 망정이지….

   

   
   

   
   

9. $$\frac{2}{(s^2+4)(s^2+49)}$$
   convolution 을 이용했음에도 삼각함수의 덧셈공식을 활용하는 다소 귀찮은 문제였습니다. 물론 이 문제도 $\frac{as+b}{s^2 + 4} +\frac{cs+d}{s^2 + 49}$로 부분분수를 만들어 풀어도 무관합니다.  (**2015.10.08 수정 : 댓글로 <유니생>님이 지적해주셔서 올바른 풀이로 수정했습니다!) 

   
   

   

   
   

   
   

   
   

10. $$\frac{9}{s(s+3)}$$
    이전의 문제들에 비하면 딱히…

    

    
    

    
    

11. $$\frac{s}{(s^2-4)^2}$$
    머리를 잘 굴려야 하는 문제였습니다. $F$의 미분에 따른 $f$의 형태가 어떻게 되는지를 정확하게 이해한 다음 대입해야만 나올 수 있는 결과네요.

    

    
    

    
    

12. $$\ln \frac{s}{s-1}$$
    12, 13번은 로그함수를 특집으로 만들어보았습니다. 로그함수는 미분하면 상대적으로 형태가 복잡하지는 않기 때문에, 미/적분 관계만 신경써주면 그리 어렵지는 않습니다.

    

    
    

    
    

13. $$\ln \frac{s^2+1}{(s-1)^2}$$
    마찬가지 문제였지만, $\ln (s^2 +1)$을 미분할 때 분자에 $2s$가 오는 것을 빼먹지만 않게 조심합시다. 절대 제가 그랬다는 것은 아니구요. 하하

    

    
    

    
    

14. $$\cot^{-1} \frac{s}{\pi}$$
    이것도, 대략난감한 함수를 미분했더니 Wow!하는 모양새가 만들어진 꼴이네요. 특히나 역삼각함수들은 미분형태가 특이하게 생겼으니, 잘 활용하도록 합시다.

    

    
    

    
    

3. Solving ODE

3-1. 아래 미분방정식을 푸시오.

1. $$y(t) + \int_0^t (t-\tau) y(\tau) d\tau =1$$
   1, 2번은 물론 미분을 해서 ODE를 풀어도 됩니다만, ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 굉장히 대놓고 convolution 을 쓰라는 모양이기 때문에, 이런 것을 잘 캐치할 수 있다면 시간과 노력과 인내심을 절약할 수 있겠죠.

   

   
   

   
   

2. $$y(t) + 2e^t \int_0^t y(\tau) e^{-\tau} d\tau =te^t$$
   마찬가지입니다. 앞에 붙어있는 $e^t$를 안으로 가져오는데에 망설임이 없어도 되는 이유는, 적분기호 안에있는 녀석은 $\tau$이므로 $t$는 그냥 상수 취급하기 때문이죠!

   

   
   

   
   

3. $$\frac{d^2 y}{dt^2} + 4y = 4\cos t, y(0)=0, y'(0)=0$$
   슬슬 힘들어지기 시작합니다. 좌변에 $Y$만 남기고 정리를 하니까 또다른 관문이 기다리고 있네요. 사실 convolution 이 아니라 부분분수로 분해하는 편이 더 낫지 않았을까…하는 후회를 하기는 했습니다만….삼각함수를 자유자재로 다룰 수 있다면 convolution 도 크게 힘들지는 않을겁니다.

   

   
   

   
   

4. $$\frac{d^2 y}{dt^2} + 4y = 4\cos t (t<\pi, ~~otherwise : 0) \\ y(0)=0, y'(0)=0$$
   ODE의 우변에 unit step function 이 들어가 있는 경우 얼마나 고달파지는지를 잘 보여주는 예시라고 할 수 있겠습니다. 하….그나마 초기값이 0이었기에 조금 덜 복잡한 거죠……. unit step function 을 처리할 수 있어서 좋기는 하지만, 계산량도 그만큼 늘어나니 아이러니한 일입니다. ㅋㅋ

   

   
   

5. $$\frac{d^2y}{dt^2} + y =2t, y(\pi/4) = \pi/2, y'(\pi/4) = 2-\sqrt 2$$
당황하셨….다면 죄송합니다. ㅋㅋㅋㅋ 초기값이 $t=0$이 아닌 경우에 해당하는 문제인데요, 이 경우에는 풀이를 보시다시피 매우 많이 복잡합니다. 전부 shifting 을 시킨 다음 다시 답을 inverse shifting 시켜야 하기 때문이고, 그렇다고 shifting 된 함수를 가지고 계산하는 것이 그리 쉬운 일도 아닙니다.

6. $$\frac{d^2 y}{dt^2} -3\frac{dy}{dt} + 2y = 4t-8, y(0)=2, y'(0)=7$$

이 정도가 일반적인 laplace transform 의 난이도..라고 생각하시면 되겠습니다. ㅋㅋㅋㅋ 부분분수가 조금 귀찮긴 하지만, 숫자가 그나마 쉽게 나오니 다행이라고 생각합시다.

7. $$\frac{d^2 y}{dt^2} +3\frac{dy}{dt} + 2y = u(t-1)-u(t-2), y(0)=y'(0)=0$$
타이핑을 해준 저의 손가락에 감사를….ㅋㅋㅋㅋ 시험에는 이런 문제가 나오겠죠 ㅠㅠ

3-2. 아래 미분방정식을 Laplace transform 시킨 후, $F(s)=Y$와 그 미분에 대한 식으로 정리하시오.

사실 정리를 한 다음에 $Y$에 대한 ODE를 풀어도 되는데, 문제가 너무 복잡해지고 제가 풀기 귀찮..(?) 풀이가 길어져서 자제했습니다. ㅎㅎㅎ 특히 이 문제를 풀면서 주의해야할 사항은, $t\frac{d^2 y}{dt^2}$라던가, $t\frac{dy}{dt}$, $t^2 \frac{d^2 y}{dt^2 }$를 구하는 과정입니다. 잘 익혀두도록 합시다.

1. $$t\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} + ty =0$$
   사실 이건, Bessel equation 이었습니다. 그래서 최종 결과로 나온 $(s^2 +1) \frac{dY}{ds} + sY =0$을 $Y$에 대해 풀어서 구하면 Bessel function이 나올겁니다. 시도해보고 싶으시다면 시도해보세요!ㅋㅋㅋ
   그리고, 특히 주목할 점은 식을 정리하는 과정에서 $y(0)$이 알아서 없어진다는 사실입니다. 그래서 초기값 없이도 풀 수 있기는 한 문제가 되었죠. 물론 $Y$에 대한 ODE를 풀면서 초기값이 들어가야하긴 할겁니다.

   

   
   

   
   

2. $$\frac{d^2y}{dt^2} - ty=0$$
   이 식은 Airy’s equation 이라고 불리우는 식입니다. 이 식은 풀기 위해서 노력을 해도 계속 똑같은 형태의 식만 나오는 특이한 ODE인데요, series solution 을 구한 다음 구해진 $y(t)$와 비교해 봐도 의미있는 작업일 것 같습니다.

   

   
   

   
   

3. $$(1-t^2) \frac{d^2y}{dt^2} - 2t\frac{dy}{dt} + n(n+1)y=0$$
   낯선 식에서 느껴지는 익숙한 냄새, 바로 Legendre’s equation 이네요. 이건 정리가 되어도 $Y$에 대한 2차 ODE이기 때문에 풀기가 쉽지는 않을 것 같습니다. $n=0$정도를 대입해보면 괜찮을까요?ㅋㅋㅋ Legendre polynomial 과 비교해보는 작업도 의미가 있을 것이라고 추천합니다.

   

   
   

   
   

4. $$t\frac{d^2y}{dt^2} + (1-t) \frac{dy}{dt} + 6y=0$$
   이 문제의 원래 모양은 $t \frac{d^2y}{dt^2} + (1-t) \frac{dy}{dt} + ny=0$이고, Laguerre’s equation 이라고 이름이 붙어있습니다. $n=6$이 아닌 일반적인 형태로 정리한다면, $$(s^2 -s) \frac{dY}{ds} + (n+1-s) Y=0$$ 이 될테고, 이것을 풀면 $$y(t) = \frac{e^t}{n!} \frac{d^n}{dt^n}(t^n e^{-t})$$
   이런 모양이 됩니다. $n=6$인 특수경우에 대해서 성립하는지 한 번 확인해봅시다.

   

   
   

   
   

3-3. $f(t) = t^m, g(t) = t^n$ 에 대해, 아래 물음에 답하시오.

$$\int_0^1 u^m (1-u)^n du = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$

저도 풀다가 신기해서 한 번 가져와 봤습니다. ㅋㅋㅋㅋ 자세한 건 아래의 풀이과정을 참조하시면 되는데요, 아마 저 식을 증명하는 다양한 방법 중에 laplace transform 과 convolution을 효과적으로 적용한 방법이 되겠네요.

마무리

이렇게, Laplace transform 도 대단원의 막을 내렸고, 이제 저의 ODE포스팅은 끝입니다. 결코 쉽지 않았을 내용을, 제 특유의 의식의 흐름 기법과 함께 하시느라 고생하셨습니다 ㅠ 다음 포스팅에서 Outro로 찾아뵙겠습니다. 뿅!