#5.Laplace transform(7.Problems)

그림 출처

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

Laplace transform

드디어, 기다리고 기다리던 문제풀이 시간입니다.ㅋㅋ 지금까지 이론적인 배경들을 잘 갈고 닦아 왔다면, 이번 포스팅을 통해 문제푸는 요령을 터득해서 완벽하게 Laplace transform 을 하는 기회를 만들어 봅시다. 크게 Laplace transform, inverse laplace transform, solving ODE의 세 주제로 나누어 문제를 풀어보겠습니다. 문제에 대한 풀이와, 풀이 과정에 대한 tip 등등은 바로 다음 포스팅에 올리도록 하겠습니다. 그럼 여러분 화이팅~

Problems

1. Laplace transform

주어진 함수의 Laplace transform 결과를 구하시오.

1. 
   $$\cos^2 \omega t$$
2. $$e^{-t} \sin 4t$$
3. $$\sin^4 t$$

*2015.10.08 수정 : 3번 문제에 $\omega$가 들어간 것으로 잘못 올려두었던 것을 '유니생' 님이 지적해 주셔서 수정하였습니다! 혼란을 드려 죄송합니다 ㅠㅠ

4. $$t\cos 4t$$
5. $$\sin t ( \frac{\pi}{2} < t < \pi)$$
6. $$e^{-\pi t/ 2} ( 1<t<3)$$
7. $$25t-100\delta(t-\pi)$$
8. $$\frac{1}{2} t^2 \cos \frac{\pi}{2}t$$
9. $$t^3 e^{kt}$$
10. $$4t * e^{-2t}$$
11. $$u(t-2\pi) \cos 2t$$
12. $$\cos t - t\sin t$$
13. 이미지 출처
    
14. 이미지출처
    

2. Inverse laplace transform

주어진 함수의 inverse Laplace transform 결과를 구하시오.
1. $$\frac{5s+1}{s^2-25}$$
2. $$\frac{5s+1}{s^2 + 25}$$
3. $$e^{-4s}\frac{5s+1}{s^2 -25}$$
4. $$e^{-s}\frac{5s+1}{s^2 +25}$$
5. $$\frac{6s+7}{2s^2 + 4s + 10}$$
6. $$\frac{1}{s(s^2+ 1/4)}$$
7. $$\frac{e^{-2s}}{(s-1)^2}$$
8. $$\frac{2(e^{-s} - e^{-3s})}{s^2-4}$$
9. $$\frac{2}{(s^2+4)(s^2+49)}$$
10. $$\frac{9}{s(s+3)}$$
11. $$\frac{s}{(s^2-4)^2}$$
12. $$\ln \frac{s}{s-1}$$
13. $$\ln \frac{s^2+1}{(s-1)^2}$$
14. $$\cot^{-1} \frac{s}{\pi}$$

3. Solving ODE

3-1. 아래 미분방정식을 푸시오.

1. $$y(t) + \int_0^t (t-\tau) y(\tau) d\tau =1$$
2. $$y(t) + 2e^t \int_0^t y(\tau) e^{-\tau} d\tau =te^t$$
3. $$\frac{d^2 y}{dt^2} + 4y = 4\cos t, y(0)=0, y'(0)=0$$
4. $$\frac{d^2 y}{dt^2} + 4y = 4\cos t (t<\pi, ~~otherwise : 0) \\ y(0)=0, y'(0)=0$$
5. $$\frac{d^2y}{dt^2} + y =2t, y(\pi/4) = \pi/2, y'(\pi/4) = 2-\sqrt 2$$
6. $$\frac{d^2 y}{dt^2} -3\frac{dy}{dt} + 2y = 4t-8, y(0)=2, y'(0)=7$$
7. $$\frac{d^2 y}{dt^2} +3\frac{dy}{dt} + 2y = u(t-1)-u(t-2), y(0)=y'(0)=0$$

3-2. 아래 미분방정식을 Laplace transform 시킨 후, 와 그 미분에 대한 식으로 정리하시오.

1. $$t\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} + ty =0$$
2. $$\frac{d^2y}{dt^2} - ty=0, y(0)=y'(0)=0$$
3. $$(1-t^2) \frac{d^2y}{dt^2} - 2t\frac{dy}{dt} + n(n+1)y=0, y(0)=y'(0)=0$$
4. $$t\frac{d^2y}{dt^2} + (1-t) \frac{dy}{dt} + 6y=0$$

3-3. $f(t) = t^m, g(t) = t^n$ 에 대해, 아래 물음에 답하시오.

1. $f*g$를 표현하시오.
2. convolution된 식을 치환하여 적분 범위가 0~1이 되도록 하시오.
3. 1을 Laplace transform 하시오.
4. 3의 결과를 inverse laplace transform 하시오.
5. 2의 결과와 4의 결과를 통해 아래 식을 증명하시오.
   $$\int_0^1 u^m (1-u)^n du = \frac{m!n!}{(m+n+1)!}$$