#5.Laplace transform(4. 미분&적분 관계식)

그림 출처 : 저도 이렇게 예쁜 L을 쓰고 싶군요..

Laplace transform

1. Laplace transform이 갖는 의의
2. 기초적인 Laplace transform
3. unit step function과 dirac’s delta function
4. shifting과 정수배
5. 미분, 적분 관계
6. Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
7. 주기함수
8. 실전 문제 풀이

이번 포스팅에서는 드디어, ‘Laplace transform’만 했던 답답함에서 벗어나서 ‘ODE’를 통째로 풀 수 있게 됩니다. 하지만 절대 기뻐할일…만은…아닌거 같습니다. 계산이 그만큼 어마어마하게 늘거든요 ㅠㅠㅠ

미분, 적분 관계 중에서 더 중요하고 많이 나오는 것은 미분관계입니다. 미분 관계는 크게 , Laplace transform 을 하기 전 $f(t)$의 미분과 Laplace transform 을 한 후 $F(s)$의 미분형태 두 가지로 나누어집니다. 그렇다면 천천히 미분을 함께 해봅시다 :)

$f(t)$의 미분

정말정말정말~!!!! 많이 쓰일겁니다. 왜냐하면, 상수계수 미분방정식(constant coefficient)를 한 방에 Laplace 로 바꿔버릴수가 있거든요!ㅋㅋ 같이 볼까요?

1차미분

일단 결론부터 말하면,
$$\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) = sF(s) - f(0)$$
이렇게 나옵니다. 다르게 표현하면..
$$\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) = s\mathscr{L}(f(t)) - f(0)$$
이렇다는 거죠! 비교적 쉽게 증명할 수 있습니다.

$$\begin{align} \mathscr{L}(f(t)) &= \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \\ \mathscr{L} (\frac{df(t)}{dt}) &= \int_0^\infty \frac{df(t)}{dt} e^{-st}dt \end{align}$$
아랫 식에 그대로 부분적분을 먹입니다.
$$\matrix{\frac{df(t)}{dt} & e^{-st} \\ f(t) & -se^{-st}}$$
$$\begin{align}\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) &= \int_0^\infty \frac{df(t)}{dt} e^{-st}dt \\ &=\left. e^{-st} f(t) \right|_0 ^\infty + s \int_0^\infty f(t) e^{-st} dt \\ & = - f(0) + sF(s) \end{align}$$

네 그렇…습니다 ㅋㅋ 증명끝! 참 쉽죠?

2차미분

굳이 2차미분을 부분적분으로 다시 증명할 필요까지는 없습니다. 그대로 대입을 하면 되니까요!
$$\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) = s\mathscr{L}(f(t)) - f(0)$$
이 식에, $f(t)$대신에 $\frac{df(t)}{dt}$를 넣어봅시다.
$$\mathscr{L}(\frac{d^2 f(t)}{dt^2}) = s \mathscr{L} (\frac{df(t)}{dt}) - \left.\frac{df(t)}{dt} \right|_{t=0}$$
여기에 다시 대입하면,
$$\begin{align} \mathscr{L}(\frac{d^2 f(t)}{dt^2}) &=s \left(s\mathscr{L}(f(t))-f(0) \right) - \left.\frac{df(t)}{dt} \right|_{t=0} \\ &= s^2 F(s) -sf(0) - \left.\frac{df(t)}{dt} \right|_{t=0} \end{align}$$

끝! ㅋㅋㅋ 1차미분만 잘 암기해 두면 쭉쭉 유도할 수 있을겁니다.

고차미분

이 과정을 쭉~ 진행해 나가면, 일반적인 $n$차 미분에 대한 Laplace transform 도 정의내릴 수 있습니다. 증명은 생략하고, 받아들이도록 합시다.
$$\mathscr{L}(\frac{df^{(n)}(t)}{dt^n}) = s^n \mathscr{L}(f(t)) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2} \left. \frac{df(t)}{dt}\right|_{t=0}- ... \left.\frac{df^{(n-1)}(t)}{dt^{n-1}}\right|_{t=0}$$

이렇게, 아무것도 곱해지지 않은 $f(t)$의 미분형태를 Laplace transform 하는 것을 배워봤습니다.

$F(s)$의 미분

그렇다면, 이번에는 Laplace transform 된 결과인 $F(s)$를 미분해 보겠습니다. 은근히 헷갈리니까 정신차리고 따라와야 해요!
일단 Laplace transform의 정의를 씁니다.
$$\mathscr{L}(f(t)) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt = F(s)$$
이제 양변을, $s$에 대해 미분할겁니다. ㅋㅋㅋㅋ 좀 헷갈리나요? 적분기호 안에 있는 녀석들은, $e^{-st}$빼고는 전부 $t$에 대한 함수이기 때문에 신경을 끄겠습니다. $e^{-st}$만 $s$에 대해 미분하면, $-te^{-st}$가 되겠죠. 그렇다면….
$$\frac{dF(s)}{ds} = \int_0^\infty (-t) f(t) e^{-st}dt$$
이런 식을 얻을 수 있습니다. 즉 결과를 놓고보면…
$$\frac{dF(s)}{ds} = \mathscr{L}(-tf(t))$$
라고 할 수 있겠죠.

• $F(s)$의 미분이 중요한 이유는…
  바로, 무언가 곱해져 있는 $f(t)$의 미분형태를 Laplace transform 하는 데에 굉장히 유용하기 때문입니다. 위에서 했던 것만 가지고는 ‘상수 계수 ODE’밖에 풀 수 없습니다. 당장 Euler-Cauchy ODE를 풀고자 해도 앞에 붙은 $t^2,t$때문에 상당히 난감해지거든요. 그래서,$t, t^2$등이 곱해져 있는 $f(t), \frac{df}{dt}$를 Laplace transform 할 때 굉장히 유용한 식이고 기억해 두어야 할 원리입니다.

어쨌든, 우리는 $tf(t)$의 Laplace transform 을 할 수 있게되었습니다. 그렇다면…

응용(1)

$t\frac{df}{dt}$같은 녀석은 어떻게 Laplace transform 을 해야할까요? $f(t)$미분과 $F(s)$미분이 동시에 들어가있네요. 이 경우에는 먼저 $f(t)$미분을 시도해봅니다. 위에서 했던 식을 가져와 볼까요?
$$\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) = \int_0^\infty \frac{df(t)}{dt} e^{-st}dt = sF(s)-f(0)$$
이제 오른쪽 두 변을 $s$로 미분해봅시다.
$$\begin{align}\int_0^\infty (-t)\frac{df(t)}{dt} e^{-st}dt &= \frac{d}{ds} \left[ sF(s)-f(0)\right] \\ &= F(s) + s\frac{dF}{ds} \\ &=\mathscr{L} (-t\frac{df(t)}{dt})\end{align}$$
Wow. 신기하죠? ㅋㅋㅋㅋ 이런식으로, $t$와 $f(t)$의 미분형태가 곱해진 경우, 먼저 $f(t)$의 미분에 대한 Laplace transform식을 쓴 다음 양변을 $s$로 미분하면 쉽게 식을 얻을 수 있습니다.

응용(2)

그렇다면 $t$의 차수가 높아지면 어떻게 될까요? 예를들어, $t^2 f(t)$의 Laplace transform 같은 경우 말입니다. 적분식을 $s$에 대해 미분하는 경우 $t$만 앞으로 튀어나왔던 것 기억하죠? 그럼 한 번 더 미분하는 겁니다. ㅋㅋㅋㅋ 간단하게 생각하는 거죠!
$$\frac{dF(s)}{ds} = \int_0^\infty (-t) f(t) e^{-st}dt$$
여기서 양변을 $s$에 대해 한 번 더 미분해버립니다.
$$\frac{d^2F(s)}{ds^2} = \int _0^\infty t^2 f(t) e^{-st} dt$$
그러니, 결과를 보면
$$\frac{d^2F(s)}{ds^2} = \mathscr{L} (t^2 f(t))$$
이렇다는 거죠! 정말 교묘하게 식을 잘 변형시키고 있는 게 신기하네요…ㅎㅎ

응용(3)

그러면 위의 응용 1, 2의 사례가 짬뽕된 경우를 한 번 보겠습니다. Euler-Cauchy ODE의 경우 $t^2 \frac{d^2f}{dt^2}$항이 있었죠? 이런 경우에는 항상 $f(t)$의 미분에 대한 Laplace transform식부터 써줍시다.

$$\begin{align} \mathscr{L}(\frac{d^2 f(t)}{dt^2}) &=\int_0^\infty \frac{d^2f(t)}{dt^2} e^{-st} dt \\ &= s^2 F(s) -sf(0) - \left.\frac{df(t)}{dt} \right|_{t=0} \end{align}$$
이제 오른쪽에 있는 두 등식을, $s$에 대해 한 번 미분!
$$\int_0^\infty (-t) \frac{d^2 f(t)}{dt^2} e^{-st} dt = 2sF(s) + s^2 \frac{dF(s)}{ds} - f(0)$$
다시 한 번 미분!
$$\begin{align}\int_0^\infty t^2 \frac{d^2f(t)}{dt^2} e^{-st}dt &= 2F(s) + 2s \frac{dF(s)}{ds} + 2s \frac{dF(s)}{ds} + s^2 \frac{d^2 F(s)}{ds^2} \\ &= 2F(s) + 4s\frac{dF(s)}{ds} + s^2 \frac{d^2F(s)}{ds^2}\end{align}$$
즉,
$$\mathscr{L}(t^2\frac{d^2 f(t)}{dt^2}) = 2F(s) + 4s\frac{dF(s)}{ds} + s^2 \frac{d^2F(s)}{ds^2}$$
이런 결론을 얻을 수 있겠죠. 다른 다양한 미분에 대해서도 마찬가지 입니다. 다소 헷갈릴수 있고, 식을 교묘하게 정리하는 거니까 잘~잘~아주잘~할수 있어야 합니다 ^0^

$f(t)$의 적분

사실 적분에 대한 것은 증명을 위에서 본 ‘미분에 의한’ 방법으로 할 거기 때문에, 크게 많이 쓰이지는 않습니다. 하지만, 특수한 경우로 적분자체가 불가능하거나 굉장히 번거로운 함수에 적분기호를 씌워서 정의된 함수가 있을 경우, 간혹 써먹어볼만한 방법입니다. 무엇인고 하니..!
$$g(t) = \int_0^t f(\tau)d\tau$$
요렇게! 정의된 $g(t)$라는 함수를 살펴봅시다. $g(0)=0$이라는건 쉽게 알 수 있을테지요! 이것의 양변을 Laplace transform 시킬텐데, 그전에 양변을 일단 미분!
$$\frac{dg}{dt} = f(t)$$
그러면 이 결과는 양변을 Laplace transform 시키기가 훨씬 쉬워졌네요. $f(t), g(t)$각각의 Laplace transform 을 $F(s), G(s)$라 둔다면
$$sG(s) = F(s)$$
이렇게 됩니다. 너무 간단하게 끝나죠?ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ$g(0)=0$이니까 좌변이 깔끔하게 떨어져버리네요 ㅋㅋ

$$\mathscr{L} \left( \int_0^t f(\tau)d\tau\right) = \frac{F(s)}{s}$$
끝! ㅋㅋㅋ

$F(s)$의 적분

마찬가지로, $F(s)$도 적분이 가능합니다. 이번에는 적분 범위가 조금 다른데요,
$$\int_s^\infty F(\tilde s) d\tilde s$$
요런 모양의 적분을 살펴볼겁니다. 저기에 그대로 Laplace transform 의 정의를 넣어봅시다.
$$\int_s^\infty \left[\int_0 ^\infty e^{-\tilde s t} f(t) dt \right] d\tilde s = \int_0^\infty f(t) \left [ \int_s^\infty e^{-\tilde s t} d\tilde s \right] dt$$
네…그렇다면! 괄호안에 있는 적분 결과식은 $\frac{e^{-st}}{t}$ 이 되니까, 다시 대입하면
$$\int_0^\infty e^{-st} \frac{f(t)}{t} dt$$
이렇게 됩니다. 즉, 결과를 놓고 보면
$$\int_s^\infty F(\tilde s) d\tilde s = \mathscr{L} (\frac{f(t)}{t})$$
라고 얻을 수 있겠네요.

즉, 다시 말하면 $F(s)$의 적분결과식은, $t$로 나눠진 형태의 함수에 대한 Laplace transform 을 쉽게 얻을 수 있다는 강점을 가집니다. 아래 응용 (1)에서 확인해봅시다.

응용(1)

$$\mathscr{L} (\frac{\sin at}{t})$$
이런걸 보면 막막하기만 할테지만…ㅋㅋㅋㅋ당황하지 않고 먼저 $\sin at$에 대한 Laplace transform 을 먼저 계산한 다음 그것을 적분해 주면 됩니다.
$$\mathscr{L} (\sin at) = \frac{a}{s^2 + a^2 }$$
이놈을 적분해주면..! 잊지 않았겠죠?

$$\int_s^\infty \frac{a}{\tilde s^2 + a^2 } d \tilde s= \left.\arctan \frac{\tilde s}{a} \right|^{\infty}_{s} = \frac{\pi}{2} - \arctan\frac{s}{a} = \arctan \frac{a}{s}$$
요렇게! 될겁니다. 훨씬 더 편하죠?

응용(2)

그럼, 위의 문제가 똑같이 나왔는데 이번엔 $\arctan (a/s)$를 inverse Laplace transform 시킨 결과를 구하라고 했다고 생각해봅시다. $\arctan$함수가 떠올리기 쉬운 함수는 아니니까, 좀 쉬워지려면 어떻게해야할까, 고민을 하다가 미분을 한 번 해봅니다.
$$F(s) = \arctan (a/s) \\ \frac{dF}{ds} = \frac{-a/s^2}{1+a^2/s^2 } = -\frac{a}{s^2 + a^2}$$
이제는 저~ 위에서 증명했던, $F(s)$의 미분에 대한 Laplace transform 을 사용할 수 있을 겁니다.
$$\frac{dF}{ds} = \mathscr{L} (-tf(t))$$
그러니까 Laplace transform을 해서 $-\frac{a}{s^2+a^2}$가 나오는 함수를 잘 생각해서 찾아보면 됩니다. 망설임없이 $-\sin at$를 고를 겁니다. 그런데 이 함수는, $-tf(t)$와 동일한 함수이니 $f(t) = \frac{\sin at}{t}$라는 결론이 나오는 거죠!

정리

미분, 적분 관계식이 갑자기 쏟아지고, 심지어 모양이 비슷비슷했습니다. 분모에 $t$, $s$중 어떤 것이 들어갔는지 잘 봐야하고, 부호가 마이너스인지 아닌지, 적분범위가 어디부터 어디까지인지 상당히 헷갈릴만한 주제였어요 ㅠㅠ
$F(s)$의 미분/적분은, $f(t)$에 $t$가 곱해져 있거나 $t$로 나누어져 있는 경우에 대한 Laplace transform 을 보다 더 쉽게 할 수 있도록 만들어 줍니다. 그것을 기억하면서, 다시 한 번 복습해보고 머릿속에 확실히 넣어둡시다.

정리하자면!

• $f(t)$의 미분
  $$\mathscr{L}(\frac{df(t)}{dt}) = sF(s) - f(0)$$

• $F(s)$의 미분
  $$\frac{dF(s)}{ds} = \mathscr{L}(-tf(t))$$

• $f(t)$의 적분
  $$\mathscr{L} \left( \int_0^t f(\tau)d\tau\right) = \frac{F(s)}{s}$$

• $F(s)$의 적분
  $$\int_s^\infty F(\tilde s) d\tilde s = \mathscr{L} (\frac{f(t)}{t})$$

다음 포스팅에서는, Laplace transform 에서 성립하지 않는 ‘곱의 법칙’을 성립시키기 위한 수학자들의 노력을 알아볼겁니다. convolution 이라는 건데요, 이것을 통해 좀 특이한 형태의 미분방정식까지 풀 수 있게 됩니다. 점점 Laplace transform 의 적용 범위가 넓어지고 있군요!

쏟아지는 비스무리한 수식들에 치이느라 수고가 많습니다. ㅋㅋㅋㅋ 다음 포스팅에서 좀 더 많고 복잡한 수식으로 다시 만날 겁니다 ㅠㅠ 복습을 잘 하고 있어야 겠죠~!