- Laplace transform이 갖는 의의
- 기초적인 Laplace transform
- unit step function과 dirac’s delta function
- shifting과 정수배
- 미분, 적분 관계
- Laplace transform 의 곱셈법칙 : convolution
- 주기함수
- 실전 문제 풀이
Laplace transform
드디어, 기다리고 기다리던 문제풀이 시간입니다.ㅋㅋ 지금까지 이론적인 배경들을 잘 갈고 닦아 왔다면, 이번 포스팅을 통해 문제푸는 요령을 터득해서 완벽하게 Laplace transform 을 하는 기회를 만들어 봅시다. 크게 Laplace transform, inverse laplace transform, solving ODE의 세 주제로 나누어 문제를 풀어보겠습니다. 문제에 대한 풀이와, 풀이 과정에 대한 tip 등등은 바로 다음 포스팅에 올리도록 하겠습니다. 그럼 여러분 화이팅~
Problems
1. Laplace transform
주어진 함수의 Laplace transform 결과를 구하시오.
cos2ωt- e−tsin4t
- sin4t
- tcos4t
- sint(π2<t<π)
- e−πt/2(1<t<3)
- 25t−100δ(t−π)
- 12t2cosπ2t
- t3ekt
- 4t∗e−2t
- u(t−2π)cos2t
- cost−tsint
- 이미지 출처
- 이미지출처
*2015.10.08 수정 : 3번 문제에 ω가 들어간 것으로 잘못 올려두었던 것을 '유니생' 님이 지적해 주셔서 수정하였습니다! 혼란을 드려 죄송합니다 ㅠㅠ
2. Inverse laplace transform
주어진 함수의 inverse Laplace transform 결과를 구하시오.
1. 5s+1s2−25
2. 5s+1s2+25
3. e−4s5s+1s2−25
4. e−s5s+1s2+25
5. 6s+72s2+4s+10
6. 1s(s2+1/4)
7. e−2s(s−1)2
8. 2(e−s−e−3s)s2−4
9. 2(s2+4)(s2+49)
10. 9s(s+3)
11. s(s2−4)2
12. lnss−1
13. lns2+1(s−1)2
14. cot−1sπ
3. Solving ODE
3-1. 아래 미분방정식을 푸시오.
- y(t)+∫t0(t−τ)y(τ)dτ=1
- y(t)+2et∫t0y(τ)e−τdτ=tet
- d2ydt2+4y=4cost,y(0)=0,y′(0)=0
- d2ydt2+4y=4cost(t<π, otherwise:0)y(0)=0,y′(0)=0
- d2ydt2+y=2t,y(π/4)=π/2,y′(π/4)=2−√2
- d2ydt2−3dydt+2y=4t−8,y(0)=2,y′(0)=7
- d2ydt2+3dydt+2y=u(t−1)−u(t−2),y(0)=y′(0)=0
3-2. 아래 미분방정식을 Laplace transform 시킨 후, 와 그 미분에 대한 식으로 정리하시오.
- td2ydt2+dydt+ty=0
- d2ydt2−ty=0,y(0)=y′(0)=0
- (1−t2)d2ydt2−2tdydt+n(n+1)y=0,y(0)=y′(0)=0
- td2ydt2+(1−t)dydt+6y=0
3-3. f(t)=tm,g(t)=tn 에 대해, 아래 물음에 답하시오.
- f∗g를 표현하시오.
- convolution된 식을 치환하여 적분 범위가 0~1이 되도록 하시오.
- 1을 Laplace transform 하시오.
- 3의 결과를 inverse laplace transform 하시오.
- 2의 결과와 4의 결과를 통해 아래 식을 증명하시오.
∫10um(1−u)ndu=m!n!(m+n+1)!
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