#4-series solution(2. Legendre's equation : 두 번째)

#어디까지왔니?

Legendre’s equation

저번 포스팅에서, Legendre’s equation을 잘…정리를 했습니다. 완전히 정리하기 전에,
$$y = a_0 \left( 1- \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{4!}x^4 -... \right)\\ + a_1 \left( x-\frac{(n-1)(n+2)}{3!}x^3 + \frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{5!}x^5 -... \right)$$

이 형태를 기억하고 가봅시다. $y= a_0 P_0 + a_1 Q_0$ 처럼 표현했던 것도 기억을 되살려 보고….$P_n (x)$는 다항식이었기 때문에, 이에 대한 일반적인 표현식을 이번 포스팅에서 찾아볼거라고 했었죠!

그 전에 기억하고 갈 것은……
이전 포스팅의 마지막 부분에서

• $n$이 $0$일 때는, $y_0$의 두번째 항 이후가 전부 $0$으로 날아가 버리고, $y_1$은 $n$이 곱해져있지 않으므로 끝없는 급수 형태로 남아있을 것입니다.
• $n$이 $1$일때는, $y_1$의 두번째 항 이후가 전부 $0$으로 날아가 버리고, $y_0$은 $(n?1)$이 곱해져있지 않으므로 끝없는 급수 형태로 남아있을 것입니다.
• $n$이 $2$일때는, $y_0$의 세번째 항 이후가 전부 $0$으로 날아가 버리고, $y_1$은 $(n?2)$가 곱해져있지 않으므로 끝없는 급수 형태로 남아있을 것입니다.

등등등…의 이야기를 했습니다. 그런데, 각각의 ‘다항식’부분의 최고차항을 살펴보면,

• $n=0$일 때 :$a_0 \times ( 1 )$로 끝납니다.
• $n=1$일 때 : $a_1\times (x)$로 끝납니다.
• $n=2$일 때 : $a_0 \times \left( 1- 3x^2\right)$로 끝납니다.

다항식의 형태를 갖는 $P_n(x)$는, 최고차항이 $x^n$이라는 사실을 알 수 있습니다. 이를 통해,
$$P_n (x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2 + .... + b_n x^n$$
라고 두고 시작을 할 겁니다. 5-1에서 더 자세히 다뤄봐요!

#5. 점화식

을 다시 되돌아보면,
$$a_{s+2} = - \frac{(n-s)(n+s+1)}{(s+1)(s+2)} a_s ( s \geq 2)\\ a_2 = - \frac{n(n+1)}{2}a_0 \\a_3 = - \frac{n^2 + n -2}{6} a_1 = -\frac{(n-1)(n+2)}{3 \times 2}$$
이었던 것 같고…….

$$s=2 : a_4 = - \frac{(n-2)(n+3)}{3 \times 4}a_2 = \frac{(n-2)n(n+1)(n+3)}{ \underbrace{2 \times 3 \times 4}_\text{=4!}} a_0 \\ s=3 : a_5 = - \frac{(n-3)(n+4)}{4 \times 5} a_3 = \frac{(n-3)(n-1)(n+2)(n+4)}{\underbrace{2 \times 3 \times 4 \times 5} _\text{=5!}} a_1$$
를 대입을 통해 얻었던 거 같네요!

#5-1. 식 정리

$a_s$는 우리가 처음 두었던, $$y=\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m$$ 의 $a_m$에 대한 식입니다. 우리는 $P_n (x)$의 일반적인 다항식 형태를 구하고자 합니다. 즉,
$$P_n (x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2 + .... + b_n x^n$$
이렇게 표현된다고 가정하는 거죠. 사실, $b$과 $a$는 똑같은 것을 문자만 바꿔서 표현한 것에 불과합니다. 혼동을 방지하기 위해서 문자를 구분했을 뿐, $P_n (x)$의 각 항이 $a_s$에서 유래한 것은 꼭 기억하고 계속 해봅시다.

이제, 가장 차수가 높은 $x^n$의 계수인 $b_n$을 아래와 같이 ‘가정’유도도 아니고 그냥 가정......ㅠㅠ해본 다음, 그로부터 점점 낮은 차수의 계수를 구해봅시다.

$$b_n = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2}$$
그런데 $b_n$은, $a_s$에 대한 점화식
$$a_{s+2} = - \frac{(n-s)(n+s+1)}{(s+1)(s+2)} a_s ( s \leq n-2)$$
을 만족해야합니다.

• 잠깐 그런데…. 왜 갑자기 $s$의 범위가 바뀌었냐구요?ㅎㅎㅎㅎㅎ..
  아까 말하길, 최고차항 $b_n$부터 시작해서 점점 낮은 차수의 계수를 구한다고 했습니다. 그러면 $a$에 대한 점화식에서 가장 높은 차수가 $n$ 이상이 되어서는 안될 거라는 걸, 위에서 살펴본 최고차항이 $x^n$이라는 사실을 통해 알 수 있습니다. 그러니까, $s+2$는 $n$보다 작아야 하는 거죠.

본론으로 돌아와서 : $a_{s+2}$ 대신 $b_n$을 대입할건데, $a, b$는 어차피 똑같은 항을 나타낸다고 했으니까, 아래의 $s+2$와 $n$만 맞춰줘도 될 거다…라는 겁니다.
즉, $s=n-2$를 당당하게 대입을 하고, $a$를 $b$로 바꿔서 표현하면…

$$b_n= - \frac{2(2n-1)}{n(n-1)} b_{n-2}$$
어차피 계속해서 낮아지는 $b_n$을 구하게 될테니, $n$의 범위에 크게 신경을 쓰지 않는다고 약속해보고, 위에서 가정한 $b_n$을 그대로 저 식에 넣어버립시다.
$$\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} = - \frac{2(2n-1)}{n(n-1)} b_{n-2}$$
그러면, $b_{n-2}$를 구할 수 있겠죠?
$$b_{n-2} = -\frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} \times \frac{n(n-1)}{2 {(2n-1)}} = - \frac{\overbrace{(2n) \rlap{//////}{(2n-1)}(2n-2)!}^\text{=(2n)!} \times \rlap{----}{n(n-1)}}{2^n {\underbrace{n(n-1)!}_\text{=n!} \underbrace{\rlap{----}{n(n-1)}(n-2)!}_\text{=n!}}\times 2\rlap{//////}{(2n-1)} } \\ = - \frac{(\rlap{-}{2}\rlap{/}{n})(2n-2)!}{2^n \rlap{/}{n} (n-1)! (n-2)! \times \rlap{-}{2}} = -\frac{(2n-2)!}{2^n (n-1)! (n-2)!}$$

여기까지! 따라왔나요? 잘 …지우고 잘 …묶는 교묘한 기법을 통해 얻을 수 있습니다 ㅠㅠ ㅋㅋㅋ 비교해볼까요?
$$b_n = \frac{(2n)!}{2^n (n!)^2} \\ b_{n-2} =-\frac{(2n-2)!}{2^n (n-1)! (n-2)!}$$
같은 방법으로 계속해서 구해보면,
$$b_{n-4} = \frac{(2n-4)!}{2^n 2!(n-2)!(n-4)!}\\ b_{n-6} = - \frac{(2n-6)!}{2^n 3!(n-3)!(n-6)!}$$

어느 정도의 규칙을 찾을 수 있겠나요?

#5-2. 일반항

$$b_{n-2m} = (-1)^m \frac{(2n-2m)!}{2^n m!(n-m)!(n-2m)!}$$

이것도 별로 마음에 드는 것 같지는 않지만…. 꾸역꾸역 그나마 원하는 항을 한번에, 귀납적 정의를 이용하지 않고 바로 구할 수 있는 방법을 구했다는 데에 의의를 둡시다 ^0^….ㅋㅋㅋ

유의할 점은, 여기서는 $n$이 정해진 숫자이고 $m$ 이 변수라는 점입니다. 그러니까…
$$P_n (x) = b_0 + b_1x + b_2 x^2 + .... + b_n x^n$$ 를 저 형태에 맞게 다시 정의를 하자면
$$P_n(x) = \sum_{m=0}^{???} \overbrace{(-1)^m \frac{(2n-2m)!}{2^n m!(n-m)!(n-2m)!}}^\text{$b_{n-2m}$}x^{n-2m}$$
이렇게 된다는 것. 특이하게도, 최고차항인 $x^n$부터 내림차순으로 전개가 되고 있네요.

그러면, 위의 식에서 비워둔 $m$의 상한선은 어디일까요? 쉽게 생각해보면, $x^0$ 또는 $x^1$가 될 때까지 $m$을 증가시키다가, 최저차항이 얻어지는 순간 $m$을 중단하면 되겠죠.
그걸 굳이 식으로 표현을 하자니……
$$M= \cases{n~is~odd & (n-1)/2 \\ n~is~even & n/2}$$
요런 $M$이라는 놈을 정의해서 시그마의 위에 가져다 써주자는 겁니다. 자 이제 완성된 일반항을!! 드디어 써봅시다!!

$$P_n(x) = \sum_{m=0}^{M} \overbrace{(-1)^m \frac{(2n-2m)!}{2^n m!(n-m)!(n-2m)!}}^\text{$b_{n-2m}$}x^{n-2m}\\ \left( M= \cases{n~is~odd & (n-1)/2 \\ n~is~even & n/2} \right)$$

사실, $Q_n$의 규칙성을 따지는 방법도 밝혀져 있다고 하지만, 현재까지 우
리가 관심이 있고 계속해서 사용할 것은 $P_n$이므로, 여기까지만 합시다 @>@ ㅋㅋㅋ

여기까지 힘들게 따라오시느라 수고많으셨습니다. 이제 정리과정만 남았습니다~.~

#6. 원함수~7. 답

1. if n is even : $y=a_0 P_n + a_1 Q_n$
2. if n is odd : $y=a_0 Q_n + a_1 P_n$

#8. $P_n(x)$에 대해….

$P_n(x)$의 처음 몇 항만 계산해 보면 아래와 같습니다.

-for n is even
$$P_0 (x) = 1~~(M=0) \\ P_2 (x) = \frac{1}{2}(3x^2 -1)~~(M=1) \\ P_4 (x) = \frac{1}{8} (35x^4 - 30x^2 +3)~~(M=2) \\...$$

-for n is odd
$$P_1 (x) = x~~(M=0) \\P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 -3x)~~(M=1) \\ P_5 (x) = \frac{1}{8} (63x^5 - 70x^3 + 15x) ~~ (M=2) \\...$$
이것을 plotting 해보면 아래와 같습니다. 출처

$n$이 짝수일 때는 모두 $y$축 대칭을 이루고, $n$이 홀수일 때는 모두 원점 대칭을 이루고 있다는 사실을 알 수 있습니다. 그리고 특이한 사항으로, 모든 $n$에 대하여 $x=1$일 때 $P_n (x) =1$이네요 ㅎㅎ

맺음

힘들었죠?ㅋㅋㅋ Legendre Polynomial 이 정말 중요한 이유는 뒤쪽에서 PDE를 풀 때 나옵니다. 이 Polynomial 의 성질 때문에 그나마 몇 개의 PDE라도 풀 수 있게 되거든요!

포스팅에서 다룬 것은 정말 기본중의 기본으로, 유도하는 것 자체만을 심도있게 다루었습니다. 다시한 번 차근차근…살펴보고, 더 자세한 증명과 깔끔한 그림과……..기타 등등을 원하신다면 위키피디아 를 참고하셔도 되겠습니다. Rodrigues’s formula, Potential theory, Bonnet’s recursion 등등의 심화내용이 잘 다루어져 있는 것 같네요!