Newbie를 위한 양자역학 10_포텐셜 우물(1차원 무한 포텐셜 우물)

그림 출처

# Preview

오늘은 1D Infinite Potential Well에서 $\psi$가 어떻게 나오고, $E$가 어떤 성질을 가지는지 미분방정식을 풀어봅시다. 그러니까, 저번에 그렸던 이 그림에서, $V_0=\infty$인 경우를 말합니다.

또, 미분방정식을 풀기 위해서는 경계조건, 혹은 초기조건이 필요합니다. 그것에 대해서도 언급하지요.

# Boundary Condition of $\psi$

Boundary Condition이라고 하면, 경계조건을 이야기합니다. Preview에 그림에서 보듯이, 지금 우리의 Well에는 3가지 파트, 영역이 있습니다.
$$U= \begin{cases} \infty ~ ~ ~ ~& x<-a \\ 0 & -a<x<a \\ \infty & x>a \\ \end{cases}$$
그렇다면 이 때 연속성을 가지지 못 하고 경계가 되는 곳은 $x=\pm a$일 때겠죠. 이 때 $\psi$가 어떤 성질을 가져야하는지 생각해봅시다. 먼저, #01에서 얘기했듯이 $\psi \psi^*$는 확률밀도함수입니다. 같은 글에서 말했듯이, 전구간에서 적분하면 1이 되겠죠.
$$\int \psi \psi^* dV =1$$
일단, 이 식 자체도 의미가 있는데요, Normalization이라고 합니다. 미분방정식을 풀어보시면 보통 그 해인 $\psi$에 상수가 곱해진 상태로 남는데요, 그 상수의 값을 정하기 위해 이 적분식을 계산합니다. 한국어로는 규격화라고 합니다. “1로 규격을 맞춘다”고 생각하시면 됩니다. 그렇다면, $\psi$가 전구간에서 적분가능해야겠죠? 연속이면 적분가능하기 때문에, $\psi$는 연속이어야 합니다. 그렇다면 경계에서도 마찬가지겠죠.

(1) $\psi$가 경계에서 연속.

쓸만한 경계조건을 하나 더 만들기 위해서, 시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식(#08)을 가져와봅시다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + U \psi = E \psi \\ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi^* + U \psi^* = E \psi^*$$
두 번째 식은 첫 번째 식 전체에 켤레를 취해준 것일 뿐입니다. 첫 번째 식에는 $\psi^*$를, 두 번째 식에는 $\psi$를 곱해봅니다. 여기서 $U, E$는 연산자가 아니고, 단순히 실수인 상수가 곱해진다는 의미기 때문에 교환법칙을 할 수가 있어요.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\psi^*\nabla^2 \psi + U \psi\psi^* = E \psi\psi^* \\ -\frac{\hbar^2}{2m}\psi\nabla^2 \psi^* + U \psi\psi^* = E \psi\psi^*$$
뺍니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}(\psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*)=0$$
상수는 날려주고요, 라플라시안이 그래디언트의 다이버전스라는 정의를 써주면 이렇게 됩니다.
$$\begin{split} \psi^*\nabla^2\psi-\psi\nabla^2\psi^*= &\nabla \cdot (\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*) \\ =&\nabla \cdot (\psi^*\nabla\psi-(\psi^*\nabla\psi)^*) \\ =&2i\nabla \cdot \Im(\psi^*\nabla\psi) =0 \end{split}$$
중간에 있는 $\Im$은 복소수의 허수 파트만 끌어내는 함수입니다. $c=a+bi$일 때 $c-c^*=2b i = 2i \Im (c)$라고 쓰는 거죠. 자, 어쨌든, $\nabla \cdot \Im(\psi^*\nabla\psi) =0$입니다. 다이버전스도 결국 미분하는 함수니까, 안의 함수가 미분가능해야겠죠? 즉, $\psi^* \nabla\psi$가 미분가능해야합니다. 위에서 $\psi$가 연속이라는 걸 알았으니, $\nabla\psi$가 연속이면 되겠네요.

(2) $\nabla\psi$ (1D에서는 $\frac{d}{dx}\psi$)가 연속.

# 1D Infinite Potential Well

이제, 1차원 무한 포텐셜 우물에서 $\psi$가 어떻게 나오는지 봅시다. 위에서 말한 3가지 파트를 다시 끌어옵니다.
$$U= \begin{cases} \infty ~ ~ ~ ~& x<-a \\ 0 & -a<x<a \\ \infty & x>a \\ \end{cases}$$
쉬운 것부터 합시다. 어느 쪽이 쉬워보이나요? 0일 것 같지만 안타깝게도 $\infty$쪽이 더 쉽습니다. 두 경우를 동시에 해봅시다.

1. $|x|>a$

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맹목적으로 슈뢰딩거 방정식에 넣어보면 됩니다. 음, 맹목적이라기 보다는 목적이 있긴 하지만요, 어쨌든.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi+(\infty-E)\psi =-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi+\infty \psi=0$$
너무 간단한 2계 상미분방정식이군요. 하지만 안타깝게도 저기 늠름하게 자리한 $\infty$ 때문에 $\psi$가 항등적으로 $0$이 아니면 좌변은 발산하고 맙니다. 즉, 이 구간에서는
$$\psi =0$$

2. $|x|<a$

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다시 $U=0$으로 바꾸고 똑같이 합니다. 살짝 양변에 $-\frac{2m}{\hbar^2}$를 곱했으니 오해는 말아줘요.
$$\frac{d^2}{dx^2}\psi + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi = 0$$
저 상수를 타이핑하는 게 수식 입력할 때 너무 귀찮으니 $\alpha$로 치환합니다.
$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} \implies \frac{d^2}{dx^2}\psi + \alpha^2\psi = 0$$
너무 간단한 2계 제차 상계수 미분방정식이기 때문에 해가 이렇게 될 거라 믿어 의심치 않습니다.
$$\psi = A\cos \alpha x +B \sin \alpha x$$
여기서 경계조건을 씁니다. 즉, $\psi(-a)=\psi(a)=0$을 적용해봅시다.
$$A\cos\alpha a-B \sin \alpha a = 0 \\ A \cos \alpha a + B \sin \alpha a = 0$$
뭔가 되게 속는 느낌이 나는 식 두 개가 나왔어요. 그럼 우리는 다년 간 연립방정식을 풀어본 경험으로 인해 이런 해를 구할 수 있습니다.
$$A \cos \alpha a = 0 ~~~~~\text{and} ~~~~~ B \sin \alpha a = 0$$
경우가 네 가지가 나옵니다. 하지만 그 중 $A=B=0$인 경우는 원래의 $\psi=0$이 되어 의미없는 해이고, 코사인과 사인은 $\cos^2 (\alpha a)+\sin^2 (\alpha a)=1$이라는 관계식 때문에 $\cos\alpha a=\sin \alpha a=0$이 될 수 없습니다. 다시 말해서 다음과 같은 두 가지 경우를 해로 가질 수 있다는 거죠. $n$은 임의의 자연수입니다. 이건 코사인과 사인이 0이 되도록 하는 $\alpha a$의 값에서 나옵니다. 갑자기 자연수가 튀어나온다는 것이 약간 쎄-합니다.
$$A=0, \sin\alpha a=0 \implies \psi= B\sin \alpha x ~~~~(\alpha = \frac{n \pi}{a})\\ B=0, \cos \alpha a=0 \implies \psi =A \cos \alpha x ~~~~(\alpha = \frac{(2n-1) \pi}{2a})$$

#Determination of Constants & Energy

열심히 미분방정식을 풀었건만 아직 모르는 상수가 남았습니다. $A, B$를 일단 결정해야하고, 에너지 $E$를 계산해봐야됩니다. $A, B$를 결정할 때 위에서 말한 규격화를 해야합니다. 적분을 해야한다는 거죠. 하…

1. $\psi= B\sin \alpha x$

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$$\psi = B \sin \frac{n \pi}{a} x \\ \begin{split} \int \psi \psi^* dV = &\int_{-a}^{a}\psi\psi^* dx ~~~~~~~~ &\gets \text{1D Well} \\ =&B^2\int_{-a}^{a} \sin^2 (\frac{n \pi}{a}x)dx \\ =&\frac{B^2}{2} \int_{-a}^{a} (1-\cos\frac{2 n \pi}{a}x)dx ~~~~~~~~&\gets \text{Property of $\sin^2\theta$}\\ =& aB^2 \\ =& 1 ~~~~~~&\gets \text{Normalization} \end{split}$$
따라서, $B= \frac{1}{\sqrt{a}}$가 나오는군요. 에너지는 구하기 쉽습니다.
$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} = \frac{n \pi}{a} \rightarrow E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2} n^2 = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} (2n)^2$$
여기서 질문. $n$이 뭐죠? 임의의 자연수입니다. 왜 갑자기 도입했었나요? $\sin \alpha a=0$이라는 조건에서 $\alpha a = n \pi$가 되어야하기에 도입한 자연수입니다. 자연수는 아시다시피 연속하지 않죠. 그러면 이 자연수에 의한 함수인 $E$도 연속하지 않겠네요. 즉, 에너지 준위가 생긴다는 겁니다. 양자화되어 있다고 하죠. 다른 경우도 풀고 나서 에너지 준위를 쫙 훑어봅시다.
$$\psi = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \alpha x$$

2. $\psi =A \cos \alpha x$

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$$\psi = A\cos \frac{(2n-1) \pi}{2a} x \\ \begin{split} \int \psi \psi^* dV = &\int_{-a}^{a}\psi\psi^* dx ~~~~~~~~ &\gets \text{1D Well} \\ =&A^2\int_{-a}^{a} \cos^2 (\frac{(2n-1) \pi}{2a}x)dx \\ =&\frac{A^2}{2} \int_{-a}^{a} (1+\cos\frac{ (2n-1) \pi}{a}x)dx ~~~~~~~~&\gets \text{Property of $\cos^2\theta$}\\ =& aA^2 \\ =& 1 ~~~~~~&\gets \text{Normalization} \end{split}$$
마찬가지로 $A=\frac{1}{\sqrt{a}}$가 나왔네요. 또 에너지 $E$를 구해봅시다.
$$\alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}} = \frac{(2n-1) \pi}{2a} \rightarrow E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} (2n-1)^2$$
여기도 위와 마찬가지로 에너지가 양자화되어 있고 준위를 가집니다.
$$\psi = \frac{1}{\sqrt{a}} \cos \alpha x$$

# Overall Energy Level

하품 한 번하고, 마무리를 지읍시다. $\psi$가 사인의 형태일 때는 에너지가 지저분한 상수에 짝수 제곱을 곱한 것, 코사인의 형태일 때는 지저분한 상수에 홀수 제곱을 곱한 것입니다. 낮은 에너지부터 써 보면 이런 식으로 되겠군요. 물론 밑에 적은 4개가 끝일 리는 없고, 무한히 갑니다.
$$\begin{cases} \psi_1 = \frac{1}{\sqrt{a}} \cos \frac{\pi}{2a}x ~~~\leftrightarrow ~~ E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \cdot 1 \\ \psi_2 = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \frac{2\pi}{2a}x ~~~ \leftrightarrow ~~ E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \cdot 4 \\ \psi_3 = \frac{1}{\sqrt{a}} \cos \frac{3\pi}{2a}x ~~~ \leftrightarrow ~~E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \cdot 9 \\ \psi_4 = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \frac{4\pi}{2a}x ~~~ \leftrightarrow ~~E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2} \cdot 16 \end{cases}$$

$\psi$와 계산한 $E$를 보기 좋게 표현해봤습니다. 실제 축적은 다르겠지만, 그냥 한 눈에 보이도록 대충 지정했어요. 수소처럼 Well의 경우도 에너지 준위를 가지고 있네요. 그럼 그 차이만큼의 에너지를 가해준다면, 준위 간 전이도 일어난다는 말이군요. 물론, 이 경우에는 무한 포텐셜 우물을 가정했기 때문에 따로 더 끌어낼만한 의미는 그다지 없는 것 같습니다. 상자 안에 전자 같은 입자가 갇혀있다면 아마 $\psi \psi^*$의 확률분포를 가지고 있을 겁니다. 밑에 있는 그림처럼 말이죠. 특정 구간에 전자가 존재할 확률을 구하고 싶으면 그 구간에서 $\psi \psi^*$를 적분하면 됩니다. 그게 끝~

#Closing

상태함수 $\psi$의 경계조건을 잠깐 알아보고, 무한 포텐셜 우물에서 에너지 준위를 구해봤습니다. 다음 포스팅에는 바로 유한 포텐셜 우물로 넘어가보겠습니다. 여기도 수식이 많을 듯하군요.