Newbie를 위한 양자역학 09_포텐셜 우물(기본 컨셉)

그림 출처

#Review

• 시간 비의존형 슈뢰딩거 방정식은 어떻게 생겼나요?
• 해밀토니안의 eigenvalue의 특징은 뭔가요?

그림은 글과는 관계없지만 우리 예쁜 명왕성 씨!!

#Preview

이제 3가지 경우에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀어보려 합니다. 물론 시간 비의존형입니다. 1학기에 수업하신 교수님에 따르면, 손으로 풀 수 있는 미분방정식이 나오는 경우가 이 세 가지밖에 없다고 합니다. 첫 번째는 Potential Well(1D), 다음은 Harmonic Oscillator, 마지막이 Hydrogen Atom의 경우입니다. 간단히 소개하면 Well은 말 그대로 우물 모양인 경우, Oscillator는 말 그대로 용수철에 달린 것처럼 진동하는 형태, Hydrogen Atome은 말 그대로 수소 원자입니다. 자세한 컨셉 설명은 그때 가서 하죠~

이번 포스팅부터는 몇 개의 포스팅을 거쳐 Potential Well의 경우를 살펴봅시다. 일부러 나눠서 연재하는 건 아닙니다. 3가지 경우를 하면서 비슷한 형식으로 갈 텐데, 첫 번째는 컨셉 소개와 설명, 의의를 간단히 보고, 다음부터 미분방정식을 풀고, 더 볼만한 개념들을 소개해드리겠습니다. 그러니, 이 포스팅에서는 컨셉 소개만 할 꺼에요!

#The Concept

토머스가 천천히 한 바퀴 도는 동안 아이들은 낄낄거리며 그를 쳐다보았다. 그를 손가락으로 쿡 찔러 보는 이들도 있었다. 대략 50명쯤 되는 것 같았는데 고된 노동이라도 하고 있었는지 옷들이 온통 지저분하게 땀으로 젖어 있었다. 체격, 키, 인종은 물론 머리카락 길이도 각양각색이었다. 소년들과 이 괴상한 장소를 번갈아가며 쳐다보고 잇자니 현기증이 밀려왔다.
그들이 서 있는 마당은 축구장보다 몇 배는 더 넓었고, 군데군데 담쟁이덩굴이 무성하게 우거진 거대한 회색 돌벽 네 개가 마당을 에워싼 형태였다. 각 벽의 높이는 족히 수십 미터는 되는 듯했고, 벽에 둘러싸인 마당의 모양은 완벽한 정사각형이었다.
- 제임스 대시너, <메이즈 러너>

최근에 메이즈 러너 시리즈를 너무 재밌게 읽어서 퍼 왔습니다! 다음 포스팅 대문 사진이 될 예정입니다!

단도직입적으로 말하죠! Potential Well은 우물입니다! 아, Preview에서도 말했네요. 우물이 어떻게 생겼죠? 도시에서 자라서 본 적이 없지만, 푹 꺼진 형태죠. Potential은 ‘잠재성’이 아니고 ‘위치 에너지’라는 뜻입니다. 이과 흥했으면... 위치 에너지가 우물처럼 생긴 형태죠. 1차원에서 그려보면 이런 식으로 나타나는 경우겠네요.

이 그래프만 딱 봐도 “아 이게 제일 단순한 경우구나”라는 걸 느낄 수 있어요. $-a<x<a$인 범위에서 위치 에너지 $U=0$이고, 나머지 부분에서 $U= V_0$로 주어졌네요. 이 단순한 경우를 더 간단하게 만들기 위해, 먼저 $V_0=\infty$인 경우를 생각해볼 겁니다. 즉, 우물 깊이가 $\infty$인 경우이고, 이 경우를 Infinite Potential Well이라 합니다. 그러니까 뭐랄까, 우물 안에서 본다면 우물 안인 $-a<x<a$에서 위치 에너지 $U=0$이고, $x=\pm a$에서 무한히 높은 벽이 있다고 생각하는 거죠. 쉽게 생각하면, 입자가 $-a<x<a$에 갇혀있는 거예요. 메이즈 러너에서처럼 2D의 경우를 그려본다면,

딱 생긴 걸 보니 박스처럼 생겼죠. 그래서 Potential Well의 경우를 Particle in a box라고 표현하기도 합니다. 일단 Potential Well에서는 이런 가정을 하고 그걸 해석해갑니다. 이러한 설정들은 말로 하는 것보다 그래프로 생각하는 게 더 편합니다 사실.

# Meaning

그럼, 이런 Well의 경우를 왜 따져보는 건가요?

첫 번째는 상기(위에서 기재함)하였듯이, 혹은 전술(앞에서 서술함)하였듯이, 이게 가장 단순한 경우라서 그렇습니다. 뭐든지 가정을 엄청 하고 쉬운 것부터 풀어나가자! 라는 맥락이죠. 두 번째로, 이런 걸 잠깐 볼까요?

파란색 그래프는 우리가 잘 아는 포텐셜 에너지입니다. 쿨롱 힘에 의한 거죠. 수소 원자를 생각해보면, 원자핵과 전자는 전기적인 힘(쿨롱 힘)으로 상호작용을 하고 있죠.
$$F= \frac{1}{4 \pi \epsilon}\frac{e^2}{r^2}$$
이 쿨롱 힘에 의한 위치에너지는 이렇게 나타납니다.
$$U = - \frac{1}{4 \pi \epsilon}\frac{e^2}{r}$$
이 함수의 그래프가 파란색으로 나타납니다. 이걸 단순화시켜서 빨간색 그래프로 표현할 수가 있어요. Well입니다. 쿨롱 위치 에너지가 $r=0$에서 $-\infty$라고 생각한다면, 이건, Infinite Potential Well로 생각할 수가 있겠네요. 너무 비약 아니냐고요? 실제로 금속과 같은 격자(lattice)형 결합은 이렇게 근사를 해서 해석합니다. 그림은 Ziock 책 3장 51쪽, 53쪽에서 가져왔습니다.

그림에도 써져 있듯이 idealized이긴 하지만, 이런 근사를 통해, 금속의 자유전자와 band gap에 대해 이해를 할 수가 있죠. 이렇듯이 Well은 다양한 경우의 근사적인 형태로 많이 이용됩니다.

#Closing

기본적인 컨셉은 이렇고, 다음 포스팅에서는 1D Infinite Potential Well에 대해서 슈뢰딩거 방정식을 풀 거예요. 뭔가 이번 꺼 쓰다보니 되게 내용이 없어보이는데, 왜 그런지는 잘 모르겠네요;;