Newbie를 위한 양자역학 06_기초지식(커뮤테이터와 불확정성의 원리)

그림 출처

# Review

• $\frac {1}{2} \begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \ \end{pmatrix}$ 은 Hermitian Matrix인가요?
• Hermitian Operator의 기댓값과 Eigenvalue는 왜 실수인가요?
• 해밀토니안이 Hermitian임을 어떻게 증명하나요?

# Preview

자, #04 포스팅에서 미리 말했듯이, 이번에는 커뮤테이터와 불확정성 원리에 대해 짚고 넘어가겠습니다. 저번 포스팅(#05)에서 Hermitian Operator의 기댓값이 실수라고 말했어요. 그걸 이용하면 아주 간단하게 불확정성 원리를 도출해낼 수가 있어요. 엄청 쉬우니까 조심하세요.

# Commutator

두 연산자 $\hat{A}, \hat{B}$가 있을 때 커뮤테이터는 이렇게 정의한다고 #04 포스팅에서 정의했어요. 지금 1 AM인데 밖에 노래부르는 사람 누구여
$$[~\hat{A}, \hat{B}~ ] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$$
이걸 계산해봤는데, $[~\hat{A}, \hat{B}~ ]=0$이면 커뮤터블(commutable)하다고 불러요. 일단 정의에서 아래의 두 가지 성질을 이끌어낼 수 있습니다.
$$[~\hat{A}, \hat{A}~ ] = 0 \\ [~\hat{A}, \hat{B}~ ] =-[~\hat{B}, \hat{A}~ ]$$
앞으로는 $\hat{A}, \hat{B}$가 둘 다 Hermitian Operator일 때의 커뮤테이터에 대해 이야기를 해보겠습니다.

# Commutator (Cont’d)

연산자 $\hat{A}, \hat{B}$가 둘 다 Hermitian Operator일 때, 난데없이 이런 걸 하나 증명해볼게요.
$$[~\hat{A},\hat{B}~]=i\hat{C} \implies \hat{C} ~~~is~~~ Hermitian$$
우변에 있는 $i$를 넘기면
$$\hat{C} = -i ~[~\hat{A},\hat{B}~]=-i (\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A})$$
일단은, $\hat{A}, \hat{B}$가 Hermitian이니까 정의에서 온 다음 두 식을 쓸 수 있어요. 적분형으로 썼습니다.
$$\int \hat{A}^*\psi^* \phi dV = \int \psi^* (\hat{A}\phi) dV \\ \int \hat{B}^* \psi^* \phi dV = \int \psi^* (\hat{B}\phi) dV$$
이제 위에 있는 $\hat{C}$를 Hermitian 정의에 대입해봅시다. #05에서 봤듯이, 이게 되는지 확인해봅시다.
$$<\psi~|~\hat{C}~|~\phi>~ =~<\phi~|~\hat{C}~|~\psi>^*~=~<\hat{C}\psi~|~\phi>~~~~~??$$
우변에서 좌변으로 가볼게요.
$$\begin{split} <\hat{C}\psi~|~\phi> =& \int \hat{C}^*\psi^* \phi dV~~~~~~~~~~~&\gets \text{Definition of inner product(#04)} \\ =&\int (-i(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A})\psi)^*\phi dV~~~~~~~~~~~&\gets \text{Definition of C op} \\ =&\int i(\hat{A}^*\hat{B}^*-\hat{B}^*\hat{A}^*)\psi^*\phi dV~~~~&\gets \text{Conjugate}\\ =& \int i\hat{A}^*(\hat{B}^*\psi^*)\phi dV - \int i\hat{B}^*(\hat{A}^*\psi^*)\phi dV \\ =&\int i(\hat{B}^*\psi^*)\hat{A}\phi dV - \int i(\hat{A}^*\psi^*)\hat{B}\phi dV ~~~&\gets \text{Hermiticity of A and B op} \\ =&\int i\psi^* \hat{B}\hat{A}\phi dV - \int i\psi^* \hat{A}\hat{B}\phi dV ~~~& \gets \text{Hermiticity of A and B op} \\ =& \int \psi^*(-i(\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}))\phi dV \\ =& \int \psi^*\hat{C}\phi dV \\ =& <\psi~|~\hat{C}~|~\phi> \end{split}$$
조금씩 끊어서 할랬는데 뭔가 의외로 한 번에 다 정리됐네요. 어쨌든 $\hat{C}$가 Hermitian이니까, 기댓값 $< \hat{C}>$이 실수라고 기대할 수 있어요.(#05)

# Commutator (Cont’d 2)

계속 반복하는 말이지만, $\hat{A}, \hat{B}$가 둘 다 Hermitian Operator예요. 술 안 먹었어요. 주사 아니에요 #05에서 Hermitian Operator의 기댓값이 실수라는 걸 알았어요. 그럼 약간 다른 연산자를 정의해보죠.
$$\delta \hat{A} = \hat{A} - <\hat{A}> \\ \delta \hat{B} = \hat{B} - <\hat{B}>$$
약간 통계스럽게 말하면, 측정값에다가 평균값을 뺀 거죠? 뭔가요? 편차네요 편차. 편차의 제곱을 평균하면 분산이 되고, 그걸 제곱근하면 표준편차가 된다는 그거 말이죠. 뭐 어쨌든, 섹션 제목이 커뮤테이터인 만큼, 속는 셈 치고 구해봅시다. 여기서, $\hat{A}, \hat{B}$는 연산자라서 교환이 안 되지만, $<\hat{A}>, <\hat{B}>$은 실수인 상수이기 때문에 순서를 바꿔도 된다는 걸 기억합시다.
$$\begin {split} [\delta \hat{A},\delta \hat{B} ] = &\delta \hat{A} \delta \hat{B} - \delta \hat{B} \delta \hat{A} \\ =&(\hat{A} - <\hat{A}>)(\hat{B} - <\hat{B}>)-(\hat{B}-<\hat{B}>)(\hat{A}-<\hat{A}>) \\ =&(\hat{A}\hat{B}-<\hat{A}>\hat{B}-<\hat{B}>\hat{A}+<\hat{A}><\hat{B}>) \\ &-(\hat{B}\hat{A}-<\hat{B}>\hat{A}-<\hat{A}>\hat{B}+<\hat{A}><\hat{B}>) \\ =&\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A} \\ =& [\hat{A},\hat{B}] \end {split}$$

그러니까, 편차의 커뮤테이터가 원래의 커뮤테이터와 같다는 거죠. 그러면 공통의 $\hat{C}$를 가지겠죠.

# Uncertainty Principle

이제 불확정성 원리로 넘어옵니다. 결과를 내고 나서 한 번 더 얘기를 하겠지만, 불확정성 원리는 어떤 두 물리량을 동시에 ‘확정’지을 수 없다는 의미를 내포하고 있어요. 동시에 완전 정확하게 딱 하나의 값을 지어줄 수 없다는 그런 의미죠.

준비는 대충 다 된 것 같아요. 거듭 말하지만, $\hat{A}, \hat{B}$가 둘 다 Hermitian Operator예요. 실수인 상수를 빼준 $\delta \hat{A}, \delta \hat{B}$역시 Hermitian이 된답니다. 정의식에 넣어보면 한 큐에 바로 증명할 수 있습니다. 그럼 새로운 연산자 $\hat{Q}$를 하나 정의해보죠.
$$\hat{Q} = \delta\hat{A} + i \lambda \delta\hat{B}$$
여기서 $\lambda$는 실수변수입니다. 그리고 어떤 공간 상에서 정의된 상태 함수 $\psi$도 있다고 하죠. 그럼 다음과 같은 식은 언제나 성립합니다.
$$< ~\hat{Q}\psi~|~\hat{Q}\psi> = \int |\hat{Q} \psi |^2 dV \geq 0$$
자기 자신을 내적한 것은 항상 0보다 크거나 같죠. 적분 정의식에서 복소수 크기의 제곱을 적분한 거니까요.그럼 이제… 또 줄줄 적어봅시다.
$$\begin{split} < ~\hat{Q}\psi~|~\hat{Q}\psi> =& <(\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})\psi ~|~ (\delta\hat{A}+i\lambda \delta\hat{B})\psi> ~~~~& \gets \text{Definition of Q op}\\ =&\int ((\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})\psi)^*(\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})\psi dV ~~~~ & \gets \text{Definition of Inner Product} \\ =&\int(\delta\hat{A}^*-i \lambda \delta\hat{B}^*)\psi^*(\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})\psi dV ~~~~& \gets \text{Conjugate} \\ =&\int \psi^*(\delta\hat{A}-i \lambda \delta\hat{B})(\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})\psi dV ~~~~& \gets \text{Hermiticity of $\delta$A and $\delta$B op} \\ =&<\psi~|~(\delta\hat{A}-i \lambda \delta\hat{B})(\delta\hat{A}+i \lambda \delta\hat{B})~|~\psi> \\ =&<\psi~|~\delta\hat{A}^2+\lambda^2\delta\hat{B}^2+i\lambda(\delta\hat{A}\delta\hat{B}-\delta\hat{B}\delta\hat{A})~|~\psi> \\ =&<\psi~|~\delta\hat{A}^2+\lambda^2\delta\hat{B}^2-\lambda\hat{C}~|~\psi> ~~~~& \gets\text{Common Commutator}\\ =&<\delta\hat{A}^2>+\lambda^2<\delta\hat{B}^2>-\lambda<\hat{C}> ~~~~& \gets \text{Definition of Expectation Value} \\ \geq&0 \end{split}$$
마지막 줄을 다시 옮겨쓸게요.
$$\lambda^2 <\delta \hat{B}^2> - \lambda <\hat{C}> + <\delta \hat{A}^2> ~~\geq 0$$
자, 각각의 기댓값은, 각각의 연산자가 Hermitian이기 때문에 실수값입니다.(#05) $\lambda$가 실수변수니까, 결국 이 식은 2차식이라는 거죠. 이차식이 모든 실수 $\lambda$에 대해 0보다 크거나 같으려면, 포물선의 꼭지점에서의 값이 0보다 크거나 같으면 됩니다. 지금 포물선의 꼭지점은 여기죠.
$$\lambda = \frac{<\hat{C}>}{2<\delta\hat{B}^2>}$$
이 값을 이차식에 대입하면, 그 값 자체가 0보다 크거나 같으니까,
$$\frac{1}{4}\frac{<\hat{C}>^2}{<\delta \hat{B}^2>} - \frac{1}{2}\frac{<\hat{C}>^2}{<\delta \hat{B}^2>} + <\delta\hat{A}^2> ~~\geq 0$$
예쁘게 정리하면 이런 부등식을 얻습니다.
$$<\delta \hat{A}^2><\delta \hat{B}^2> ~\geq \frac{1}{4} <\hat{C}>^2$$
좌변이 무슨 의미인지 잠깐 봅시다. 저어기 위에서 $\delta \hat{A}$가 편차의 개념이라고 했죠? 그리고 $< ~~>$는 기댓값, 즉 평균의 의미라고 했어요. (#04) 그렇다면 $<\delta \hat{A}^2>$라면 뭘까요? 편차를 제곱한 것을 평균한 것이네요… 무슨 말을 하고 싶은지 아시겠죠. 분산입니다.

또, 위에서 사실 부등식을 정리할 때나 포물선의 최소값을 찾을 때 모른 척하고 $< \delta \hat{B}^2>$가 양수라는 조건을 썼어요. 생각해보면, 포물선에서 이차항의 계수가 음수라거나, 부등식에서 양변에 곱하는 수가 음수면 확 달라지잖아요? 하지만 그런 건 없다 이겁니다. 왜냐? 분산 값은 양수이니까요. 분산의 양의 제곱근은 표준편차죠. 그럼 저 부등식에서 양변에 루트를 취합시다. 다 실수이기 때문에 큰 문제 없습니다. 우변에 절댓값이 있다고 생각합시다.
$$\sqrt{<\delta \hat{A}^2>}\sqrt{<\delta \hat{B}^2>} ~\geq \frac{1}{2} <\hat{C}>$$
저기서 편의상 $\sqrt{<\delta \hat{A}^2>} = \Delta A$라고 정의합시다. 그렇다면 이렇게 쓰겠죠.
$$\Delta A \Delta B ~ \geq \frac{1}{2} <\hat{C}>$$
네. 이것이 불확정성 원리입니다. 이게 무슨 말이여… 라고 생각하실 것 같습니다.

# An example

불확정성 원리에서 제일 대표적으로 우려먹는 나타나는 연산자는 $\hat{x}, \hat{p}$입니다. 이 포스팅에서도 구태의연하게 이 예시를 들어보죠. 가장 먼저, $\hat{C}$를 구합시다.
$$\begin{split} [ ~\hat{x}, \hat{p}~]\psi = &\hat{x}\hat{p}\psi - \hat{p}\hat{x} \psi \\ =& x(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\psi)-\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}(x\psi) \\ =& x(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\psi)-(\frac{\hbar}{i}\psi+\frac{\hbar}{i}x\frac{d}{dx}\psi) \\ =& i\hbar\psi \\ =& i \hat{C}\psi \end{split}$$
자, $\hat{C}=\hbar$라는 걸 구해냈습니다. 그럼 불확정성 원리인 부등식에 대입해볼게요. 기댓값이지만, $\hat{C}$가 상수인 이상, 상수의 기댓값은 그 값 자체라는 걸 알아요. $<\hat{C}>=\hbar$
$$\Delta x \Delta p ~\geq \frac{\hbar}{2}$$
위치와 운동량 측정값의 편차를 곱하면, 어떤 상수보다 항상 큽니다. 이렇게 직역됩니다. 의역을 하기 위해 노력해볼까요? 측정값의 편차가 어떤 말일까요? 자, 여러분이 수소원자에서 전자의 위치가 어딘지, 운동량이 얼만지 측정을 하려고 해요. 여러분이 영혼을 다 해서 실험해서 위치를 한 치의 오차, 한 치도 전자에겐 너무 큰 단위이니, 음 뭐랄까… 어쨌든 위치를 오차가 단 하나도 없이 측정을 했어요. 인생 샷이라고 하죠. 엄청 정밀한 방법으로 실험해서 실험할 때마다 값이 완전히 똑같이 나오는 겁니다. $\Delta x=0$이에요. 이 때, 운동량을 측정합니다. 그럼 불행하게도 불확정성 원리에 의해 운동량의 표준편차가 $\infty$가 되는 겁니다. 참값이 어딘지 전혀 알 수 없는 상태인 거예요. 다시 말해서, 위치를 무한대의 정확도로 측정하면, 운동량은 전혀 알 수 없게 되는 거죠. 영어로 Un Certainty인 것은 두 물리량을 둘 다 Certain하게 정할 수 없다는 말입니다. 정확도에 한계가 있다고도 말할 수 있지요.

이런 일이 결국 왜 생겼나요? 수식을 이해하셨다면 답을 할 수 있습니다.

바로 $\hat{x}, \hat{p}$가 커뮤터블하지 않기 때문입니다. 둘이 커뮤터블하지 않기 때문에 $<\hat{C}>$라는 것이 남는 거죠. 어떤 두 연산자가 커뮤터블하다면 $\hat{C}=0$이 되고, 기댓값 역시 0입니다. 즉, 우변이 0이 되죠. 그렇다면 그 두 연산자에 해당하는 물리량을 측정할 때는 불확정성이 없는 겁니다.

두 연산자가 커뮤터블하면 불확정성이 없다. 커뮤터블하지 않으면 불확정성이 있다.

# Closing

커뮤테이터와 일반화된 불확정성의 원리에 대해 설명을 해보았습니다. 물론 일상생활에서 불확정성의 원리를 걱정할 일은 별로 없습니다. $\hbar$ 자체가 $10^{-34}$ 정도 크기니까요. 내가 옆에 있는 친구의 위치를 $10^{-20}$ 오차 범위 내로 측정하겠다! 고 마음 먹으시면 운동량 $p=mv$니까 그 친구의 속력을 오차 범위 $10^{-14}$ 단위로 구할 수가 있다. 이런 얘기죠. 질량이 작은 친구일수록 속도의 불확정성이 커지겠네요. 옆에 있는 애가 사실은 가만히 앉아있는 게 아닐 수도 있습니다! 속력이 0으로 관측되어도 사실 $10^{-14}$ 정도의 속력으로 움직이고 있는 걸지도 몰라요!

다음 포스팅에서는 슈뢰딩거 방정식을 다시 들고와서 약간 손을 대겠습니다. 내일 시험이 끝이니까, 금방 다시 글을 쓰….려나요? …. (열린 결말)