Newbie를 위한 양자역학 05_기초지식(Hermitian 연산자)

그림 출처

# Review

• $\hat{E}, \hat{p}, \hat{H}$는 어떻게 생겼나요?
• 중성수소 원자에서 1s에 있는 전자의 $<\psi_{1s}~|~\psi_{1s}>$를 계산하면 어떤 값이 나오나요?
• 커뮤테이터는 어떻게 계산하나요?

오늘 포스팅에는 지수에 *이 많이 나와서 저런 대문 사진을 골라봤어요.

# Preview

이번 포스팅에는 별로 할 얘기가 많지 않아요. 연산자의 특성에 대한 얘기를 하나만 할 꺼거든요. Hermitian Operator라는 것이죠. ‘특성’, 혹은 조건이라 말하면 Hermiticity라고 해야 맞겠죠. 어찌 되었든, Hermitian이 뭔지, 우리가 관심을 가지는 몇 개의 연산자가 Hermitian인지 등을 보고 끝내겠습니다. 간단하게요.

# Hermitian

Hermitian이 뭔지를 일단 봅시다. 영어라면 ‘허미션’ 이라 읽겠지만, Named가 된 수학자 샤를 에르미트 씨는 프랑스 사람이기 때문에 ‘에르미트’라고 읽어야 될 겉 같아요. Hermes가 ‘험즈’가 아니고 ‘에르메스’인 것과 같다고 할까요. 하지만 포스팅에서는 죄다 영문으로 쓸 것이기에 ‘허미션’이든 ‘에르미트’이든 맛만 좋으면 그만 상관없습니다.

Hermitian은 다양한 곳에서 적용이 됩니다. Hermitian인 함수도 있고요, 행렬도 있고요, 연산자도 있지요. 결국 뜻은 다 통합니다. 어쨌든, 모두 다 복소수를 끌어와야 정의가 되는 개념들입니다. 자, 우리 아이를 데려와봅시다.
$$i=\sqrt{-1}$$
우리 아이와 실수 $a,b$가 만나면 복소수가 만들어지죠. 전혀 유쾌하지 않은 만남입니다만.
$$C= a+bi$$
한 번 언급했다시피(#01) conjugate, 즉 켤레복소수는 허수부의 부호만 바꾼 거죠.
$$C^* =a-bi$$
너무 쉽네요. 포스팅 난이도가 급하락한 느낌이에요. 복소함수를 하나 써 봅시다. 실수변수 $t$에 대한 일변수 복소함수를 써 볼게요.
$$f(t) = a(t) + i b(t)$$
이 때, $f(t)$ 가 Hermitian Function이라면 이렇게 됩니다.
$$f(-t) = f(t)^* \\ a(-t)+ib(-t) = a(t) -i b(t)$$
예를 들면, 아주 흔하고 널리 쓰이고, 익숙한 이런 함수가 있죠. 이 함수가 Hermitian이라는 건 증명이 필요없을 정도로 쉬운 내용이죠. 맞죠?
$$f(t) = e^{it}$$
그럼 이번에는 복소수인 원소를 갖는 행렬 $A$가 있다고 합시다. 그럴 때 아래와 같은 식을 만족하면, 이 행렬을 Hermitian Matrix라고 불러요. $T$는 Transpose라고 해서, 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬이에요. 확 뒤집어준거죠. $\bar{A}$는 원소마다 켤레를 취해준 행렬이에요.
$$A^T = \bar{A}$$
함수랑 행렬 때 봤듯이, 대-충 말해보면 대칭해 준 것과 켤레한 것이 같을 때 Hermitian이다! 라고 생각할 수 있겠네요. 엄밀한 건 아니고 대략적인 개념이에요. 그럼 이제 이번 포스팅에서 다룰, Hermitian Operator를 봅시다.

# Hermitian Operator

정의를 써 봅시다. State vector $A, B$가 있다고 해요.
$$<B~|~\hat{Q}~|~A>~ =~ <A~|~\hat{Q}~|~B>^*$$
위의 조건이 된다면 $\hat{Q}$를 Hermitian Operator라고 합니다. 이전의 포스팅(#04)에서 저걸 어떻게 계산하는지 알게 되었습니다. 앞의 vector에 켤레를 취하고, 뒤의 vector에는 연산자를 씌우죠. 이런 거라고나 할까요.
$$<B~|~\hat{Q}~|~A> = \int B^* (\hat{Q}A) ~dV \\ <A~|~\hat{Q}~|~B>^* = (\int A^* \hat{Q}B ~ dV)^* = \int (\hat{Q}^* B^*)A ~dV$$
두 개가 같으니까
$$\int B^* (\hat{Q}A) ~dV = \int(\hat{Q}^* B^*)A ~dV = \int (\hat{Q}B)^*A~dV$$
우변이 내적의 식과 같으니까 정의를 이렇게도 쓸 수 있겠어요.
$$<B~|~\hat{Q}~|~A> ~=~ <\hat{Q}B~|~A>$$
Hermitian Operator는 몇 가지 성질을 가져요. 두 가지를 먼저 소개해드릴게요. 선형대수학적인 내용이 좀 들어가있습니다. 아직 이 블로그에 선형대수학 포스팅이 없네요. 블로그 호스트님!

1. Real Expectation Value

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Hermitian Operator의 기댓값(#04)은 항상 실수입니다. 기댓값은 어떤 state vector A가 있을 때 $<A~|~\hat{Q}~|~A>$로 구할 수 있겠죠? 그런데 위에서 Hermitian 정의를 들이대면 이렇게 되겠죠.
$$<A~|~\hat{Q}~|~A> ~= ~<A~|~\hat{Q}~|~A>^*$$
원래와 켤레가 같은 복소수는 실수밖에 없어요. 그러니까, 기댓값은 실수가 된다고 할 수 있겠네요.

2. If Different Eigenvalue, then Orthogonal Eigenvector

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state vector $A, B$가 Hermitian Operator $\hat{Q}$의 Eigenvector라는 특수한 형태로 존재한다면, 아래와 같이 쓸 수 있어요.
$$\hat{Q}~|~A> = \lambda_1~|~A> \\ \hat{Q}~|~B> = \lambda_2~|~B>$$
여기서 $\lambda_1, \lambda_2$를 Eigenvalue라고 불러요. 상수죠. 일단 여기서 하나 짚고 넘어갈게요. 위의 식에서 양변에 $<A~|~$를 내적해봅시다.
$$<A~|~\hat{Q}~|~A>~= ~<A~|~\lambda_1 ~|~A> = \int A^* (\lambda_1 A) ~dV = \lambda_1 \int (A^*A)~dV = \lambda_1 \int |A|^2 ~dV$$
우변이 복소수 크기의 제곱을 적분한 거니까 실수일 테고, 좌변은 위의 1번 성질에서 실수임을 알아요. 그럼 $\lambda_1$도 실수라 할 수 있겠네요. $\lambda_2$도 똑같고요. 다시 말해서, Hermitian Operator $\hat{Q}$의 Eigenvalue는 실수네요. 그럼 이제 계속 가봅시다. Hermitian의 정의를 이용해봅시다.
$$<B~|~\hat{Q}~|~A> ~=~ \int B^* (\hat{Q}A)~dV = \int B^* \lambda_1 A ~dV = \lambda_1 \int B^* A~dV = \lambda_1 <B~|~A>\\ <A~|~\hat{Q}~|~B>^* ~=~(\int A^*(\hat{Q}B)~dV)^* = (\int A^* \lambda_2 B ~dV)^* = \lambda_2^* \int B^*A~dV =\lambda_2^*<B~|~A>$$
Hermitian Operator이니 둘이 같습니다. 그리고 Eigenvalue인 $\lambda_2$가 실수이기 때문에 $\lambda_2^* = \lambda_2$인 것도 몰래 적용했습니다. 이항하면 이렇네요.
$$(\lambda_1 - \lambda_2 ) <B~|~A> = 0$$
만약 Eigenvalue가 다른 값이라면 내적인 $<B~|~A>=0$이어야되겠네요. 내적이 0입니다. 네. Orthogonal입니다. 직교한다고 말하죠. 3차원 공간에서 $x, y, z$ 방향벡터가 서로 직교하고, 내적이 0인 것처럼요. 이 셋이 공간의 기저(basis)를 형성한다는 것까지 들고온다면, 여기서는 이렇게 말할 수 있겠습니다.

Hermitian Operator $\hat{Q}$에 대해 서로다른 Eigenvalue를 가지는 Eigenvector들은 Orthogonal하고, 기저를 형성한다.

# The Hermiticity of Laplacian

제일 처음으로 걸린 연산자는 라플라시안 $\nabla^2$입니다. 라플라시안의 꼴(#02)에서 볼 수 있지만, 연산자 자체는 실연산자입니다. 쉽게 말해서 $i$가 곱해져있는 항이 없습니다. 그러니 $(\nabla^2) ^* = \nabla^2$인 거죠. Hermitian의 정의가 성립하는지를 확인해봅시다. 바로 적분꼴로 쓸게요.
$$\int \psi^* ( \nabla^2 \phi)~dV = \int (\nabla^2 \psi^*) \phi ~dV ~~~??$$
이걸 확인하기 위해서 벡터항등식을 하나 가져와서 씁니다.
$$\nabla \cdot (\phi \nabla \psi^*) = \nabla \phi \cdot \nabla \psi^* + \phi \nabla^2 \psi^* \\ \nabla \cdot (\psi^* \nabla \phi) = \nabla \psi^* \cdot \nabla \phi + \psi^* \nabla^2 \phi$$
이 식은 어떤 함수 $\phi, \psi$에 대해서도 성립하는 항등식이에요. 우변에 있는 두 번째 항들이 심상찮게 생겼죠? 이 두 식을 빼주고, 전체 공간에서 적분을 씌워주면 아래와 같습니다.
$$\int \nabla \cdot (\phi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \phi ) ~dV = \int ((\nabla^2 \psi^*)\phi-\psi^* (\nabla^2 \phi))~dV$$
좌변에는 다이버전스를 전체 공간에서 적분하고 있어요. 무슨 정리를 써야될 거 같지 않나요? 무슨 정리를 쓸까요? 발산정리를 씁시다.

어떤 벡터 $F$의 다이버전스를 공간 $V$ 내에서 적분한 것은 표면 $S$에서 $F$ 면벡터방향 성분을 적분한 것과 같다.
$$\iint_S \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{S} = \iiint_V \nabla \cdot \overrightarrow{F} dV$$

제가 위에 있는 식들은 귀찮아서 부피적분인데도 인테그랄을 하나만 썼지만, 사실 인테그랄이 3개여야됐다는 겁니다. 하하. 어찌되었든, 저 위의 식 좌변에 발산정리를 써 주면 이렇게 될 겁니다. 계속 인테그랄을 하나만 쓰지만, 이번에는 면적분으로 바뀌었다는 것을 유념하며…
$$\int \nabla \cdot (\phi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \phi ) ~dV = \int (\phi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \phi ) \cdot d\overrightarrow S$$
자, 잠깐 생각을 해봅시다. 지금 상태함수 $\phi, \psi$가 있어요. 얘네들의 성질에 의해서, 모든 구간에서 $\psi \psi^*=|\psi|^2$를 적분하면 1이 된다는 것도 알고 있어요(#01). 확률밀도함수를 전체 구간에서 적분하면 1이 된다는 그것이죠. $\phi$도 마찬가지고요. 전체 구간에서 적분한 게 1이라는 수로 수렴하네요. 그렇다면 $\infty$ 지점에서 $|\psi|^2$는 0으로 수렴하겠죠? $\psi$ 역시 0으로 수렴하겠죠? 기울기를 뜻하는 그래디언트, $\nabla \psi$는 0으로 수렴할까요? 하겠죠. $V$가 전체 공간이에요. 그러면 전체 공간의 표면인 $S$는 어떤 곳일까요? 반지름이 $\infty$인 구? 정육면체? 이런 모양이겠네요. 모양은 중요치 않지만, 어쨌든 $S$라는 표면은, 거리가 $\infty$인 곳이에요. 그럼 그 표면에서 $\phi, \psi^*, \nabla \phi, \nabla\psi^*$ 전부 0이겠네요. 즉, 우변의 값이 0입니다.
$$\int \nabla \cdot (\phi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \phi ) ~dV = 0$$
다시 말해서, 원래의 등식으로부터
$$\int ((\nabla^2 \psi^*)\phi-\psi^* (\nabla^2 \phi))~dV = 0$$
하나만 이항해주면 이렇게 됩니다.
$$\int \psi^* ( \nabla^2 \phi)~dV = \int (\nabla^2 \psi^*) \phi ~dV$$
Hermitian Operator의 정의입니다. 즉, 라플라시안은 Hermitian Operator로군요.

# The Hermiticity of Hamiltonian

바로 전의 포스팅(#04)에서 해밀토니안이 이렇게 유도되었어요.
$$\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U$$
위치에너지 $U$는 실수함수죠. 이번에는 적분꼴 말고 괄호(Bracket)로 써볼까요?
$$<\psi~|~\hat{H}~|~\phi> ~=~ <\psi~|~-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U~|~\phi>~=~<\psi~|~-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2~|~\phi>+<\psi~|~U~|~\phi> \\ <\phi~|~\hat{H}~|~\psi>^* ~=~ <\phi~|~-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U~|~\psi>^* ~=~ <\phi~|~-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2~|~\psi>^*+<\phi~|~U~|~\psi>^*$$
두 번째 식을 좀 더 정리해봅시다. 라플라시안이 Hermitian이라는 사실을 알고 있어요. 실수인 상수를 곱해도 당연히 똑같죠. 그럼 첫 번째 항은 Hermitian의 정의에서 위와 같아지네요. 그리고 $U$는 실수이기에 $U^* = U$를 이번에도 몰래 적용시킬 거예요. 두 번째 항을 좀 더 써보죠. 이해가 잘 되는 적분꼴로요.
$$<\phi~|~U~|~\psi>^* = (\int \phi^* (U\psi) ~dV)^* = \int U \psi^* \phi ~dV = \int \psi^* (U\phi)~dV = <\psi~|~U~|~\phi>$$
중간에 $U$가 위치를 바꾸는 거는, $U$가 그냥 곱하기로 이어진 연산이기 때문에 마음대로 교환이 되기 때문이에요. 종합하면 결국
$$<\psi~|~\hat{H}~|~\phi> ~=~<\phi~|~\hat{H}~|~\psi>^*$$
즉, 해밀토니안 연산자 $\hat{H}$는 Hermitian이네요. 위에서 말한 성질대로라면, $\hat{H}$의 Eigenvector들을 구할 수 있다면, 그 Eigenvalue들은 실수일 것이고, Eigenvector들은 새로운 공간의 기저를 이룰 수 있겠네요. 이 서술은 중요합니다.

# $\hat{p}$에 대한 추가적 설명

Hermitian Operator에 대해 알아야 할 간단한 사실들은 위에서 끝냈어요. 그러니 저번 포스팅(#04)의 클로징에서 말한 것만 말하고 이번 것도 끝내려 합니다.

저번 포스팅(#04)에서 파동방정식에서 $\hat{p}, \hat{E}$를 공간 좌표계에서 유도했었어요. 그 때 사실 $\hat{p}^2 = -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$을 구했었고, 바로 $\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$라고 썼었죠. 하지만, 이것에 (-)가 붙은 것 또한 제곱하면 위의 식이 되기 때문에 애매한 점이 있습니다. 그것에 대해 간단히 얘기해보겠습니다. 어떤 state vector $\psi$에 대해 운동량의 기댓값 $<\hat{p}>$를 구한다고 해 볼게요. 1차원에서요. 그렇다면 아주 간단한 상식으로부터, 이렇게 쓸 수 있을 겁니다.
$$<\hat{p}>= m \frac{d<\hat{x}>}{dt}$$
위치 연산자는 공간 좌표에서는 바로 $\hat{x}=x$로 씁니다. 그러면 우변에서 $\hat{x}$의 기댓값은 이렇게 계산하겠네요. 위치도 실수이니 아무도 몰래 $x^*=x$를 도입합니다.
$$m \frac{d<\hat{x}>}{dt}= m\frac{d}{dt}\int \psi^* x \psi dx = m \frac{d}{dt} \int x \psi^*\psi dx$$
적분 안의 식을 $t$로 미분할 거예요. $x$는 적분변수이고 $t$와는 독립적인 변수이니, $x$까지 $t$로 미분할 필요는 없어요. 그러니까 간단하게,
$$m \frac{d}{dt} \int x \psi^*\psi dx = m \int x (\psi^* \frac{d \psi}{dt} + \psi \frac{d\psi^*}{dt}) dx$$
슈뢰딩거 방정식(#04) $i\hbar\frac{d\psi}{dt} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{dx^2}+U\psi$에서 아래식을 얻고, 그 식 전체에 켤레를 취해주면 그 밑에 있는 식을 얻을 수가 있어요. $\hat{p}$를 모르는데 어떻게 슈뢰딩거 방정식을 쓰느냐! $\hat{p}^2$은 알고 있으니 괜찮아요. 진정해요.
$$\frac{d \psi}{dt} = \frac{i\hbar}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} -\frac{i}{\hbar}U\psi \\ \frac{d \psi^*}{dt}=-\frac{i \hbar}{2m}\frac{d^2 \psi^*}{dx^2} + \frac{i}{\hbar}U\psi^*$$
적분항에 대입해봅시다.
$$m \int x (\psi^* \frac{d \psi}{dt} + \psi \frac{d\psi^*}{dt}) dx = \frac{i\hbar}{2}\int (\psi^*x) \frac{d^2}{dx^2}\psi dx - \frac{i\hbar}{2} \int(\psi x)\frac{d^2 }{dx^2}\psi^*dx$$
여기서, $\frac{d^2 }{dx^2}$라는 연산자는 Hermitian이에요. 라플라시안 $\nabla^2 = \frac{d^2 }{dx^2} + \frac{d^2 }{dy^2}+\frac{d^2 }{dz^2}$가 Hermitian이니 1차원인 $\frac{d^2 }{dx^2}$ 역시 Hermitian일 거라고 받아들이는 게 가장 빠르지만요, 라플라시안이 Hermitian이 된다는 증명의 과정을 따라가도 됩니다. 어쨌든, Hermitian이라면 두번째 항은 $<B~|~\hat{Q}~|~A> ~=~ <\hat{Q}B~|~A>$라는 성질을 이용해서,
$$\frac{i\hbar}{2} \int(\psi x)\frac{d^2 }{dx^2}\psi^*dx = \frac{i\hbar}{2} \int(\frac{d^2}{dx^2} (\psi x)^*)^* \psi^*dx = \frac{i\hbar}{2} \int(\frac{d^2}{dx^2} \psi x) \psi^*dx$$
식 쓰면서도 헷갈렸는데요, $B^* = \psi x, \hat{Q}=\frac{d^2}{dx^2}, A= \psi^*$로 대응시키면 됩니다. $\psi x$를 두 번 미분해봅시다.
$$(\psi x)' =x \psi ' +\psi\\ (\psi x)'' = x \psi '' +2 \psi'$$
즉
$$\frac{i\hbar}{2} \int(\frac{d^2}{dx^2} \psi x) \psi^*dx = \frac{i \hbar}{2} \int (\psi^* x \psi ''+2\psi^* \psi')dx$$
그럼 이제 적분항에 대입한 원래 식을 정리해봅시다.
$$\begin{split} <\hat{p}> = &m \int x (\psi^* \frac{d \psi}{dt} + \psi \frac{d\psi^*}{dt}) dx \\ = & \frac{i\hbar}{2}\int (\psi^*x) \frac{d^2}{dx^2}\psi dx - \frac{i\hbar}{2} \int(\psi x)\frac{d^2 }{dx^2}\psi^*dx \\ = &\frac{i\hbar}{2}\int (\psi^*x \psi'')dx - \frac{i\hbar}{2}\int(\psi^*x \psi''+2\psi^*\psi')dx\\ = &-i\hbar\int\psi^*\psi'dx\\ = &\int \psi^*(\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx})\psi dx \end{split}$$
나왔네요.
$$<\psi~|~\hat{p}~|~\psi> = \int \psi^*(\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx})\psi dx \\ \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \rightarrow \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \nabla$$

# Closing

Hermitian에 대한 개념을 잠시 봤어요. Hermitian이 중요한 이유는 위에서도 썼지만, Hermitian Operator인 해밀토니안에 대해서 그 Eigenvalue들은 실수일 것이고, Eigenvector들이 기저를 이루기 때문이에요. 조만간 몇 가지 예제를 만나면서 이게 무슨 뜻인지는 체득하게 되길 바라요. 오늘이 현충일인데요, 다음주부터 절정 시험기간이기 때문에 오늘은 빠르게 퇴장하겠습니다. 물론, 공부를 할지, "로그인"을 할지는 불확실….. 잠깐 불확실? 다음 포스팅에서는 불확정성의 원리를 하겠습니다. 하하