Newbie를 위한 양자역학 07_기초지식(불확정성의 원리에의 예제)

그림 출처

# Review

분명 전 시간까지는 “다음 시간에 15분짜리 간단한 퀴즈나 한 번 칩시다”라고 말했는데, 당일이 되니 조교가 칠판에 “11:00 ~ 11:50”이라 적고 시험지에는 “Final”이라고 적혀 있던 그 양자역학 수업시간이 생각나네요. ‘와 역시 양자역학 수업이다’라고 생각했습니다. 15분짜리 간단한 퀴즈가 아닐 확률분포가 존재하는 거니까요. 오늘 포스팅은 몇 가지 질문을 하고 끝냅시다. 네. 그렇게 합시다. 원래는 시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식을 꺼내려 했는데, 생각이 바뀌는 건 한 순간이지요.아, 그리고 이번 포스팅 썸네일은 도저히 생각이 안 나서 요새 열심히 하는 게임으로 골랐습니다. 

A. $\hat{E}$와 $\hat{t}=t$는 불확정성이 있나요?

두 연산자가 커뮤터블한지 따져봅시다. $\hat{E}, \hat{t}$ 불확정성의 의미는 이 과정 후 예제 하나를 들어서 살펴보기로 합시다. 일단, #04에서 $\hat{E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$임을 알고 있어요. 변수가 $t$밖에 없으니 편미분을 그냥 $d$로 쓰겠습니다.
$$\begin{split} [~\hat{E}, \hat{t}~] \psi= &\hat{E}\hat{t}\psi-\hat{t}\hat{E}\psi \\ =& i\hbar \frac{d}{dt}(t \psi) - i\hbar t \frac{d}{dt}\psi \\ =& i\hbar \psi + i\hbar t \frac{d \psi}{dt} - i\hbar t \frac{d\psi}{dt} \\ =&i \hbar \psi \end{split}$$
그럼 에너지와 시간의 경우에서 $\hat{C} = \hbar$가 되었군요. 둘은 커뮤터블하지 않아요. 그럼 #06에서와 같이 이만큼의 불확정성을 가지는군요.
$$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$
그렇다면 여기서 $E, t$는 뭘까요? Bieser 아저씨의 “Concepts of Modern Physics (6th Ed)”에서 가져온 예제 3.9를 봅시다. 번역은 제가…

A-1. 들뜬 상태의 전자가 다시 안정한 상태로 돌아갈 때 에너지 차이만큼의 에너지를 가지는 광자를 방출합니다. 원자가 들뜨는 것과 빛을 방출하는 것과의 시간 차가 $1.0 \times 10^{-8} s$라고 했을 때 방출된 광자 진동수의 불확정 정도를 구하세요.

여기서 시간의 불확정도는 에너지 준위에 머무르는 시간으로 봅니다. $\Delta t = 1.0 \times 10^{-8} s$로 주어진 거죠. #04에서 언급했듯이 광자의 에너지 $E=h \nu$니까, 에너지의 불확정성 $\Delta E = h \Delta \nu$라고 쓸 수 있죠. 다시 말해서 에너지-시간 불확정성 원리 식이 이렇게 됩니다.
$$h \Delta \nu \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4 \pi}$$
그럼 상수를 다 넘겨서
$$\Delta \nu \geq\frac{1}{4\pi \Delta t} = 8 \times 10^6 Hz$$
즉, 방출되서 나오는 빛이 정확히 한 진동수의 값을 가지는 게 아니라 불확정성이 있다는 거네요. 스펙트럼이 딱 한 줄이 아니라 약간 번진 형태가 된다는 겁니다. 그런데 에너지 차이에서 대략적으로 진동수 값을 구해보면 보통 $10^{14}$ 에서 $10^{15} Hz$ 범위라 사실 $10^6$ 단위는 엄청 작은 편차입니다. 실제로 스펙트럼이 번지게 나오는 건 다른 효과가 더 크다고 합니다.

어쨌든 한 에너지 준위에 머무르는 시간이 $\Delta t$라는 거네요. 수소 원자는 특정한 에너지 값을 가진 에너지 준위가 있다고 하죠? 특정한 에너지 값, 즉 $\Delta E =0$입니다. 그럼 부등식에서 $\Delta t= \infty$가 되겠죠. 그 에너지 준위에 머무르는 시간이 $\infty$. 존재하는 에너지 준위라는 거죠.

다른 예시로 어떤 한 전자의 상태가 여러 eigenfunction $\psi$를 막 합한 형태, $\psi_{1s} + \psi_{3s}$라는 거라고 해보죠. 이 경우에는 한 가지 특정한 에너지 값을 가지지 못합니다. 즉, $\Delta E$가 0이 아닌 유한한 값인 거죠. 그럼 $\Delta t$도 유한한 값이죠? 이 상태에 머무르는 시간이 유한하니, 곧 다른 에너지 준위로 전이가 될 거예요. 원래의 상태는 존재하지 않는 에너지 준위라는 거죠.

B. 각운동량 연산자 $\hat{L}$과 각위치 연산자 $\hat{\phi}$의 불확정성을 생각해보았을 때 각운동량의 불확정도의 최소값은 얼마인가요?

불확정도의 최소값이 존재한다는 것은, $\hat{L}$을 어떻게 하든 무한의 정확도로 측정할 수 없다는 거겠죠. 저번 포스팅(#06)의 $\hat{x}, \hat{p}$를 생각해보면, 운동량 측정을 버리면 위치를 무한의 정확도로 할 수가 있고, 반대의 경우도 가능했습니다. 하지만 각운동량의 경우에는 각위치 $\hat{\phi}$를 버려도 무한의 정확도를 얻을 수 없다는 거네요.

2차원 극좌표계에서 생각해봅시다. #02의 원통좌표계에서 $z$방향을 없앤 게 2차원 극좌표계입니다. $r, \phi$로 좌표를 표시하는 거죠. 나중에 수소 원자에서 슈뢰딩거 방정식을 풀고 나서 각운동량 연산자에 대한 얘기를 또 할 테니 여기서는 간단하게 합시다. 각운동량의 정의 $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$입니다. 원운동이면 $L=rmv$로 쓰는 그거죠.
$$\hat{L} = \hat{r} \times \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \vec{r} \times \nabla = i\hbar \nabla \times \vec{r}$$
3차원 상에서 Curl을 계산해서 2차원($xy$ 평면)에 해당되는 부분인 $z$방향 성분을 잡아끌면 다음의 식을 얻습니다. 편의상 $L_z$라 안 하고 $L$이라 하겠습니다.
$$\hat{L} =-i \hbar \frac{d}{d \phi}$$
한 번 더 커뮤테이터를 계산해봅시다.
$$\begin{split} [~\hat{\phi},\hat{L}~]\psi=&\hat{\phi}\hat{L}\psi - \hat{L}\hat{\phi}\psi \\ =& -i \hbar \phi \frac{d}{d\phi}\psi +i \hbar \frac{d}{d\phi}\phi\psi \\ =& -i \hbar \phi \frac{d}{d\phi}\psi + i \hbar \psi +i \hbar \phi \frac{d}{d\phi}\psi \\ =& i\hbar \psi \end{split}$$
각운동량과 각위치에서도 $\hat{C}=\hbar$가 되었군요.
$$\Delta L \Delta \phi \geq \frac{\hbar}{2}$$
자, 각운동량의 불확정도의 최소값을 구해봅시다. $\phi$는 각도죠. 좌표계에서 각도를 표시할 때 어떤 범위를 가지나요? $0$에서 $2 \pi$까지를 쓰죠. 그럼 각위치를 전혀 모른다면, $\Delta \phi = 2 \pi$가 되겠네요. $\Delta \phi$의 최대값이 $2 \pi$니까,
$$\Delta L \geq \frac{\hbar}{4\pi}$$
각운동량의 불확정도는 무조건 저 상수보다는 큽니다. 각위치를 포기해도 정확히 각운동량을 얻어낼 수가 없죠. 이건 선운동량인 $p$와는 다른 상황입니다. 선운동량의 경우에는 $x$를 포기하면 $p$를 정확히 집어낼 수가 있었으니까요.

C. 질량이 $m$인 물체가 탄성계수 $C$인 스프링에 달려있다고 합시다. 그 때 진동수 $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{C}{m}}$로 쓸 수 있고, 전체 에너지 $E = \frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}Cx^2$으로 쓸 수 있습니다. 고전적으로 이 물체가 가질 수 있는 가장 작은 에너지 $E=0$이겠지만, 불확정성 원리를 적용했을 때 이 물체가 가지는 가장 작은 에너지 $E_{min}$을 구해보세요.

이 문제는 위에서 말한 Beiser 아저씨의 책 3장 39번 연습문제입니다. 전체 에너지는 운동에너지랑 위치에너지의 합이고, 스프링에 걸려 있는 물체의 위치 에너지는 $\frac{1}{2}Cx^2$이죠. 그러니까 저렇게 에너지가 나올 거고, 에너지의 최소값은 속력이 0이라 운동량 $p=0$이고 원점에 있어서 $x=0$이 될 때의 값인 $E=0$일 겁니다. 하지만 이제 우리는 알아요. 둘 다 0일 수 없죠. 둘 다 0이라는 값을 가진 상태일 수 없어요. 둘은 불확정성이 있으니까요. 그렇기 때문에 이 물체는 0의 에너지를 최소값으로 가지지 않습니다. 구해 봅시다.

일단, $x, p$가 0이길 바라지만 어떤 값($\Delta x, \Delta p$)를 가지고 있습니다. 이 값을 표기상 편의로 $x, p$라고 쓰겠습니다. 그리고, 최소의 불확정성을 가져서 저 부등식이 등호가 되는 경우를 봅시다. 왜 이렇게 가정하냐면요, 지금 에너지가 최소인 경우를 생각하죠? 그럼 최소한 $x, p$값이 작아야되니까 그렇게 가정해요.
$$xp=\frac{\hbar}{2} = \frac{h}{4 \pi} \\ p=\frac{h}{4 \pi x}$$
에너지 식에 넣읍시다.
$$E=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}Cx^2 = \frac{h^2}{32 \pi^2 m}\frac{1}{x^2}+\frac{1}{2}Cx^2$$
에너지가 $x$에 대한 함수가 되었군요. 최소값을 구하기 위해 미분해봅시다. 최소값일 때 미분한 건 0이니까요.
$$\frac{dE}{dx} = -\frac{h^2}{16 \pi^2 m}\frac{1}{x^3}+Cx = 0 \\ \implies x^2= \frac{h}{4\pi} \sqrt{\frac{1}{mC}}$$
스프링에서의 변위가 저 값일 때 에너지가 최소라고 합니다. 그렇다고 합니다. 대입을 합시다. 우리에게 남은 건 그것뿐.
$$\begin {split} E=& \frac{h^2}{32 \pi^2 m} \frac{4 \pi}{h} \sqrt{mC} + \frac{1}{2}C\frac{h}{4\pi}\sqrt{\frac{1}{mC}} \\ =&\frac{h}{4 \pi}\sqrt{\frac{C}{m}} \\ =&\frac{h\nu}{2} \end{split}$$
이 스프링에 달린 물체가 가지는 가장 작은 에너지는 $\frac{h \nu}{2}$이군요. 이 이하의 에너지를 가질 순 없겠죠. 불확정성을 거스르니까요. 근데 갑자기 스프링 문제를 왜 끌고 왔을까요? 결합(bonding)을 이 경우로 볼 수 있기 때문입니다. 그래프를 Beiser 책 288 페이지 8.20에서 가져왔습니다.

이 그래프는 분자에 대한 얘기입니다. 두 원자가 결합을 할 텐데, 두 원자가 서로 접근할 때 핵 간의 거리 $R$에 따른 위치 에너지 $U$에 대한 그래프죠. 에너지가 가장 낮은 점 부근에서 결합을 할 겁니다. 그래프에서 동그라미로 표시한 부분입니다. 그런데 이 점에서 에너지의 식을 2차식으로 근사할 수 있어요. 2차식 형태의 위치 에너지라… 스프링이죠. 즉, 두 원자가 스프링에 달린 물체처럼 진동을 하는 겁니다. 그런데 이번에 구했듯이 이 진동 자체도 최소 $\frac{h\nu}{2}$의 에너지를 가집니다. 그렇기 때문에 동그라미 친 완전 최소점에서의 에너지 값만큼을 가질 수가 없고, 그것보다 더 높은, 그림에서 표시되어 있는 검은 줄의 상태부터 존재하게 됩니다.

불확정성과 직접적인 관계는 없지만 약간 진동에 대한 이야기를 덧붙이면, 이 진동도 양자화되어 있기 때문에 그래프에서 보이는 큰 줄처럼 여러 준위를 가집니다. 작은 줄은 회전에 대한 거라 진동과는 상관없습니다. 어쨌든, 준위를 가진다는 건 분자의 진동에 여러가지 상태가 있다는 거고, 그 상태끼리도 전이가 일어난다는 거죠. 예를 들면, 아랫쪽에 있는 에너지가 작은 진동상태에 원래 있었는데, 추가로 에너지를 받으면 위쪽의 에너지가 큰 진동상태로 갑니다. 더 빨리 진동하는거죠. 이산화까스탄소를 생각해봅시다. 

 
$$O=C=O$$

탄소와 산소가 이중결합을 하고 있고, 이 결합도 마찬가지로 스프링으로 근사해서 진동을 따져볼 수 있습니다. 원래 어떤 진동을 하고 있었는데, 거기다 열을 집어넣으면 다른 진동모드로 이동하겠죠(검은색 화살표). 후에 그것이 원래의 진동모드로 다시 내려올 겁니다(빨간 화살표). 그런데 이산화탄소의 경우 원자의 질량, 그리고 근사된 스프링 상수 $C$로부터 계산된 에너지 준위 간의 차이인 $\Delta E$가 딱 그것과 같습니다. 지구에서 방출되는 열 말이죠. 그렇기 때문에 온실가스가 된 것입니다. 지구에서 방출되는 열을 받아서 이산화탄소가 더 쎈 진동을 하다가, 다시 그 열을 내놓죠. 내놓는 방향은 아래, 위 모두입니다. 열이 다시 지구로 돌아오면서 온실의 역할을 하는 겁니다.

# Closing

불확정성의 원리와 관계된 몇 가지 문제를 봤습니다. 사실 #06에서 $x, p$만 다뤘기 때문에 포스팅을 하나 더 빼서 $E, t$와 $L, \phi$를 이야기할 생각이었습니다. 원래 그랬습니다. 갑자기 짧은 걸 쓰고 끝내고 싶어서 그랬던 것이 아닙니다… 음… 확률분포는 있을지도 모르지만요… 진짜 다음 포스팅에는 시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식을 꺼내오겠습니다. 높은 확률로 말이죠.