Newbie를 위한 양자역학 08_기초지식(시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식)

그림 출처

# Preview

직전 포스팅에서는 Review밖에 없었으니 이번에는 Review를 빼고 시작할 겁니다. 헤헷. 어쨌든, 불확정성 원리 개념을 몇 가지에 이용해봤습니다. 이번에는 예고했듯이 슈뢰딩거 방정식을 끌고 옵니다. #04와 #00에서 언급한 슈뢰딩거 방정식은 $\hat{E}$가 시간 $t$를 포함했어요. 여기에서 약간의 가정을 더해서, 앞으로 글을 써나갈 몇 가지 상황에서 계속 이용할 새로운, 시간 $t$가 안 들어간 슈뢰딩거 방정식을 만들어봅시다.

# Time-dependent Schrodinger’s Eqn.

뭔가 #05부터 섹션 제목을 영어로 써야할 것 같다는 쓸데없는 강박에 이번에도 영어로 썼습니다. 현대식 사대주의 뭐, 어쨌든. 시간의존형 슈뢰딩거 방정식이라고 말합니다. 의존한다는 표현은 단순한 겁니다. 시간 $t$라는 변수가 식 어딘가에 들어있다는 말이에요. 이렇게 말이죠.
$$\hat{H}\Psi = \hat{E} \Psi \\ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi + U \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$$
들어있네요 $t$. 그래서 이 식은 시간의존형 슈뢰딩거 방정식입니다. 간단. 여기서 $\Psi$는 공간과 시간 모두의 함수입니다. $\Psi(\overrightarrow{r},t)$ 혹은 $\Psi(x,y,z,t)$로 표현되는 함수죠. 방정식 자체는 #04나 #00에서 말했듯이 전체 에너지는 운동에너지와 위치 에너지의 합이라는 당연한 의미입니다. 그럼 이제 시간의존형이 있으니 시간비의존형을 끌어내봅시다.

# Time-independent Schrodinger’s Eqn.

시간 변수가 없는 식을 끌어내기 위해서 하나 가정을 합니다. $\Psi$가 변수분리가 가능해서 공간 부분과 시간 부분이 분리가 가능하다고요.
$$\Psi(\overrightarrow{r},t) = \psi(\overrightarrow{r})\phi(t)$$
지금 벡터로 표시한 $\overrightarrow{r}$은 지금 큰 의미는 없고, 공간 부분이라고 보면 돼요. 마음에 안 들면 $\psi(x,y,z)$라고 생각하시면 됩니다. 변수분리가 된다는 건 예를 들어서 #04에서 말한 이런 파동함수를 보면,
$$\Psi=A e^{-i \omega (t-x/v)} = A e^{i(\omega/v)x-i\omega t} = Ae^{i(\omega/v)x}e^{-i\omega t} = \psi(x) \phi(t)$$
이렇게 공간 $x$에 관한 부분과 시간 $t$에 관한 부분의 곱으로 표현되잖아요? 이렇듯이 $\Psi$가 분리된다고 해 봅시다. 어쨌든, $\Psi = \psi \phi$를 대입합니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 (\psi\phi) + U \psi\phi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi\phi)$$
라플라시안은 #02에서 정의했듯이, 공간에만 관계되는 연산자죠. 그러니까 시간의 항만을 가지는 $\phi$는 라플라시안 밖으로 나올 수 있고, 우변에서도 $t$에 대한 편미분이기 때문에 공간의 항만을 가지는 $\psi$는 밖으로 나옵니다. 이렇게 말이죠.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \phi\nabla^2 \psi + U \psi\phi = i\hbar\psi\frac{\partial}{\partial t}\phi$$
양변에 $\psi\phi$를 나눕니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi}\nabla^2 \psi + U = i\hbar\frac{1}{\phi}\frac{\partial}{\partial t}\phi$$
여기서 잠깐 보시면, 좌변은 공간만의 함수이고, 우변은 시간만의 함수임을 알 수 있습니다. $\psi$는 공간만의 함수이고, 라플라시안도 공간만 편미분하는 연산자, 위치에너지도 공간만의 함수입니다. 우변에서 $\phi$는 시간만의 함수이고, 시간에 대한 편미분이니까요. 두 함수가 항등적으로 같다고 하네요. 그럼, 이 둘이 상수가 되어서 같다는 결론이 됩니다. 공간과 시간은 독립된 변수니까, 둘이 같으려면 변수를 가지면 안 되니까요. 그 상수를 $E$라고 합시다. 모자가 없는 $E$입니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{\psi}\nabla^2 \psi + U = i\hbar\frac{1}{\phi}\frac{\partial}{\partial t}\phi = E \\ \implies \begin{cases} -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+U\psi=E\psi \\ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\phi=E\phi \end{cases}$$
위의 식을 계속 봅시다.
$$(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+U)\psi=E\psi$$
괄호로 묶은 건 우리의 친구 $\hat{H}$입니다! 따라서
$$\hat{H}\psi = E\psi$$
시간의존형 슈뢰딩거 방정식이랑 되게 똑같이 생겼지만, 딱 두 가지 다른 점이 있죠. 하나는 $\psi$가 공간만의 함수라는 점, 다른 하나는 $E$가 연산자가 아니고 상수라는 점.

# Meaning of Time-indep Schrodinger’s Eqn.

$$\hat{H}\psi = E\psi$$
어떤 함수(혹은 벡터)에 연산을 취했더니 그 자신의 상수 배라는 결과가 나왔습니다. 그럼 선형대수학에서는 이 함수(혹은 벡터)를 Eigenfunction이라 부르고, 상수 값을 Eigenvalue라고 합니다. 자, #05에서 해밀토니안 $\hat{H}$이 Hermitian임을 압니다. 그리고 같은 포스팅의 윗부분에서 Hermitian Operator의 Eigenvalue가 항상 실수값임을 알고 있습니다. 따라서, $E$는 실수네요.

그리고, #04에서 언급한 양자화 가설에 따르면, 어떤 $\psi$에 해당하는 상태의 물리량을 계산하려면, 그에 해당하는 연산자를 가한다고 합니다. 되게 추상적이니까 바로 이번 경우로 들어올게요. 해밀토니안 $\hat{H}$는 운동에너지와 위치에너지의 합입니다. 이런 연산자를 가했을 때 나오는 물리량은? 전체 에너지가 되는 거죠. 다시 말해서, $E$라는 실수 상수값은 전체 에너지 값이 되는 겁니다.

비유를 해 볼게요. 자, 각자의 지식 수준의 공간적 분포 $\psi$가 있다고 합시다. 예를 들어서, 저 같은 경우에는 물리나 수학 쪽에는 지식이 많이 분포하고, 사학이나 문학 쪽에는 지식이 별로 없는 그런 $\psi$ 말이죠. 후… 여기에 교수님이 중간고사라는 연산자 $\hat{H}$를 가했습니다. 그 때 실수 상수값 $E$가 툭 튀어나오겠죠. 경험해보셨겠지만, 실제로 1~2주 뒤에 시험점수라는 실수 상수 $E$ 값이 툭 튀어나옵니다. 대개 비극적입니다만 사람마다 $\psi$가 다르기 때문에 그에 의해 튀어나오는 $E$도 다릅니다. 나중에 수소 원자 얘기를 할 때 말하겠지만, $E$가 같게 나오는 경우도 있죠. 그런 경우를 degenerate되어 있다, 축퇴되어 있다고 말하기도 합니다. 지식 분포가 달라도 동점이 나오는 경우 많잖아요?

똑같이, 수소 원자에서 원자핵을 돌고 있는 전자가 가지는 $\psi$에 해밀토니안 $\hat{H}$를 가하면 그 전자의 에너지 $E$를 계산할 수가 있습니다!

# Closing

시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식을 꺼내왔습니다. 이제 다음 포스팅부터는 Well, Oscillator, Atom 순으로 슬슬 갈 텐데요, 거기서 계속 이 식 가지고 계산을 할 겁니다. 슬슬 미분방정식을 풀어야겠군요.