Newbie를 위한 양자역학 02_배경지식(좌표계와 연산자)

그림출처

# Review

• State Vector에는 어떤 정보가 있나요?
• State Vector와 그의 켤레를 곱해서 전 구간에서 적분하면 어떤 값을 갖나요?

# Preview

오늘은 연산자에 대한 이야기를 꺼내보려 합니다. Del 연산자라고도 하는 $\nabla$를 살짝 볼 거고요, 그 전에 좌표계 이야기를 먼저 하겠습니다. 참새님이 좌표계 이야기를 벌써 해 놨는지 살짝 보고 와야겠군요. 사실 저 동네가 미방 푸는 게 주라 없을 거 같긴 해요. 어쨌든 좌표계랑 Del 연산자는 양자역학만이라기보다 온 동네방네 수학 과학에서 다 쓰이는 거라, 미리 다 말해드리려고 따로 포스팅을 파 봤습니다.

# 3D 좌표계

3차원에 대해 이야기를 하겠습니다. 제일 익숙한 것부터 가죠!

1. Cartesian Coordinate System

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제일 간단한 거죠.

공간에 있는 어떤 점 P의 위치를 표현하고 싶어요. 왜 표현하고 싶을까요? 얘의 위치를 수학적으로 표현해서 이 점에서의 다른 물리량을 구하거나, 물체의 움직임을 예상하여 우리에게 고통을 안겨주기 위해서죠. 어쨌든, 가장 간단하고 직관적인 방법은 Cartesian 좌표계입니다. 원점과 xyz 축이 주어지면, 점 $P$의 좌표인 $(x,y,z)$는 유일하게 결정되죠. 원점과 xyz 축이 주어지면이라고 말했는데, 사실 이건 문제를 푸는 사람 마음이에요. 그래도 주어진 문제가 가장 간단하게 풀리도록 원점과 축을 설정하는 게 좋겠죠. 그렇게 설정되어 있다고 하면, 제가 보든, 독자님이 보시든 $P$의 좌표는 유일하게 $(x,y,z)$가 되는 거예요. 단, x축, y축, z축은 서로 수직하게 잡습니다. 그렇지 않은 좌표계도 있지만, 복잡해요…

각 변수들의 범위를 잠깐 따져볼까요? 그러니까, $x, y, z$가 어떤 범위에서 움직일까요? 쉽죠. 셋 다 $-\infty$에서 $\infty$의 범위를 가질 겁니다!
$$-\infty < x< \infty,~-\infty < y< \infty,~-\infty < z< \infty$$ 이 좌표계를 많이 쓰는 건 언제일까요? 일단, 가장 일반적으로 쓰기도 하지만, 특히 우리가 관심을 가지는 계(system)가 직육면체거나 사각형일 때는 이 좌표계를 쓰는 게 이따 소개할 두 개보단 훨씬 나아요.

2. Cylindrical Coordinate System

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한글로는 원통좌표계라고 해요. 마찬가지로 점 P를 나타내봅시다. 왜 P일까요? Point라서 그래요. xyz 좌표로 표시할 수도 있겠죠. 1번에서 말한대로 말이에요. 하지만 아주 특이하게 점 P를 포함하는 원통을 생각해봅시다. 원은 어느 방향으로든 대칭이잖아요? 대칭이라는 조건이 붙으면, 우리가 고려해야하는 요소가 많이 줄어들기도 해요. 그래서 원을 도입해서 설명해보는 거죠. 2차원 극좌표계와 친하신 분은, 극좌표에 간단히 높이 $z$만 추가한 것임을 단박에 아실 수 있을 겁니다. 그림에 표시되어 있는 것처럼 $P$의 좌표를 $(r, \phi , z)$로 표시할 수가 있겠죠. $z$는 카테시안에서와 마찬가지로 높이고요, $x$와 $y$ 대신에 거리 $r$과 $x$축으로부터의 각도 $\phi$로 나타내는 겁니다. 주의하셔야 될 점은 거리 $r$이 원점에서 점 $P$까지의 거리가 아니라, $P$를 $xy$ 평면에 정사영시킨, 점까지의 거리에요. $(x, y, z)$를 $(r, \phi, z)$로 표현해보면 이렇게 쓸 수가 있겠네요. 그림을 보면서 식을 보면 아주 쉽습니다.
$$x=r \cos \phi \\ y=r \sin \phi \\ z =z$$

반대로 $(r, \phi, z)$를 $(x, y, z)$로 표현한다면 이렇게 쓸 수가 있겠네요.
$$r= \sqrt{x^2+y^2} \\ \phi = \tan^{-1} (\frac{y}{x})\\ z=z$$

여기서도 변수들의 범위를 따져봅시다. 자 먼저 $r$부터 가보죠. 거리입니다 거리. 그럼 어떤 범위일까요? 양수범위겠네요. 물론 $0$도 포함해야 합니다. 다음은 $\phi$입니다. 정사영이 $x$축과 이루는 각도예요. 그럼 어느 범위인지 알겠네요. $0$에서 $2\pi$로군요. 물론 라디안입니다. $2 \pi$ 이후로는 한 바퀴를 돈 거니 원래와 같아지니까요. 다음은 $z$. $z$는 카테시안과 마찬가지로 $-\infty$에서 $\infty$겠군요. 좋아요. 수식 입력기로 굳이 한 번 더 써보겠습니다.
$$0\leq r < \infty , ~0\leq \phi <2\pi , ~-\infty < z < \infty$$
원통좌표계는 언제 쓰나요? 간단하죠. 원통 모양인 시스템을 분석할 때 씁니다. 닉값이라고 하죠 원통형인 시스템이라 하면, 꽤 있죠. 쉽게, 파이프 생각해보세요. 유체역학적인 시스템을 해석하다가 고통받는 사람들이라든가, 케이블을 통해 흘러가는 전자기파를 해석하느라 고문당하는 사람들이라든가.. 저는 후자입니다 뭐, 그런 게 있겠네요. 빠르게 다음으로 넘어가봅시다.

3. Spherical Coordinate System

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어… 이거도 파워포인트로 그리려고 했는데요… 구가 없어요 구가… 그림출처

한글로는 구면좌표계라고 합니다. 앞에서는 원통이더니 이제 구로군요. 자, 봅시다. 이번에는 점 $P$를 $r, \theta, \phi$라는 세 개의 변수로 표현했네요. 이번에는 보니까 $r$이 원점에서 $P$까지의 거리를 바로 나타내네요. 어떤 사람들은 이 $r$이 원통좌표계의 $r$과 다르다는 것을 표시해주기 위해서 $\rho$로 쓰기도 합니다. 저는 그냥 $r$로 쓰겠습니다. 원점에서부터의 거리는 모름지기 $r$이나 $R$이어야죠. 쓸데없는 설명이 아주 길었군요. $\theta$는 $z$축으로부터의 각도를 의미하고, $\phi$는 원통좌표계와 마찬가지로, 정사영이 $x$축과 이루는 각도로 정의합니다. 이번에도 그림을 찬찬히 보면서 관계식을 만들어보겠습니다.
$$x=r \sin \theta \cos \phi \\ y=r \sin \theta \sin \phi \\ z=r \cos \theta$$
$z=r \cos \theta$인 건 바로 아실 테고, $x$와 $y$부분을 잠깐 보시면, 일단 앞의 $r \sin \theta$부분은 점 $P$를 $xy$ 평면으로 정사영시키는 거고요, 그 상태에서 각각 $\cos \phi$와 $\sin \phi$로 $x, y$성분을 끄집어낸 거예요. 이제 반대의 관계식도 만들어봅시다.
$$r= \sqrt { x^2+y^2+z^2} \\ \theta = \tan^{-1} \frac {\sqrt{x^2+y^2}}{z}\\ \phi = \tan^{-1} \frac{y}{x}$$
그림을 보고 이해하셔도 되고요, 위에 있는 $x=~, y=~, z=~$으로 된 식을 대입해봐도 돼요. 자 이번에도 그림을 보면서 변수들의 범위를 봅시다. $r$은 마찬가지로 거리니까 $0$ 이상이겠네요. 다음이 $\theta$와 $\phi$인데요, 구면좌표계에서는 $\phi$를 $0$에서 $2 \pi$까지 온전한 한 바퀴로 둡니다. 이 때, $\theta$는 반 바퀴만, 즉 $0$에서 $\pi$만큼만 돌아도 되죠. 맞죠? 예를 들어서, 그림을 봐봐요. $\theta$가 $\frac{3}{2} \pi$, 즉 $270$ 도라 치면 그 부분은 사실 $\theta$가 $\frac{1}{2} \pi$, 즉 $90$도일 때, $\phi$가 한 바퀴 돌면서 다 커버된 부분이에요. 따질 필요가 없죠. 결국, 정리하면 변수들의 범위는 이렇네요.
$$0 \leq r < \infty , ~0 \leq \theta \leq \pi, ~0 \leq \phi < 2 \pi$$
구면좌표계는 어떨 때 쓸까요? 원통좌표계에서랑 똑같은 소리를 해볼까요? 시스템이 구 모양일 때 써요…. 하…. 그런 시스템이… 하… 너무 많죠…. 얼마나 많냐고요? 우주에 있는 원자 갯수만큼이랄까… 하핳하

어.. 정신차릴게요. 갑자기 실성했네요. 일단, 이 좌표계는 원점에서부터의 거리를 변수로 가지죠? 그게 중요한 시스템이 뭐가 있을까요? 사실 거의 모든 시스템은 그렇다고 볼 수가 있어요. 우리가 보통 점질량, 점전하를 생각하잖아요? 상호작용을 따질 때는 거리의 요소가 많이 들어가요. 제일 흔한 만유인력이나 쿨롱 힘 식을 봐도 그렇죠?

그리고 생각해보면, 각도로써 위치를 파악하는 것도 낯설지 않아요. 천문학에서 쓰는 방위각과 고도라는 개념을 잠깐 볼까요? 이 때는 ‘천구’라는 것을 정의하기 때문에 사실 거리가 중요한 요소는 아니에요. 하지만, ‘지평선’에서의 각도(고도)와 ‘북점’으로부터 천체까지의 각도(방위각)로 모든 천체의 위치를 설명하죠. 구면 좌표계의 응용입니다. 물론 이때 원점은 관측자입니다. 방위각과 고도라는 개념이 안 익숙하실 수 있으니 약간 다른 예를 들어볼까요. 보이시죠? 보일 겁니다. 자 한 줄 내려가서 글을 더 써 볼게요.

자 보이시나요? 눈을 얼마나 움직이셨나요? 50픽셀? 2센티미터? 아뇨, 1도 정도 움직이지 않으셨나요?

멀리 있는 물체가 움직일 때를 떠올려볼까요? 물론 우리가 말할 때는 걔가 어느 정도의 거리를 움직였는지를 말합니다. 하지만, 여기서 저기까지의 거리 정보($r$)가 없을 때는 우리는 그 말을 하지 못해요. $l=r \theta$ 라는 식을 생각해봅시다. 우리에게 $r$이 주어진다면 $l$을 얘기할 수 있지만, 그렇지 않으면 $l$을 몰라요. 즉, 우리 눈은 위치 정보를 $\theta$를 통해 받는 겁니다.

# 연산자(operator)의 개념

분량을 보아하니 좌표계만 하고 끝내는 게 좋았을 거라는 생각이 아주 몹시 엄청 강하게 듭니다. 하지만 글 제목과 프리뷰를 저렇게 쓴 이상 Del 연산자까지 하죠. 글쓰는 사람이랑 검수하는 분만 힘들 테니까요. 이건 흡사 마치는 시간이 지날 것임이 분명함에도 진도를 빼는 교수님과 같았다.

그런 쓸데없는 걱정은 차치하고, 연산자 얘기를 꺼내봅시다.

연산자가 뭘까요? 오퍼레이터? 아, 오퍼레이터하니까 옛날에 넷** 에 있던 SD** 무슨무슨 게임이 생각나네요. 어쨌든. 연산자니까 연산을 시켜주는 그 무언가인 거 같네요. 이름은 생소하지만 벌써 여러분들이 초딩 때부터 자유자재로 사용하는 연산자가 있습니다. 뭘까요?

네? 미분연산자요? 초딩 때부터라니까요…
아, 네… 그 때부터 자유자재로 쓰셨다면 할 말 없지만요..

사칙연산이죠! 더하기, 곱하기 말입니다! 빼기랑 나누기는 각각 똑같은 거라서 뺐어요. 아래 식의 의미가 뭐죠?
$$2+3$$
2랑 3이라는 수를 $+$ 연산하라는 거죠. 여기서 $+$는 연산자(operator), $2$ 와 $3$은 피연산항(operand)라고 합니다. 즉, 여기서 $+$은 피연산항을 두 개 가지는 연산인 거죠. 사실 앞으로 말할 연산은 피연산항이 한 개짜리인 연산입니다. 피연산항을 하나 없앤 거죠. 하나 제가 새로 만들어보면,
$$3 \times$$
이런 걸 만들 수 있겠네요. 이 연산자에 어떤 함수 $f(x)$를 피연산항으로 집어넣으면, 연산 결과로 $3 f(x)$가 나오는 거예요. 이렇듯, 피연산항이 하나인 것 중에 가장 대표적인 게 일부 독자는 자유자재로 사용하시는 미분 연산자죠.
$$\frac {d}{dx}$$
이 연산자에 어떤 함수 $f(x)$를 피연산항으로 집어넣으면, 연산 결과로 $f'(x)$가 나오겠죠. 뭐, 미분가능하다든지 조건은 다 된다 칩시다… $f(y)$를 피연산항으로 집어넣으면, 연산 결과로 $f'(y) \frac {dy}{dx}$가 나올 터이고요. 결국 연산자도 별 거 아니었어요. 그럼 이제, 온 동네방네 수학 과학에서 쓰는 Del 연산자를 봅시다.

# Del 연산자 $\nabla$

3차원에서 봅시다. 차원을 왜 얘기하냐고요? Del 연산자는 벡터거든요. 이렇게 생겼죠. 못 생겼습니다
$$\nabla = ( \frac{d}{dx},\frac{d}{dy},\frac{d}{dz})$$
와 삼각형이다! 델타인가보다! 와 그래서 델 연산자인가!
아닙니다.. 저건 Nabla라고 하는 기호예요. 검색해봤는데, 하프 모양에서 따왔다나… 그런 아름다운 문자를 이런 연산자로 쓰고 있다는 게 분하지 않으십니까. 사실 Del 연산자가 많이 나오면 뭔가 연습장이 삼각삼각해져서 아름답긴 하지만. Del 연산자가 벡터라서 $\overrightarrow{\nabla}$로 벡터 표시를 하는 사람도 있습니다. 저는 그냥 $\nabla$라고 쓰겠습니다. 원래부터 그럴 생각이었지만, 저 화살표 붙이는 명령어가 되게 길기도 하네요. 이 $\nabla$를 이용해 정의하는 연산이 크게 4가지가 있습니다. 아래에 있는 4개죠. 이름도 같이 써 뒀어요.
$$Gradient: \nabla \\ Divergence: \nabla \cdot \\ Curl: \nabla \times \\ Laplacian: \nabla ^2 = \nabla \cdot \nabla$$
$\cdot$과 $\times$을 보는 순간, ‘아 벡터의 내적 외적이구나’하시면 됩니다. 각각의 정의역과 치역은 파워포인트로 그린 아래 그림과 같죠.

$f$를 어떤 스칼라 함수, $\overrightarrow{A}=(A_X,A_Y,A_Z)$를 어떤 벡터라 합시다. 각각은 $x, y, z$에 대한 함수입니다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있습니다. Gradient 나와 주세요!
$$\nabla f = (\frac{df}{dx},\frac{df}{dy},\frac{df}{dz})$$
자, 수식 쓰는 건 그리 어렵지 않군요. 기세를 몰아 Divergence를 적어볼까요?
$$\nabla \cdot \overrightarrow{A} = \frac{dA_X}{dx}+\frac{dA_Y}{dy}+\frac{dA_Z}{dz}$$
살짝 피곤해지기 시작하지만, Curl도 써 보죠. 3차원 벡터의 외적은 $3 \times 3$ 행렬식으로 표현하죠.
$$\nabla \times \overrightarrow{A} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{d}{dx} & \frac{d}{dy} & \frac{d}{dz }\\ A_X & A_Y & A_Z \end{vmatrix} =(\frac{dA_Z}{dy}-\frac{dA_Y}{dz},\frac{dA_X}{dz}-\frac{dA_Z}{dx},\frac{dA_Y}{dx}-\frac{dA_X}{dy})$$
좋아요. Laplacian은 Divergence of Gradient라는 정의에 넣어보면 이렇게 돼요.
$$\nabla^2 f = \frac{d^2f}{dx^2}+\frac{d^2f}{dy^2}+\frac{d^2f}{dz^2}$$
가끔 보면 Laplacian에 벡터를 넣은 경우를 볼 수 있어요. 그런데 그 경우는 성분마다 Laplacian을 해서 벡터스럽게 써 준 것에 불과하니, 크게 괘념치 않으셔도 됩니다.
$$\nabla^2 \overrightarrow{A}=\begin{pmatrix} \nabla^2 A_X \\ \nabla^2 A_Y \\ \nabla^2 A_Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{d^2A_X}{dx^2}+\frac{d^2A_X}{dy^2}+\frac{d^2A_X}{dz^2} \\ \frac{d^2A_Y}{dx^2}+\frac{d^2A_Y}{dy^2}+\frac{d^2A_Y}{dz^2} \\ \frac{d^2A_Z}{dx^2}+\frac{d^2A_Z}{dy^2}+\frac{d^2A_Z}{dz^2} \end{pmatrix}.$$
오케이 좋아요. Del 연산자와, 그걸 이용한 대표적인 4가지 연산에 대해 다 봤네요. 빠르게 끝을 내야겠어요. 졸리거든요

# Closing

분량이 확 늘긴 했지만, 진도를 나갔습니다. 아뇨. 아직 남은 부분이 있으니 보강을 하죠! 와아아… 절대로 내일이 토요일인데 보강하시는 저희 과 교수님 때문에 그런 건 아닙니다. 일단 다음 포스팅의 내용은 어떤 거냐면요. 제가 다 계산하는 부분이에요.. 지금 Del 연산자를 보면 미분하는 변수가 다 $x, y, z$죠? 나아아중에 수소 원자에서 접근을 하려면, 구면좌표계에서의 Laplacian을 알아야 돼요. 그래서 다음 포스팅 때는 제가 열심히 $x, y, z$를 $r, \theta, \phi$로 바꿔 보겠습니다. 사실 저거 하려고 이번 포스팅 만든 거예요.