Newbie를 위한 양자역학 04_기초지식(몇 가지 연산자와 연산)

그림 출처

# Review

오늘은 물어볼만한 게 없네요. 저번 포스팅에서는 열심히 좌표계 변환을 해 봤습니다. 포스팅 주기가 엄청 늘어난 건 당연히 기분 탓입니다. 그 정도 가지고 힘들어하지 않… 아요.

wave vector라고 검색했는데 저런 그림만 있는 거로 봐서 아무래도 vector가 다른 뜻인가봐요.

# Preview

이제 앞에서 $\Psi$가 뭔지도 봤고(#01), 연산자가 뭔지도 봤어요(#02). 그럼 이제 앞으로 자주 쓰게 될 연산자와 연산 몇 개를 살펴봅시다. 일단 처음에는 플랑크 상수랑 물질파를 간단하게 볼 거예요. 진짜 간단하게 훅 지나갈 거예요. 다음에는 이제부터 주로 이용할 연산자 몇 개를 볼 게요. $\hat{p}$라든가 $\hat{x}$라든가 그런 거 말이죠. 다음에는 연산 몇 개를 볼 건데요, 내적이라든가, 기댓값이라든가, 커뮤테이터(Commutator)와 같은 걸 보겠습니다. 자, 빠르게 들어가봅시다.

# 플랑크 상수

1900년대 초, 일석이라는 특허청 공무원이 살았어요. 어느날, 그는 어떤 실험 결과를 보고 있었죠. 금속판에 빛을 쬐서 튀어나오는 전자의 에너지를 측정한 그런 실험이었죠. 뭐, 상식적으로 튀어나오는 전자의 에너지는 넣어준 빛의 에너지에서 어느 정도 빼진 값일 거예요. 근데 실험 결과가 참 이상한게, 넣어준 빛을 아무리 세게 해줘도 나오는 전자의 에너지가 같았어요. 당시의 전자기학 지식으로는 빛의 에너지가 진폭의 제곱에 비례한다고 생각했기 때문에, 강한 빛을 쬐면 당연히 더 큰 에너지의 전자가 나와야되는 거예요. 그러나 실험 결과 튀어나온 애의 에너지가 빛의 세기랑은 관계없고, 빛의 주파수에만 관계가 있다는 그런 결과가 나왔죠.

일석이라는 그 아저씨는 빛이 파동이 아니라 입자라고 생각하고 이 현상을 설명했어요. 본국에서는 아인슈타인이라고 불리는 이 아저씨는 이러한 광전 효과를 설명하고 1921년에 노벨상을 받았어요. 빛이 에너지 $E_l=h \nu$를 가지는 광양자라고 생각하고 설명한 거죠. “~자”, 즉 입자라는 거예요. 그리고 광전 효과 실험에서 넣어준 빛의 주파수 $\nu$에 따라 나온 전자의 에너지 $E$를 그려보니 대략 선형적인 식을 얻었어요.
$$E= h \nu - W$$
여기서 $W$는 금속에 따라 다른 상수죠. 이 때의 이 선의 기울기인 $h$를 플랑크 상수(Planck Constant)라 해요.
$$h= 6.626069 \times 10^{-34} [J \cdot s]$$
위에서 $\nu$가 주파수인데, 이걸 각속도로 바꾸면 이렇게 되죠?
$$E= h \nu = h \frac{\omega}{2 \pi} = \frac{h}{2 \pi} \omega = \hbar \omega$$
플랑크 상수에다가 $2 \pi$를 나눈 걸 더 자주 쓸 거예요. $h$랑 $\hbar$를 독일식으로 ‘하’와 ‘하바’라고 많이 읽어요. 위키피디아 보니까 ‘하바’는 틀린 표현이라는데… 어… 그렇게 많이 읽더라고요… ‘에이치바’라고 할까요?
$$\hbar = 1.054571 \times 10^{-34} [J \cdot s]$$

# 드 브로이 물질파

이중슬릿에 빛 많이 쏴보셨죠? 패턴이 나오죠? 거기에 전자 빔을 쏴 본 겁니다. 에이 전자는 입잔데 그냥 직진하니까 별 거 안 나오겠죠. 근데 빛이랑 똑같은 패턴이 나왔다 이겁니다. 전자가 회절을 한다는 말이에요. 오… 전자가 파동이었어요. 그럼 파장도 있겠네요? 파장은 이렇게 구합니다.
$$\lambda = \frac{h}{p}$$
상대성 이론에서 $E^2= (m_0 c^2 )^2 +(pc)^2$인데 정지에너지인 첫 항을 뺐을 때 $E=pc$이고, 위의 광양자 가설에서 $E=h \nu = h \frac{c}{\lambda}$니까 $\lambda$에 대해 정리하면 이렇게 나온답니다. $E= \gamma m_0 c^2,p=\gamma m v$를 대입해보면 윗 줄의 에너지-모멘텀 관계식은 확인해보실 수 있어요.. 드 브로이 아저씨도 1929년에 노벨상을 탔습니다.

음, 근데 수면파면, 물이 실제로 진동하는 거고, 소리도 공기의 압력이 변하면서 매질인 공기가 진동하고, 빛이면 전자기장이 진동하는 거니까 파동인 거 같아요. 그러면 물질파는 뭐가 진동하는 걸까요? 물질파를 표현하는 식을 wave function이라고 하는데요, 그 wave function의 값은 뭘 나타내는 걸까요? 바로, 어떤 점 $x, y, z$에서 어떤 시간 $t$에 그 물체를 찾을 확률과 연관되어 있습니다. 전에 얘기한 $\Psi$죠. 자체의 값은 아무 물리적 의미가 없지만 $\Psi \Psi ^*$이 확률밀도함수가 되는 그런, 확률의 파동, wave function인 거죠. 앞의 포스팅(#01)에서는 state vector라고 했지만, 사실 wave function이라고 하기도 해요 …..

# 연산자의 의미

제일 처음 포스팅(#00)에서 잠깐 언급했지만, 양자화 가설에는 물리량에 최소 단위가 있다는 내용과 한 가지가 더 있어요. 나머지 하나는 이런 거예요. 어떤 상태 $\psi$에 대해 우리가 연산자를 걸어주면, 그 값이 나온다는 거죠. 위치 정보를 알고 싶으면, $\psi$에다가 위치 연산자 $\hat{x}$ 혹은 $\hat{r}$을 걸어라는 거예요. 각운동량 벡터를 알고 싶으면 상태 함수 $\psi$에 각운동량 연산자 $\hat{L}$을 걸어라는 거예요. ‘걸다’라는 어휘가 애매한데, 그냥 $\hat{L} \psi$를 계산하라는 거예요. 그럼 이제 제일 첫 포스팅에서 스쳐가듯이 봤던 $\hat{p}, \hat{E}, \hat{H}$를 구해봅시다.

# 기본적인 연산자

위에서 $\Psi$가 확률의 파동이라고 말헀어요. $\Psi$에 대한 식인 슈뢰딩거 방정식은 파동방정식으로부터 유도할 수 있겠네요. 그럼 파동방정식을 잠깐 써 보겠습니다. 편의상 1차원으로 썼어요.
$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$
대입을 해 보시면
$$y=A e^{-i \omega (t-x/v)}$$
라는 꼴의 함수가 이 편미분방정식의 해가 됨을 확인할 수 있어요. $v$는 파동의 전파속도, $A$는 진폭, $\omega$는 각진동수입니다. $i=\sqrt{-1}$이에요. 그런데 여기서 $\omega = 2 \pi \nu , v= \lambda \nu$임을 알아요. 앞의 식은 각진동수와 진동수의 관계, 뒤의 식은 파동의 속도와 파장, 진동수와의 관계니까요. 일단 대입해보죠.
$$y=A e^{-i \omega (t-x/v)}=A e^{ - i 2\pi \nu (t-x/(\lambda \nu))} = A e^{ - i 2\pi (\nu t - x/\lambda)}$$
여기서 이제 앞에서 얻어낸 두 가지 노벨상을 받은 지식을 적용해봅시다. 광양자 가설과 물질파 말이에요.
$$E= h \nu = 2 \pi \hbar \nu , \lambda = \frac{h}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{p}$$
대입을 해 보면
$$y= A e^{ - i 2\pi (\frac{E}{2 \pi \hbar} t - x\frac {p}{2\pi \hbar})}= Ae^{-(i/\hbar)(Et-px)} = \Psi$$
그럼 지금 우리는 $y$가 wave function인 $\Psi$임을 알고 있어요. 좋아요. 그리고 아주 기초적인 물리 지식인 이것도 알고 있어요. 전체 에너지가 운동에너지와 위치에너지의 합이라는 거 말이죠.
$$E=\frac{p^2}{2m} + U$$
이제 위의 해의 꼴에서 $E, p^2$를 끄집어내봅시다. 지수 위에 있는 항을 끄집어내릴 때는 미분이 제격이죠. $E$를 끄집어낼 때는 $\Psi$를 $t$로 미분하고, $p^2$를 끄집어낼 때는 $\Psi$를 $x$로 두 번 미분하면 되겠네요.
$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{i}{\hbar}E\Psi ~~~~\rightarrow~~~~ E\Psi= i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} \\ \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = - \frac{1}{\hbar^2}p^2 \Psi ~~~~\rightarrow~~~~ p^2 \Psi = -\hbar^2 \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}$$
자, 양자화 가설을 꺼내와봅시다. $\hat{E}, \hat{p}$를 바로 이렇게 끄집어내는 거죠. 그럼 $x,t$ 공간 상에서 $E, p$ 연산자를 다음과 같이 정의할 수가 있네요.
$$\hat{E} = i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \\ \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$$
운동량 연산자를 두 번하면 위의 $p^2$이 나온다는 걸 금방 확인할 수 있어요. 다만, $p^2$이라서 (-) 부호가 붙을 수도 있고 안 붙을 수도 있다고 생각하실 수 있는데, 제가 가진 자료에 있는 증명과정이 맞다면 그걸 다음 포스팅쯤에 올려드리겠습니다. 어쨌든, 운동량 연산자를 1차원이 아닌 3차원 공간으로 확장한다면 이렇게 쓰지요.
$$\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \nabla$$
그리고, 전체 에너지가 운동에너지와 위치에너지의 합이라는 식도 양자화 가설에 의해 모두 연산자로 바꿔 쓸 수가 있어요.
$$\hat{E} = \frac{\hat{p}^2}{2m} +U$$
이 식을 보면, $\hat{E}$는 시간에 대한 편미분이고, $\hat{p}$는 공간에 대한 편미분이죠. 또, 위치에너지가 시간에 따라 변하지 않으면 우변은 전체가 공간에 대한 함수네요. 그래서 우변을 따로 $\hat{H}$로 씁니다. 이름은 해밀토니안(Hamiltonian)이죠. 해밀턴이라는 아저씨 이름이 붙은 거예요. 어쨌든, 우변을 해밀토니안으로 쓰면 이렇겠네요.
$$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} +U = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2+U$$
섹션 제목이 “기본적인 연산자”이기 때문에 $\hat{E} \Psi = \hat{H} \Psi$가 된다는 그런 시간의존형 슈뢰딩거 방정식(#00)에 대한 언급은 여기서는 전혀 하지 않을 예정입니다. 어쨌든, $\hat{E}, \hat{p}, \hat{H}$는 정말 중요합니다. 음… 위치 연산자 $\hat{x}=x$라는 것도 그냥 알고 넘어가죠.

# 기본적인 연산

프리뷰에 있는 3가지만 간단히 언급하고 넘어갈게요.

1. 내적 (Inner product)

---

다음의 3가지 조건을 만족하면 내적(Inner product)이라고 불러요.

$<A~|~\beta B> ~=~ \beta<A~|~B>$, $\beta$는 상수
$<A~|~(~|~B>+~|~C>)>~ = ~<A~|~B>+<A~|~C>$
$<A~|~B> ~= ~<B~|~A>^*$

첫 두 조건은 선형성에 대한 거네요. 마지막 조건은 $A,B$가 복소수일 때 순서를 바꿔서 내적하면 전체의 켤레가 된다는 그 정도 의미군요. 어쨌든 이 조건을 잘 만족하게 정의해서 널리 사용하는 내적은 이렇게 계산합니다.
$$<\phi~|~\psi>= \int \phi^* \psi dV$$
앞에 있는 함수에 켤레가 붙는다는 것만 기억해두시면 돼요. 어떤 State vector $\psi$에 대해서 $<\psi~|~\psi>$를 계산하면 뭘까요? 아 이건 다음 포스팅 Review로 넘기죠. 하하하

2. 기댓값 (Expectation Value)

---

기댓값이라는 개념은 통계할 때 나오죠? 확률할 때요. 어떤 의미인가요? 평균이랑 거의 같죠? 통계를 할 때 기댓값은 이렇게 구할 꺼에요
$$기댓값 = \Sigma ((사건으로~인해~얻는~이익) \times (사건이~발생할~확률))$$
양자역학에서의 기댓값은 어떤 의미일까요? 그런 거죠. 어떤 상태 $\psi$와 연산자 $\hat{Q}$가 있을 때, $\psi$의 $Q$값의 평균. 예를 들면 이런 거예요. “수소에서 전자가 1s에 있을 때 핵으로부터 거리의 평균”이라 하면 상태 $\psi_{1s}$과 위치 연산자 $\hat{r}$에 대한 기댓값을 구하는 거죠. 계산은 이렇게 해요.
$$<\psi~|~\hat{Q}~|~\psi> = \int \psi^* (\hat{Q} \psi) dV$$

3. 커뮤테이터 (Commutator)

---

커뮤테이터라고 검색하면 이상한 것만 나와서 굳이 한글로 안 쓰기로 했어요. 정의부터 쓸 게요. 두 연산자 $\hat{A}, \hat{B}$에 대해서 커뮤테이터는 이렇게 정의합니다.
$$[\hat{A}, \hat{B}] = \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$$
AB-BA를 보면 행렬이 막 떠오르나요? 괜찮아요. 아직 아니에요. 게다가 앞으로 쓸 글들에서도 다룰는지는 모르겠어요. 만약 커뮤테이터가 $0$이라면, 두 연산자는 커뮤터블(Commutable)하다고 부릅니다. 커뮤터블하지 않은 두 연산자에 대해서는 엄청 놀라운 성질이 하나 있는데요, 오늘은 토요일이니까 시공의 폭풍에서 머무르는 시간을 좀 가지고, 다음에 쓰도록 하겠습니다.

# Closing

잠시 프리뷰로 올라가서 해야될 말을 다 했는지 보고 올게요. 된 거 같군요. 오늘은 딱히 넣을만한 그림이 없어서 그냥 식만 죽죽 써 봤어요. 제가 이번 포스팅 메인 그림을 퍼 오는 사이에, 다음 포스팅에 뭘 쓸 건지 생각해봅시다. 아냐, 둘 다 내가 해야되는 일이잖아 이런.

다음에는 Hermitian Operator에 대한 언급을 하려고 합니다. 그리고 위에서도 언급했다시피 $\hat{p}$에 왜 (-) 부호가 안 붙는지 볼 거고요, 커뮤터블하지 않은 두 연산자에 대한 성질은 … 다다음 포스팅에 하죠! 6월 중순은 기말 기간이니까요!