Newbie를 위한 양자역학 01_ 배경지식(상태함수와 확률밀도함수)

# Review

• 양자가 뭔가요?
• 양자역학의 가장 기본 가정은 뭔가요?
• 양자역학의 가장 기본적이고 중요한 식은 뭔가요?

퀴즈 보는 거 같아
우리가 양자화되어 있기에 모든 것은 연속적이지 않은, 단위라는 것으로 따로 존재하고, 그래서 밥을 혼자서 먹는 거라고 어딘가 인터넷에서 그러네요.. 하하하핳하.. =p

# Preview

자, 저번 포스팅에서 밑도 끝도 없이 식 하나 던져줘놓고는 “아 그냥 가정이야 묻지 마”하고 퇴장했었죠. 일단 어느 거든, 식의 의미를 이해하려면 기호를 알아야 되겠죠. 문장을 읽으려면 문자부터 읽어야죠. 오늘은 $\Psi$가 뭔지 살펴보는 시간을 갖도록 하겠습니다. 확률밀도함수의 개념이 나오니, 그게 뭔지도 설명하죠.

# State Vector $\Psi$

슈뢰딩거 방정식을 다시 안 적었다간, 제가 계속 “저번 포스팅에서 이랬었죠 저랬었죠”할 거 같으니, 한 번 더 적어보겠습니다. 복붙
$$\hat{H} \Psi = \hat{E} \Psi$$
$$\hat{H} = - \frac{ \hat{p}^2}{2m}+V , \hat{E}= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$$
다다음 포스팅 즈음에 ^ 표시가 붙어있는 바로 저것. 연산자(operator)라 불리는 바로 저것에 대해 이야기를 할 겁니다. operator 포스팅을 먼저 하려 했는데, operator를 설명하려면 $\Psi$에 대한 설명이 있어야 되서 이걸 먼저 쓰게 되었습니다. 일단 그 전까지는, $\hat{H}$는 공간에 관한, 위의 식처럼 주어진 어떤 연산이라고 하죠. 그에 비해, $\hat{E}$는 $t$로 편미분하는 걸로 보아 시간에 관한 어떠한 연산이네요. 그럼 아마도 $\Psi$가 공간과 시간 모두에 관계된 어떠한 개념이라는 것 같군요.

이름이 Vector이긴 하지만, 흔히 알고 있는 크기와 방향을 가지는 그 벡터는 아니에요. 그냥 함수죠. 그래서 State function이라고 하기도 해요. State는 상태라는 뜻이죠. 그러니 결국 $\Psi$는 어떠한 상태에 대한 어떠한 함수겠네요. 음… 뭐랄까… 예를 들어볼까요. 원자랑 친하시죠. 탄소라고 생각해 볼까요? 원자핵 주변을 전자 6개가 ‘돌고’ 있잖아요. 원자핵이 가만히 있다고 치고, 그 자리를 원점이라고 생각하면 전자들 위치를 좌표로 찍어낼 수 있겠죠. 그리고 각각의 전자에 대한 분포가 나올 거예요. 첫 번째 껍질에 있는 애는 핵에서 가깝게 분포할 테고, 두 번째 껍질에 있는 애는 좀 더 멀리 분포하는 거로 나오겠죠. 그 분포에 대한 정보를 $\Psi$가 포함하고 있어요. 그러니까, 첫 번째 껍질에 있는 애가 가지는 $\Psi$와 두 번째 껍질에 있는 애의 $\Psi$가 다른 거죠.

제가 위에서 $\Psi$가 분포에 대한 정보를 포함한다고 했어요. 그럼 결국 $\Psi$는 뭐죠?

아무 것도 아닙니다! $\Psi$ 자체에는 세기라든가! 속도라든가! 에너지라든가! 없어요! 아무 의미도 없어요! 그럼 얜 뭔가요… 대신에 $\Psi$에 conjugate를 곱하면 그게 확률밀도함수가 되죠! conjugate는 한국어로 하면 켤레복소수, 공액복소수라고도 하네요. 앞으로는 conjugate를 아래 수식과 같은 기호를 이용해서 표시할게요.
$$C=a+bi (a, b \in \mathbb{R}), i=\sqrt{-1}$$
then the conjugate of C looks like this:
$$C^*=a-bi$$

#다른 표기법

잠깐 $\Psi$의 표기법에 대한 이야기를 하고 넘어가죠. 언뜻 양자역학이라는 걸 봤을 때 막 괄호가 날아다니는 광경을 보신 적 있을 거에요. 근데 그거 그냥 표기법이에요. $\Psi$를 이렇게 쓴 거죠.
$$| \Psi>$$
이 때 켤레는 이렇게 써요.
$$<\Psi|$$
저게 대괄호였나 아니었나는 잘 기억이 안 나지만, 그 문제를 차치하고라도, 저는 앞으로 그냥 함수 꼴인 $\Psi$와 $\Psi^*$을 주로 쓰겠습니다. 큰 상관은 없다고 생각해요.

#$\Psi$의 의미

자, 위에서 $\Psi \Psi^*$가 확률밀도함수라고 했어요.

• 확률밀도함수가 무엇인가?
• 무엇에 대한 확률인가?

두 번째 질문에 대한 답을 먼저 하죠. 분포에요 분포. 탄소 주변을 전자가 돌고 있겠죠? 아닙니다! 그렇지 않아요! 어딨는지 몰라요. 어떻게 움직이는지도 몰라요. 후…. 아는 게 뭔가요…. 분포에요 분포. 확률밖에 몰라요. 얘가 핵으로부터의 거리가 $1nm$ 이하인 곳에 있을 확률이 몇 퍼센트라든가, 그것만 알아낼 수가 있죠. 그런 확률에 대한 식이 확률밀도함수에요. 그렇다면 제목을 하나 더 만들어 보죠.

#확률밀도함수

영어로는 Probability Density Function(PDF)입니다. 딱 그대로 해석해서 쓰는 게 일본에서 온 번역어인가? 생각은 들지만, 검색해보지 않겠습니다. 줄여서 PDF라고 하죠. Density이긴 하지만 부피를 곱한다고 질량이 되지는 않아요. 확률질량함수라는 게 있지만, 약간 다른 개념이죠. 대신, PDF의 개념을 이해하기 위해서는 Cumulative Distribution Function(CDF)를 먼저 알아보는 게 좋습니다. 누적분포함수라고 하네요.

자, 지금 글 쓰고 있는게 5월 9일이니 음… 이렇게 합시다. 친구가 있어요. 친구랑 2015년 5월 11일 16시 00분에 만나기로 약속을 했다고 합시다. 참고로 이 친구는 1993년 4월 1일에 태어나서 2070년 12월 1일에 죽는 사람이라고 합시다. 어… 구간을 유한하게 잡으려고 하는 거니 글쓴이 미친 놈이라 말하지 마시고 이해해주세요. 서술의 편의를 위해서, 이 사람은 어찌 되든 약속을 깨지는 않는다고 합시다!

그렇다면! 이 친구가 정확히 2015년 5월 11일 16시 00분에 올 확률은 얼마일까요? 따질 수 없습니다. ‘순간’이기 때문이죠. 다시 말해서, 저렇게 따져서는 안 되고, 15시 50분에서 16시 10분 사이에 올 확률이 얼마인지를 논해야 된다는 거예요. 상당히 친해서 엄청나게 질책하고 싶다면, 16시 00분 00초에서 16시 00분 05초 사이에 올 확률까지 세세하게 따져서 야단을 쳐야겠죠. 다시 말해서, 확률은 구간 내에서 존재하는 거예요. 그럼 구간마다 확률이 정해지겠죠.

하나 더 생각해 봅시다. 이 친구가 이 약속 장소에 나타나는 시기가 1993년 4월 1일에서 2010년 12월 31일 사이일 확률 $p_1$이 있겠죠. 약속이 생기기 5년 “전”에 나타나는 사람은 거의 없겠지만, 확률은 존재하죠 하하.. 1993년 4월 1일에서 2015년 5월 1일 사이에 나타날 확률 $p_2$가 있다고 하면, 둘 중에 어느 확률이 클까요? 당연히 $p_2$ 겠죠. 또, 1993년 4월 1일에서 2020년 4월 1일 사이에 나타날 확률 $p_3$이 있다면, $p_3$은 $p_2$나 $p_1$보다는 당연히 크겠죠. 쭉쭉 올라가서, 이 친구가 약속 장소에 1993년 4월 1일에서 2070년 12월 1일 사이에 나타날 확률은 얼마일까요? 어떻게든 약속에 나오는 사람이니 100%겠죠! 죽기 직전에 친구와의 약속을 지키러 가는 사람이라니 갑자기 영화같네요.

어쨌든! 1993년 4월 1일에서 T라는 시간 사이에 약속에 나올 확률을 T를 x축인 그래프로 그려보면, 증가함수(단조증가일 필요는 없어요)에다가 결국 1로 가는 그래프가 나오겠군요. 그게 CDF에요. CDF는 그러니까, 친구가 약속 장소에 나오는 사건이 1993년 4월 1일에서 T 사이에 일어날 확률인 거에요. CDF는 보통 $F_X(x)$라고 쓰는데, 이렇게 정의되죠.

$$F_X(x) = P(X<x)$$
여기서, $X$는 친구가 도착한 시간이고, $x$는 우리가 설정한 시간 $T$입니다. $P$라는 기호는 확률을 뜻해요. 친구가 도착한 시간이 T보다 작을 확률인 거죠 결국에.
이 때, PDF는 이렇게 정의해요.

$$f_X(x)=\lim_{ \Delta x\to 0} \frac{P(x<X<x+\Delta x)}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x\to 0} \frac{F_X(x+\Delta x)-F_X(x)}{\Delta x} = \frac{d}{dx} F_X(x)$$
PDF는 CDF의 미분인 거죠. CDF가 증가함수이니, PDF는 항상 0보다 크거나 같겠네요. 게다가 CDF는 아싸리 확률값이라서 0에서 1 사이의 값이기 때문에 PDF는 어떻게든 0으로 수렴하겠군요. PDF를 알 때 확률을 구하려면 어떻게 하나요? 적분을 하시면 됩니다! 자.. 위의 친구가 약속에 나오는 사건에 대해서 미리 PDF를 구했어요. 통계적으로든, 주변의 평판을 통해서든 PDF를 구했다고 합시다. 2015년 5월 11일 16시 20분에서 16시 40분 사이에 얘가 올 확률을 구하고 싶다면, 이 구간에서 PDF를 적분하면 됩니다. 그 확률이 생각보다 높다면, 만났을 때 매우 치시면 됩니다.

# So what?

장황한 그리고 이상한 예시를 통해 PDF가 무엇인지 봤어요. 그리고 저어어어기 위에서 $\Psi$$\Psi^*$가 PDF가 된다고 했죠. 그렇다면, 확률에 대한 이야기를 할 수가 있습니다. 다시 탄소로 돌아가볼까요? 아뇨, 수소로 가볼게요.

아시다시피 중성수소 원자 하나 안에는 전자가 하나 있죠. 뭐, 제일 안정된 상태라고 합시다. 이 때 이 전자가 가지는 상태 함수 $\Psi$가 있겠네요. $\Psi$가 변수 분리 가능해서, 공간에 관련된 함수 부분만 떼서 $\psi$라고 합시다. 살다가 문득 갑자기 뜬금없이 전자가 수소 원자핵으로부터 $0.1nm$ 내부에 있을 확률이 궁금해졌어요. 그 때 이 $\psi$를 이용하여 간단한 계산만 하면 됩니다. PDF인 $\psi \psi^*$를 이 구간에서 적분하는 거죠. 확률을 P라고 해볼까요.

$$P=\iiint \psi \psi^* dV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^{0.1} \psi \psi^* (r^2 \sin \theta)dr d\theta d\phi$$
뒤의 $r^2 \sin \theta$는 구면좌표계에서 $dV$ 항에서 나온 거예요. 이런 간단한 적분을 통해서 전자가 어떤 확률로 분포하는지를 보는 겁니다. 그렇다면, 모든 공간에서 $\psi \psi^*$을 적분하면 어떻게 될까요? 모든 공간에서 이 전자가 어딨는지 찾아낼 확률이란 말이죠? 그렇다면 1이겠군요! xyz 좌표계에 대해서만 써 보면 이런 거죠!
$$\iiint \psi \psi^* dV = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \psi \psi^* dxdydz = 1$$

# Closing

음… 어떻게 끝낼까요? 어… 오늘도 어쩌다보니 줄글이 되었군요. 다음 포스팅에서는 operator에 대한 얘기를 조금씩 시작하겠습니다. 일반적인 operator 얘기를 한 번하고, 이 분야에서 쓰는 operator로 들어가죠.