Newbie를 위한 양자역학 00_서론

#안녕하세요~

안녕하세요~ “Newbie를 위한 양자역학”이라는 타이틀을 달고 앞으로 양자역학의 기초에 대해 알려드리려 하는 김주환이라 합니다~! 저는 서울대학교 전기정보공학부 3학년으로 있고요, 이번 학기에 양자역학 수업을 듣는데 너무 재밌어서 이 학문을 제가 이해한 방식으로 한 번 설명해보고싶다는 생각이 문득 들어 포스팅하기로 마음을 먹었습니다. 음악 들으면서 글 쓰려니 참 안 써지네요. 끄고 오겠습니다.

아, 제목을 “Newbie”라고 했지만요, 부정적인 의미는 없어요.. 정말 Newcomer들, 양자역학을 한 번도 접해보지 않은 사람들을 (예상) 대상으로 정말 기초적인 부분을 건드려볼 생각입니다. 양자역학이라는 학문의 특성 상, Newcomer들에게는 초장부터 시련이 찾아옵니다. 하하… 좀 있다가 다시 말하죠..

대학에서도 첫 강의 때는 OT만 하고 끝내잖아요? 공대는 그렇지가 않지만요
이 포스팅도 처음이니까 말 그대로 orient + -at- + -ion.
방향만 정해볼게요.

#포스팅 방향

일단 저는 양자역학을 죽 훑을 거예요. 아, 죽 훑는다고해서 빠르게 막 넘어가겠다는 건 아닙니다. 일단, 저는 따로 구글링을 하거나 위키를 찾아보지 않고도 제 포스팅의 내용을 이해할 수 있도록 하는 게 목표에요. 수학적인 구조나 배경 설명을 하면서 글을 써 나갈 거에요. 내용이 너무 길면 링크를 걸겠지만요. 링크는 아마 대부분 저어기 있는 참새 님의 공학수학이 되지 않을까 싶긴 하네요.

다음으로는, 양자역학의 아주 기본적인 부분을 다룰 겁니다. 제가 지금 가지고 있는 교재는 Ziock이라는 아저씨의 책이에요. 지옥 따.. 딱히 교수님이 이걸로 수업을 해서 그런 거…. 네요. 어쨌든 제가 앞으로 수식을 전개할 때의 문자나 표기법은 이 책을 따를 것 같아요. 혹시 포스팅을 보시다가 마음에 안 들거나 문자들이 너무 비슷해서 보기 어렵다 등의 사항이 있으면 말해주세요. 양자역학에는 $\phi$ 나 $\psi$ 를 비롯한 그리스 문자가 대문자 소문자 등등 꽤나 나와서 잘 보셔야 돼요 사실..

그리고…. 음…. 이해를 돕기 위해 드립을 약간 양념처럼 칠 예정입니다. 물론 양념이니 음식이 메인이고요, 음식에 곁들일 거예요. 그런데 혹시나 좀 거슬린다거나 상황에 맞지 않다는 의견이 있으면 수정하겠습니다.

3줄 요약이 있어야죠.

• 최대한 (수학적) 배경 설명을 하면서 진행할 거에요.
• Ziock 교재의 표기법을 대부분 따르고, 아주 기본적인 부분을 볼 게요.
• 드립을 약간 칠 건데 거슬리면 말해주세요.

#Introductory part for Quantum Mechanics

첫 부분에 말했으니, 이제 Newcomer에게 아주 작은 시련을 드려야죠.

일단, 양자가 뭘까요?

영어로는 Quantum이라고 하네요. 복수형은 Quanta죠.
Datum의 복수가 Data인 것처럼요.
Medium의 복수가 Media인 것처럼요.
Bacterium의 복수가 …. 그만할게요.

어쨌든, 양자의 정의는 쉽게 생각하면, 모든 물리적인 양의 최소단위라고 생각하면 됩니다. 이 단어를 뜯어보면 크게 두 가지 의문이 생기네요.

1. 최소라니까 일단 작은 걸 다루겠다는 거겠네? 그럼 어느 정도 작은 거지? 분자? 원자? 전자? 쿼크?
2. 단위? 단위라고요? 연속적인 게 아니었어? 이럴 수가..

답은 문제 속에 있죠. 양자역학은 1번에 있는 정도 크기를 다룹니다. 분자 정도 이하의 모든 것이라 할 수 있네요. 작으면 작을수록 어렵고요, 크면 클수록 어려워요. 지금 원자 정도 크기는 이 때까지의 사람들이 제일 관심이 많아서, 많은 실험적인 관찰이 있고, 가장 잘 이해하고 있습니다. 그리고 사실 얘네가 모든 것의 기초죠. 이 포스팅에서도 그래서 이 정도 사이즈를 지지고 볶을 겁니다. 물론 위에 말한 쿼크 이하에서도 ‘초끈이론’이라 해서 10차원의 끈이 있다는 둥 자연계 4대 힘을 설명하려는 이론이 있어요. 좀 더 근원적인 거죠. 상대론이랑 양자역학을 결합해서 설명합니다. 이건 따로 다루지 않을 겁니다..

그리고, 양자는 특정한 입자를 말하는 게 아니에요. 이름이 전자나 원자처럼 ‘자’로 끝나지만, 그러한 입자를 칭하는 건 아니죠. 위의 최소단위라는 말에서 보면, 최소에 가까운 에너지, 운동량 등이 어떻게 존재하는지를 설명하는 데에 필요한 개념이 양자이고요, 그 설명이 양자역학이라 보면 됩니다. 실존적이기보다는 관념적인 거예요.

2번의 의문이 바로 양자역학의 가장 기본적인 가정인 “양자화 가설(the Hypothesis of Quantization)”입니다. 네? 가설 맞습니다. 이론이 아니에요 여러분. 이게 무슨 말일까요?
양자화 가설을 기반으로 쌓아올려진 양자역학에서 여러분들이 엄청난 모순을 발견하면, 여러분만의 새로운, 여러분 이름이 붙은 이론을 만들 수 있다는 거죠! Kim's Equation 제발 노벨상 좀 받아라고 애원할 겁니다.

그럼 왜 가설을 계속 쓰고 있나요? 이렇게 가정했을 때 실제 현상들을 제일 잘 설명하기 때문입니다. 예를 들면 이런 거죠. 수학 문제를 하나 풀고 있어요. 소문제 (a) (b)가 있는데 (a)를 이용하면 (b)가 엄청 쉽게 풀려요. 근데 (a)가 너무 안 풀려요. (a)를 완벽히 풀고 (b)를 적으려했다간 시험 시간 다 날리고 답도 반도 못 쓰고 부분점수도 못 받고 등수는 떨어지고 학점도 떨어지고 취직에 실패해서 불행한 삶을 살 거 같아요. 그럼 어떡해요? (a)가 맞다치고 (b)를 먼저 답안에 적겠죠? 그런 거예요.

양자화 가설을 설정했을 때 실제 관측 결과를 설명하는 데에 다 성공했어요. 예를 들면, 레이저가 발생되는 원리라든가, 초전도 현상이 발생하는 이유 같은 거죠. 그래서 계속 쓰는 거죠 뭐. 그래서 양자역학에는 “아 귀찮아 그냥 이렇다고 가정하자”라는 부분이 많아요. (물론 아무것도 없는데서 튀어나오진 않고, 특정한 의미는 있어요) 이걸 있어 보이게 Postulate이라 한답니다. 하하… 하하하… 양자역학을 하면 갑자기 식이 툭툭 튀어나와요. 교수님께 저 식이 어디서 나왔냐고 물어봅니다. 대답하시죠. “Postulate”

사실 양자화 가설은 위의 2번에서처럼 에너지나 전하 같은 물리량이 최소 단위의 몇 배 몇 배로 말할 수 있다는 내용도 있고요, 좀 더 확장된 의미도 있긴 해요. 이 확장된 의미는 연산자(operator)가 뭔지를 알아야 얘기를 할 수 있어서 후일 언급하도록 하죠.

전자기학이라는 학문은 맥스웰 방정식(Maxwell’s Equation)이라는 6개의 식으로 변태같이 식을 조작해서 모든 현상을 설명해요. 비슷하게 양자역학에서 대표주자를 하나 꼽으면 바로 이거죠. 이름은 슈뢰딩거 방정식(Schrodinger’s Equation)이에요. 슈뢰딩거 아저씨가 제안했다는 걸 말 안 해도 알 수 있겠죠.
$$\hat{H} \Psi = \hat{E} \Psi$$
when
$$\hat{H} = - \frac{ \hat{p}^2}{2m}+V , \hat{E}= i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$$
뭔가 새로 보는 기호가 많아 보이지만, 결국 의미는 아주 상식적입니다.

어떤 State vector $\Psi$에 대해, 총 에너지($\hat{E} \Psi$)는 운동에너지와 위치에너지의 합($\hat{H} \Psi$)과 같다.

용어나 식의 의미는 앞으로 계속 설명할 테니 걱정 안 하셔도 되고요, 이 식이 어디서 나왔냐고요?
$$Postulate!$$

# 마치며

하… 방향만 제시한다고 분명히 말씀드렸는데 내용이 꽤나 들어갔네요. 공대의 OT 수업은 다 이렇지만요 오늘은 줄글이 되게 많은데, 앞으로는 별로 그렇게 될 거 같진 않아요 아마… 네.. 열심히 해 볼게요.. 열심히 읽어주세요.. 이번 주에 시험이 많아서 숨 좀 돌리고 다시 오겠습니다..