그림 출처
# Review
- wave function ψ의 경계조건은 어떤 게 있나요?
- 1D Infinite Potential Well의 해는 위치 x에 대한 어떤 함수의 꼴인가요?
- 에너지와 상태의 양자화를 나타내는 정수 n은 어디서 나타나나요?
# Preview
자, 깊이가 무한인 1차원 포텐셜 우물에서 wave function ψ가 어떤 꼴로 나오는지 구해봤습니다. 그렇다면 이제는 당연히 깊이가 유한할 때를 따져보겠죠? 우물의 깊이가 V0라고 해 봅시다. 이 때 wave function ψ가 어떻게 나오는지를 슈뢰딩거 방정식을 통해 구한다면, 입자의 확률분포인 ψψ∗를 계산할 수 있겠죠. 쉽습니다.
# 1D Finite Potential Well _ 1
저번 포스팅과 제목이 똑같아 보이지만, 여기는 In이라는 두 글자가 없습니다. 영어는 오묘하죠. 물론, 한글로 하더라도 ‘무’가 ‘유’가 된 것이니 두 음절이 바뀌었다 할 수 있습니다. 한글도 오묘하죠. 뭐, 음절이 바뀌었든, 형태소가 달라졌든, 어절이 변화하였든, 우리는 미분방정식을 풉니다. 그림은 이러합니다.
이제는 벽의 높이가 ∞가 아닌, V0입니다. 그리고 우리가 다루는 건 전체 에너지 E가 벽보다 낮은 경우입니다. 에너지가 벽보다 높으면…. 우물에 갇힌 게 아니잖아요…. 어쨌든 위치에너지를 한 번 식으로 써 보죠.
U={V0 |x|>a⟹region (1), (3)0 |x|<a⟹region (2)
이제, 오랜만에 시간비의존성 슈뢰딩거 방정식을 써 봅니다. 글을 한 달만에 쓰는 거라 한 번 쓰고 넘어가지요. 1차원이라 변수가 x밖에 없기 때문에 편미분 ∂을 쓰지 않고 그냥 d를 썼습니다.
−ℏ22md2dx2ψ+Uψ=Eψd2dx2ψ+2mℏ2(E−U)ψ=0
두 번째 식은 첫 번째에서 이항만 한 거니 두려워하지 마세요 용사여.
1. region (1), (3)
위치 에너지 U 자리에 넣습니다.
d2dx2ψ+2mℏ2(E−V0)ψ=0
전체 에너지 E가 V0보다 작은 경우만 다루니 잠깐 자리를 바꿉시다. 상수를 양수로 만들고 싶어서요… user-friendly하게..
d2dx2ψ−2mℏ2(V0−E)ψ=0
너무 쉬워서 말도 안 나오는 2계 미분방정식이기 때문에 가차 없이 해를 이렇게 써 봅니다.
ψ=Keγx+Le−γxwhere γ=√2mℏ2(V0−E)
그런데 잠깐 생각을 해봅시다. 우리가 ψψ∗를 모든 구간에서 적분한 게 1이 된다는 걸 알고 있으니까요, 예를 들어서 x<−a의 범위에서 ψψ∗를 적분한 게 수렴해야겠죠. 그럼 이 구간에서 L=0이 되어야합니다. 반대로 x>a에서는 K=0이 되겠죠. x>a의 경우에 대해서 식으로 조금 써 보면
∫∞aψψ∗dx=∫∞a(K2e2γx+L2e−2γx+2KL)dx=[K22γe2γx−L22γe−2γx+2KLx]∞a
가 수렴해야되기 때문에 K=0이 되는 겁니다. γ가 양수인 것도 살짝 떠올려주세요. 그래서 결론적으로, (1)과 (3) 영역에서 ψ는
ψ1=Keγxψ3=Le−γx
2. region (2)
이번에도 위치 에너지 U 자리에 넣습니다.
d2dx2ψ+2mℏ2Eψ=0
또 같은 링크를 타시면 이번에도 무자비하게 해를 이렇게 쓸 수 있습니다.
ψ2=Acosαx+Bsinαxwhere α=√2mEℏ2
무한 우물(#10)에서는 이렇게 하고 끝냈었는데, 유한 우물에서는 할 일이 좀 있습니다.
#1D Finite Potential Well _ 2
Applying Boundary Condition
저번 포스팅(#10)에서 뜬금없이 ψ의 경계조건을 구했습니다. 이번 포스팅의 Review에도 있듯이 경계조건은 중요하지요. 어떤 건가요? 경계에서 ψ 자체의 값이 연속이다는 것과, dψdx가 연속이라는 것 두 개죠. 그럼 미분 한 것도 써 봅시다. 아니지. 써 볼게요.
region(1): ψ1=Keγx ψ′1=γKeγx boundary x=−aregion(2): ψ2=Acosαx+Bsinαx ψ′2=−αAsinαx+αBcosαx boundary x=aregion(3): ψ3=Le−γx ψ′3=−γLe−γx
이제, 경계조건이 있습니다. x=±a에서 ψ값이 같다는 것, ψ′의 값이 같다는 것. 씁시다.
x=−a: Ke−γa=Acosαa−Bsinαa γKe−γa=αAsinαa+αBcosαax=a: Le−γa=Acosαa+Bsinαa −γLe−γa=−αAsinαa+αBcosαa
왼쪽의 지수 항을 오롯이 오른쪽에 넣을 수가 있네요. K,L이 없어집니다.
x=−a: γAcosαa−γBsinαa=αAsinαa+αBcosαax=a: −γAcosαa−γBsinαa=−αAsinαa+αBcosαa
이항을 몇 개만 해보면 이렇게 식이 바뀌네요.
(αsinαa−γcosαa)A+(αcosαa+γsinαa)B=0−(αsinαa−γcosαa)A+(αcosαa+γsinαa)B=0
복붙이 가능한 연립식이라 너무 기뻤답니다. 그렇다면 이 두 식에서 각 항이 둘 다 0이 되어야 한다는 것을 알겠죠.
∴(αsinαa−γcosαa)A=0 & (αcosαa+γsinαa)B=0
그렇다면 이 두 식을 가능케 하는 쌍은 다음의 네 가지가 있어요.
(a) A=0 & B=0(b) αsinαa−γcosαa=0 & αcosαa+γsinαa=0(c) A=0 & αcosαa+γsinαa=0(d) αsinαa−γcosαa=0 & B=0
써 있는 순서를 딱 보니까, (a), (b)는 금방 끝나고 (c), (d)가 오래 걸릴 것 같다는 걸 눈치챌 수 있습니다. 눈치 못 채셔도 됩니다. 직접 해보기 전까지는 쉬운 상태와 어려운 상태가 중첩된 상태로, 확률분포만 알고 있…. 네. 조용히 하겠습니다.
case (a)
두 상수 A=B=0이라면, ψ2=0이라는 자명한 해(trivial solution)가 나옵니다. 관심 없습니다. 만약 이것이 해로 채택된다면, 값이 같다는 경계조건에서 K=L=0이 될 텐데, 그럴 경우 Normalization condition, 즉 ∫∞−∞ψψ∗dx=1을 만족시킬 방법이 없으니까요.
cases (b)
두 식을 제곱해서 더해봅니다.
0=(αsinαa−γcosαa)2+(αcosαa+γsinαa)2=α2+γ2=2mEℏ2+2mℏ2(V0−E)=2mV0ℏ2
여기서 m,ℏ은 정해진 물리량이고, V0은 우물의 깊이입니다. V0=0이어야한다는 것인데 의미가 없죠. 그래서 case (a)와 (b)는 물리적인 의미가 없는 경우입니다. 그렇기 때문에 (c)와 (d)를 열심히 파야하겠습니다.
Closing
그건 다음 포스팅에 합니다! 땅땅. 일사부재리.
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