Newbie를 위한 양자역학 13_포텐셜 우물(터널링)

그림 출처

# Review

• 우물의 바깥 쪽에서 wave function $\psi$의 형태는 어떤 함수의 꼴인가요?
• 에너지의 양자화는 어떤 조건에서 나오나요?

# Preview

유한 포텐셜 우물에서 해를 구해봤습니다. 우물 밖에서도 $|\psi|^2$가 존재한다는 것을 알았어요. 에너지가 작지만 우물 밖에도 존재할 수 있다는 거죠. 그리고 그것을 터널링 현상이라 하는 것 같아요. 터널링이 어떤 건지 얕게 한 번 살펴봅시다.

# Tunneling

포텐셜 벽이 이렇게 세워져있는 경우를 한 번 생각해봅시다. 우물이랑 반대 경우인데, 그런 거죠. 말 그대로 벽. 왼쪽에 전자들이 놀고 있고, $0<x<L$에 높은 벽이 세워져 있네요. 물론 일단, 전자들의 에너지 $E<U_0$이라 합시다. 그럼 벽을 넘을 수 없기 때문에 전자가 원래 있는 왼쪽$(x<0)$에만 있어야 할 겁니다. 하지만 #12에서 열심히 풀었듯이, 터널링이 일어나기 때문에 오른쪽$(x>l)$으로 새는 전자들이 있을 거예요. 확률적으로. 잠깐 슈뢰딩거 방정식을 써 보면,
$$\frac{d^2}{dx^2}\psi+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi=0$$
이럴 텐데, $V=0$으로 주어진 구간$(x<0, x>L)$에서는 $\psi$가 사인과 코사인의 형태, $V=U_0>E$인 구간$(0<x<L)$에서는 $\psi$가 지수함수 꼴로 나타난다는 사실을 잠깐 생각해볼 때, 벽의 왼쪽과 오른쪽은 사인과 코사인의 형태, 벽 안에서는 지수함수의 꼴로 $\psi$가 나타나겠네요. 이런 그림처럼요.

벽 안에서 $\psi$가 지수함수 꼴로 감소하죠? 이 지수함수를 적절히 이용하면 전자가 오른쪽으로 샐 확률을 조절할 수가 있겠네요. 오른쪽으로 많이 새도록 하려면 어떻게 하면 될까요? 딱 떠오르는 거. 벽을 좁힙니다. $L$을 줄이면 당연히 $\psi$가 감소하는 구간이 줄어드니 벽의 오른쪽에 전자가 존재할 확률이 더 올라가겠군요.

또 하나 더 있죠. 지수함수가 $e^{-\gamma x}$ 꼴이었죠? (#12) $\gamma$는 $\sqrt{U_0 -E}$에 비례하는 상수였어요. (#11) 이 $\gamma$ 값을 줄이면 지수함수가 느슨해지니까 벽 안에서 $\psi$가 감소하는 양이 줄어들겠군요. $\gamma$를 줄이려면? $U_0$을 줄이면 되겠군요. 벽을 낮춥니다. 밑의 그림은 벽을 좁힌 경우군요. 그림에서 위는 벽이 두꺼워서 오른쪽으로 샐 확률이 거의 없지만, 아래의 경우는 벽이 얇아서 벽의 오른쪽에 존재할 확률이 꽤 되네요.

# Atom-atom Bond

뭔가 거창하지만 원리는 되게 간단한게 원자-원자 결합 시에 작용하는 터널링 효과입니다. 원자핵으로부터 포텐셜이 $V= -\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r}$으로 형성되어 있는 걸 알고 있습니다. 원자번호 어디갔냐고 따지신다면… 수소라고 해 두죠… 삐질.. 두 원자가 랑데뷰를 준비합니다. 적당히 근접한다면 포텐셜이 이런 식으로 형성될 것입니다.

둘의 합이죠. 원칙적으로 두 수소 원자의 전자는 만날 수 없습니다. 자기 원자핵에 구속되어 있기 때문이죠. 그림에 회색으로 표시된 Total Electron Energy에 해당합니다. 핵에 구속된 전자이기 때문에 얘가 가진 에너지로는 원자를 탈출할 수 없습니다. 하지만 이 상태에서도 터널링은 하고 있습니다. 즉, 그림에서 두 원자핵의 중간 부분에도 $\psi$가 존재한다는 것이죠.

두 원자핵이 점점 근접해서 둘 사이 부분의 포텐셜이 계속 낮아진다면 각 원자의 전자들이 더 많이 터널링을 할 것이고, 두 전자는 서로를 “볼” 것입니다. 두 전자의 $\psi$가 서로 중첩되는 거죠. 그렇게 공유결합이 형성됩니다. #07의 마지막에 제시한 그래프처럼, 두 원자핵이 너무 가까워지면 전체 에너지가 높아져 불안정해지기 때문에 적당한 거리를 유지하는데, 그것이 원자핵간 거리 $R$이 될 것입니다.

# Flash Memory

또 짧게 언급할 건 NAND Flash Memory의 가장 기본 cell에 관한 것입니다. 여기서 트랜지스터(MOSFET)의 원리까지 설명할 수는 없으니 단순화시켜서 잠깐 짚고 넘어가겠습니다. 그림을 두 개 놓고 가죠.

포텐셜이 그래프처럼 생긴 걸 구현한 겁니다. 벽으로는 절연막을 쓰죠. 원리는 간단합니다. 일단, 처음에는 벽의 왼쪽편에 전자가 버글버글 있죠. 그리고 그림에 있는 CG(Control Gate)에 전압을 팍 걸면, 그림의 위에서 아래쪽으로 전기장이 걸리면서 전자가 위로 이동하기 쉬운, 벽이 낮아지는 효과가 납니다. CG에 걸린 전압의 크기에 따라 벽을 얼마나 낮출지를 조절할 수 있고, 그 말은 곧, 벽 오른쪽의 우물에 갇히는 전자의 양을 조절할 수 있다는 것이죠. 이것이 쓰기(Writing) 과정입니다. Memory입니다. 그리고, 전압을 없애도, 아래쪽이 절연막이기 때문에 전자는 탈출하지 않습니다. 전압을 없애는 순간 다시 벽이 높아지기 때문이죠.

이 상태에서 이제 아래쪽에 전압을 팍 걸면, 그림의 아래에서 위쪽으로 전기장이 걸리고, 전자가 아래쪽으로 탈출할 수 있는 환경이 만들어집니다. 이렇게 우물에 있는 전자를 비우는 것이 지우기(Erasing) 과정입니다.

우물 안에 얼마의 전자가 갇혀있는지를 읽는(Reading) 과정은 MOSFET의 원리와 약간 연관이 됩니다. 넓게 설명을 하자면… CG 쪽에 Writing이 안 일어날 정도의 약한 전압을 걸면, 그림에서 8.3 이라 적혀있는 저기 있죠? 저기에서 전자가 왼쪽에서 오른쪽으로 흐릅니다. 이 흐름이 우물 안의 전자 갯수에 의해 방해를 받습니다. 즉, 이 전류의 크기를 잰다면 우물에 전자가 얼마나 있는지를 읽어낼 수 있다는 거죠. 

요약하자면, Flash Memory의 한 Cell은 포텐셜 벽의 높이를 조절함으로써 데이터를 쓰고, 읽고 지우고 있는 겁니다. 터널링을 이용해서요~  // 참고

# Closing

터널링을 이용하면 또 할 수 있는 일이 있습니다. 벽을 통과해서 다니는 거죠. 물론, 우리 몸을 원자 / 전자 단위로 분해한 다음에 터널링을 이용해서 벽을 통과하고, 재조립해야되지만요. 어렵지 않네요. 확률은 존재합니다. 언제나 그렇듯이요. 다음 포스팅은 보자…. #09의 프리뷰에 있듯이 Harmonic Oscillator로 넘어가야겠군요… 우물을 쫌 더 할까 고민을 해보고 다음에 봅시다. 2차원 혹은 원통형 우물을 할지도 모르잖아요?