Newbie를 위한 양자역학 14_포텐셜 우물(2D 원통, 3D 직육면체)

# Preview

바로 Harmonic Oscillator로 넘어가기는 좀 아쉽기(?) 때문에 우물을 좀 더 파고 넘어가겠습니다. 2차원 원통과 3차원 직육면체 박스에서 무한 포텐셜의 경우를 살짝 언급하죠. 왜냐하면, 검색어 유입 중에 “3차원 무한 포텐셜”이 있었거든요. 메인 사진은 교수님께서 웃으면서 숙제를 내실 때 강의 자료에 있던 그림입니다.

# 2D Cylindrical Infinite Potential Well

원통형이니까 진짜 우물입니다. 사다코가 갇혀 있는 진짜 우물이죠. 하지만 깊이가 무한이기 때문에 사다코는 탈출하지 못 합니다. 아, 사다코는 영화 ‘링’에 나오는 우물 안에 있는 귀신입니다. 그럼, 사다코가 반지름이 $R$인 우물 안에서 어떠한 확률 분포를 가지고 존재할지 잠깐 봅시다.

그림에서 $z$ 축이 포텐셜임을 확인합시다. 그러니까 3D가 아닌 2D입니다. $x, y$ 방향 말이죠. 이 안에 사다코가 있습니다. 사다코의 확률 분포를 $\psi$라 하면, 사다코는 슈뢰딩거 방정식을 만족시킵니다. 시간에 따라 우물의 깊이가 바뀌지 않는다면 시간비의존성 슈뢰딩거 방정식을 만족시키니까,
$$\nabla^2 \psi+\frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi=0$$
우물 내부에서 포텐셜 $V=0$까지 적용하죠 뭐.
$$\nabla^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0$$
2차원 극좌표계 $r, \phi$를 도입합니다. 극좌표계는 원통좌표계 $r, \phi, z$에서 $z$ 성분만 없애주는 것과 똑같기 때문에 초반(#03)에 고생해서 열심히 구한 걸 대입합니다.
$$\nabla^2 = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \\ \therefore \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial \psi}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} + \frac{2m}{\hbar^2}E\psi =0$$
여기서 해인 $\psi(r, \phi)$가 $r$ 부분과 $\phi$ 부분으로 변수분리된다고 가정을 합니다. 즉, $\psi(r, \phi)=R(r)\Phi(\phi)$로 표현가능하다는 것이고, 이걸 대입하면 이렇게 되겠죠.
$$\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial }{\partial r}R\Phi)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}R\Phi + \frac{2m}{\hbar^2}ER\Phi =0$$
첫 항에서 $\Phi$는 $r$과 관련없으니 편미분을 다 피할 거고, 두 번째 항에서도 마찬가지로 $R$이 편미분을 피하겠죠.
$$\Phi\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial R}{\partial r})+R\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} + \frac{2m}{\hbar^2}ER\Phi =0$$
이제, 전체를 $R \Phi$로 나누고 $r^2$을 곱해줍시다.
$$\frac{r}{R}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial R}{\partial r})+\frac{1}{\Phi}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} + \frac{2m}{\hbar^2}Er^2 =0$$
극좌표계에서 $r, \phi$는 독립적인 변수인데, 식을 보니 1, 3번째 항은 $r$만의 함수이고, 2번째 항은 $\phi$만의 함수네요. 서로 독립적인 변수를 가지는 두 함수를 더해서 0이 되는 건, 각 함수가 결국 상수가 되고, 그것의 합이 0이 되는 경우밖에 없습니다. #08에서 시간 비의존성 슈뢰딩거 방정식을 끌어낼 때처럼요.
$$\text{for r:} ~~~~~\frac{r}{R}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial R}{\partial r}) + \frac{2m}{\hbar^2}Er^2 =E_1 \\ \text{ for $\phi$:} ~~~~~\frac{1}{\Phi}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2} = - E_1$$
자, 갑니다. $r$ 먼저. 저걸 미분을 해서 양변에 $R$을 곱하면 이렇게 됩니다. 급생략
$$r^2 \frac{d^2R}{dr^2}+r\frac{dR}{dr}+(\frac{2mE}{\hbar^2}r^2-E_1)R=0$$
뭔가 이유는 왠지 모르겠지만, 갑자기 $x=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}r=\alpha r$로 치환합니다.
$$x^2 \frac{d^2R(x)}{dx^2}+x\frac{dR(x)}{dx}+(x^2-E_1)R(x)=0$$
이거 어떻게 푸냐고요? 이미 풀어놓았답니다. 공학수학을 배울 때는 몰랐던, 왜 그런 이상한 꼴에 이름까지 붙여놓고 미친 듯이 급수전개해서 푸는지 그 때는 몰랐던… 베셀입니다. 링크한 글에는 $E_1 >0$인 경우만 다루었지만, 변수분리한 식 자체에는 그러한 조건이 없기 때문에 둘 다 생각을 해야합니다. 여기서 $\nu = \sqrt{E_1}$로 생각하죠.
$$\text{$E_1 \geq$ 0 } : ~~~~~ R(r) = CJ_\nu(\alpha r)+DY_\nu (\alpha r) \\ \text{$E_1$< 0 } : ~~~~~ R(r) = CI_\nu(\alpha r)+DK_\nu (\alpha r)$$
각각에 대응하는 $\Phi$도 나오겠죠. $E_1>0$이라면 코사인 사인형태로, $E_1<0$이면 지수형태로요. 여기서 잠깐 생각해봅시다. $\Phi$는 극좌표계에서 각도 $\phi$에 따른 함수입니다. 다시말해, $2\pi$의 주기를 반드시 가지죠. 그렇기 때문에 $\Phi$가 지수함수의 형태라면, 상수함수밖에 될 수가 없습니다. 그럼 변수분리한 식에서 $E_1 =0$이란 조건이 되는군요. 다시 말해서, $E_1 < 0$인 경우의 해가 존재하지 않습니다. 일이 하나 줄었습니다. 또 일의 줄이자면, $Y$는 $x=0$에서 $-\infty$의 값을 가집니다. Normalization을 생각해보자면, $Y$를 해로 가지는 건 불가능하죠. 그럼 결론적으로,
$$E_1 \geq 0, ~~ \psi = CJ_\nu(\alpha r)\cos(\nu\phi+\phi_0)$$
앞서 말했듯이 $\Phi$는 $2\pi$를 주기로 갖습니다. 즉, $\cos (\nu\phi+\phi_0) = \cos (\nu(\phi+2\pi) +\phi_0)$가 모든 $\phi$에 대해 성립하므로 $\nu$는 정수입니다. $\nu=\sqrt{E_1}$이니까 음이 아닌 정수겠네요. 경계조건은 뭐죠? $r=R$에서 $\psi=0$이 된다는 거죠? 무한 포텐셜이니까요. 다시 말해서 $R(r=R)=0$이니까 $J_\nu(\alpha R)=0$이 되겠군요. 이 조건으로부터 $\alpha$의 값이 정해지고, $E$가 양자화됩니다. 저기 베셀 설명하는 데서 링크한 포스팅에 들어가면 알 수 있듯이, 베셀은 꼴이 참 복잡하기 때문에 양자화 조건을 깔끔하게 적긴 어렵습니다… 참고로 위키피디아에 들어가보면 J=0이 되는 해가 어디쯤 있는지는 알 수 있습니다. 어쨌든 해는 이 정도까지 구하죠. 아, $C$는 $\psi$를 전구간, 즉, $0<r<R, 0<\phi<2\pi$에서 적분한 것이 1이다는 Normalization으로 구할 수 있습니다.

#3D Cube Infinite Potential Well

원통은 저까지만 하고, 직육면체로 가 봅시다. 사실 여기가 저기보다 2.3배 정도 쉽습니다. 제가 1D Well을 풀 때 길이를 $-a<x<a$로 잡았으니, 이번 직육면체는 $-a<x<a, -b<y<b, -c<z<c$라고 합시다. “아래 그림과 같은 직육면체가 있습니다”라고 그림으로 안 때우고 말로 때우는 건 그림을 그리기 싫기 때문입니다. (당당) 하지만 슈뢰딩거 방정식은 다른 방법으로 때울 수가 없습니다.
$$\nabla ^2 \psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\psi =0$$
마찬가지로 직육면체 내부에서 $V=0$이고, 카테시안 좌표계에서 라플라시안은 단순히 이렇게 나타낼 수 있으니까,
$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E\psi=0$$
원통 때와 마찬가지로 $\psi$가 변수분리된다고 가정합니다. 하지만 원통 때와 마찬가지로 생고생을 하진 않습니다.
$$\psi(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) \\ YZ\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+XZ\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}+XY\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}+\frac{2m}{\hbar^2}EXYZ=0 \\ \therefore \frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial z^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E=0$$
이것도 마찬가지로 아까처럼 $X$만의 함수, $Y$만의 함수, $Z$만의 함수이므로 각각 다 상수다라는 논리를 성립시킵니다. 이번에는 약간 다른 식으로 이걸 표현해봅시다.
$$\begin{cases} \frac{1}{X}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E_x=0 \\ \frac{1}{Y}\frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E_y=0 \\ \frac{1}{Z}\frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}+\frac{2m}{\hbar^2}E_z=0 \end{cases}$$
세 식을 더하면 위의 식이 되는거죠. 다시 말해서 전체 에너지 $E=E_x+E_y+E_z$. 이항을 해 보면
$$\begin{cases} \frac{\partial^2 X}{\partial x^2}+\alpha_x X=0 \\ \frac{\partial^2 Y}{\partial x^2}+\alpha_y Y=0 \\ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2}+\alpha_z Z=0 \end{cases}$$
1차원 무한 포텐셜의 경우가 똑같이 3개 있는 경우입니다. #10에서 해와 에너지를 열심히 구했습니다. 해는 경계조건에 따라서 사인과 코사인이 번갈아가면서 나오고, 에너지는 이렇게 나왔습니다. 세 방향 다 써 보면,
$$E_x=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8m}\frac{n_x^2}{a^2} \\ E_y=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8m}\frac{n_y^2}{b^2} \\ E_z=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8m}\frac{n_z^2}{c^2}$$
세 개의 $n$은 모두 자연수입니다. 이게 왜 자연수가 되어야하는지는 #10에 설명이 있지요. 결국 경계조건 얘기지만요. 어쨌든 그러면 전체 에너지는 이렇군요.
$$E=E_x+E_y+E_z = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8m}(\frac{n_x^2}{a^2}+\frac{n_y^2}{b^2}+\frac{n_z^2}{c^2})$$
만약에 정육면체라면, $E=\frac{\pi^2 \hbar^2}{8ma^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$이 되겠죠. $(n_x, n_y, n_z)$가 (1, 1, 1)인 경우가 가장 안정한 경우가 되겠네요. 그 다음 에너지는 어떤 상태에서 나올까요? (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2)가 모두 같은 에너지를 나타냅니다. 이렇게, 같은 에너지를 나타내지만 서로 다른 $\psi$를 가지는 경우, 축퇴되었다, degenerated라고 얘기합니다. 이건 수소할 때 많이 나오니 그 때 한 번 더 할게요.

# Closing

이제 Harmonic Oscillator를 들어가보겠습니다. 용수철에 달린 것입니다. 그리고, 오늘 원통을 풀면서 느낀 점이 있다면, 사다코에게 관심을 가지면 안 된다는 거 정도군요. 만약, 실제 (높이가 유한한) 우물에서 탈출, 즉 터널링하는 것에 관심이 있다면… 해 보세요!