Newbie를 위한 양자역학 16_ 조화진동자_사다리 연산자

조화진동자(대수적 기법)

시작하기에 앞서

안녕하세요! “Newbie를 위한 양자역학” 포스팅이 돌아왔습니다. 2015년 12월 30일 이후로 한동안 휴재되었는데, 이전에 포스팅을 담당하셨던 김주환 선배를 대신해서 제가 새롭게 맡게 되었습니다.
아차, 자기소개부터 해야겠군요 ㅎㅎ 저는 서울대학교 원자핵공학과 3학년에 재학중인 김진수라고 합니다!(짝짝짝)
한번쯤은 이렇게 학술관련 포스팅을 해보고 싶었는데 다른 분들 말씀을 듣다보면 포스팅을 꾸준히 이어나가는게 굉장히 어렵다고 하더군요… 그래서 할까 말까 많이 망설였는데 해보지도 않고 나중에 ‘그때 왜 하지 않았을까’ 후회할 것 같아서 이번에 큰 맘 먹고 하게 되었습니다.
제가 끝까지 포스팅을 완료할 수 있을지 정말 고민되기도 합니다만…끝까지 잘 할 수 있을 거라 믿습니다 ㅎㅎ

연재 방향

사실 제가 포스팅을 시작하게 된 계기 중에는 학부 졸업 후 2년이라는 기간동안 제가 학업과 잠시 거리를 두고(군대를 갑니다 ㅠ) 있을터라 미래의 제가 다시 공부를 시작하게 되었을 때, 이 글들을 보며 도움이 되었으면 하는 바람도 있습니다.
하지만 걱정하지 마세요! 양자역학은 몇 번을 공부해보아도 여전히 어렵습니다. 초심자나 한번 공부해본 사람이나 다를게 없습니다.
정말입니다…저는 3번을 보고, 또 4번을 보는데도 항상 똑같이 어려웠습니다ㅠㅠ 심지어 2년간 군대를 갔다온 미래의 저는 여러분보다 더
어렵게 느낄 거라 자신합니다. 그렇기에 이전 포스팅에 비해 어려워지지 않을까 하는 염려는 하지 않으셔도 될 겁니다. ㅎㅎ

저는 Griffiths 아저씨가 쓴 양자역학(고양이 책이에요^^)을 가지고 진도를 나갈 거에요. 이 책이 초심자가 접하기에는 난이도가 높다는 평도 있지만 제가 적절히 내용을 정리해서 올릴 예정입니다. 그리고 포스팅 마지막에 종종 연습문제와 풀이를 올려줄 생각이에요. 물론 출처는 밝혀놓고요. 이게 내용만 설명하는 것보다 나은 것 같아요. 문제나 예제에 다양한 현상들을 해석해놓은게 정말 많거든요.

사실, 조화진동자 이후로부터는 브라켓 기호, 푸리에 급수, 베셀/르장드르 함수, 에어리 함수, 글고 헬름홀츠 방정식 등등
공대에서도 접하기 어려운 기이한 수식들을 많이 보게 될 거에요. 그래서 수학 부분만 따로 포스팅을 해야 할지도 몰라요.
너무 책임감 없게 말하는 것 같아서 정말 죄송하지만 ㅠㅠ 양자역학은 수소원자 모형 이후부터가 진짜 헬입니다…

서론이 너무 길었는데…음.. 암튼 이제 마저 하지 못했던 부분을 하도록 하죠 ㅎㅎ 모두들 화이팅 합시다!

---

#조화진동자의 대수적 풀이

---

앞서 조화진동자의 헤밀토니안이

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi + \frac{1}{2}mw^2x^2\psi=H\psi$$

이렇게 주어지는 것까지 정리되었죠? 그렇다면 우리가 해야 할 일은 이 헤밀토니안에 대해 고유함수 $\psi$를 푸는 겁니다.

그런데…어떻게…?

사실, 우직하게 푸는 급수 풀이법이 있기도 해요. 하지만 저는 좀 더 간결하고 쓸모 있는 방법을 설명하고자 해요.
먼저 헤밀토니안을 좀 더 편한 형태로 만들어보자구요. 왜냐구요? 일단 결과를 보고 설명을 할게요 ㅎㅎ

$$\frac{1}{2m}[p^2+(mwx)^2]\psi = E\psi$$

여기서 $$p^2$$ 은 운동량의 제곱이 아니라 운동량 연산자를 2번 적용한 거라고 생각합시다. 그러니 $$p^2= -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$$
을 나타낸다고 아셔야 합니다!

우리가 $$x^2+y^2$$ 이 $$(x+yi)(x-yi)$$ 로 정리된다는 사실을 알고 있으면 저 식도 뭔가 두 개의 복합연산자의 곱으로 나타내려고 시도해볼겁니다.
그렇치만 쉽지가 않죠…왜냐면 운동량 연산자는 1차원 위치 변수 $x$랑 곱에 대해서 교환이 불가능하거든요.

예를 들어서, 어떤 함수 $f(x)$에 대해서 $\hat{p}$와 $x$를 교환곱을 하게 되면
$$\hat{p}xf(x)$$ 는 $$x\hat{p}f(x)+\frac{\hbar}{i}f(x)$$ 가 되어서 $$x\hat{p}f(x)$$ 와 같다고 볼 수 없지요.

한 가지 알 수 있는 점은, $$[x,\hat{p}]\equiv x\hat{p}-\hat{p}x$$ 라고 정의한다면 $$[x,\hat{p}]\psi=i\hbar\psi$$ 가 된다는 것이에요.

이 교환자를 이용하면 $$[p^2+(mwx)^2]\psi$$ 를 $$(-i\hat{p}+mwx)(i\hat{p}+mwx)\psi-imw[x,\hat{p}]\psi$$ 로 취급할 수 있지요.

좀 더 간결한 표현을 위해서 새로운 연산자를 정의해봅시다.

$$a_+\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(-i\hat{p}+mwx)$$
$$a_-\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(i\hat{p}+mwx)$$

$a_+$ 을 이제부터 올림연산자, $a_-$는 내림연산자라고 부르겠습니다. 올림연산자와 내림연산자의 곱을 이용하면 조화진동자의 헤밀토니안 $$[p^2+(mwx)^2]\psi$$ 를
$$a_+ a_- + \frac{1}{2}=\frac{\hat{H}}{\hbar w}$$ 이거나
$$a_- a_+ - \frac{1}{2}=\frac{\hat{H}}{\hbar w}$$ 가 됨을 알 수 있습니다.

올림연산자, 내림연산자를 이용하면 조화진동자의 슈뢰딩거 방정식은 간결하게
$$\hbar w (a_\pm a_\mp \pm \frac{1}{2})=E\psi$$ 가 된다는 것을 알 수 있습니다.
음..! 올림연산자와 내림연산자를 쓰니까 간결해지는 것은 알겠는데, 굳이 이런 연산자들을 쓸 필요가 있을까 의문이 들 것입니다.
조화진동자의 슈뢰딩거 방정식을 풀면 나올 수 있는 다양한 해들은 결국 에너지가 양자화된 상태로 주어지게 됩니다. 그렇다면 여러분은
대략적으로 $\hbar w$의 정수배로 나오지 않을까 추측해볼 수 있습니다. 그렇다면 각각의 양자수 $n$에 대해서 같은 해를 가질까요?
당연히 아니겠죠? 연산자의 고유함수는 겹친 상태가 아닌 이상에는 같은 고유값을 가질 수 없으니까요. 그렇다면 그 많은 해들을 어떻게 구할 수 있을까요?
올림연산자와 내림연산자는 뒤에서 알게 되겠지만 우리가 하나의 조화진동자 해를 알 수 있다면, 그 해의 에너지(고유값)보다 높은 상태와 낮은 상태의 새로운
해들을 구할 수 있게 해줍니다. 정성적인 설명만으로는 부족하니 수식으로 관찰해보도록 합시다.

#사다리 연산자의 응용

$$a_+\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(-i\hat{p}+mwx)$$
$$a_-\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(i\hat{p}+mwx)$$ 가 어떤 역할을 하는지 알아봅시다.

조화진동자의 임의의 해 $\psi$가 주어졌을 때, $a_+\psi$를 생각해봅시다. 앞에서 이야기했지만 사다리연산자는 이전이나 다음 상태의 해를 알 수 있게 해준다고 했죠?
한번 확인해봅시다. 만일 우리가 $a_+\psi$의 에너지 상태를 구하기 위해 $\hat{H}(a_+\psi)$를 취해봅시다.

$\hat{H}(a_+\psi)=\hbar w(a_+a_- +\frac{1}{2})(a_+\psi)$
$=\hbar w(a_+a_- a_+\psi+\frac{1}{2}a_+\psi)$
$=\hbar w(a_+(\frac{\hat{H}}{\hbar w} +\frac{1}{2})\psi +\frac{1}{2}a_+\psi)$
$=\hbar wa_+(E+\hbar w)\psi=(E+\hbar w)a_+\psi$

$\psi$ 상태에서 측정한 에너지보다 $\hbar w$만큼 큰 새로운 에너지 상태가 나오게 되었네요. 조화진동자의 헤밀토니안은
각각의 상태에 대해서 하나의 에너지(고유값)가 대응된다는 사실을 앞에서 언급했었죠? 그렇다면 우리는 $\psi$가 n번째 조화진동자의 상태라고 주어졌다면, $a_+\psi$는 n+1번째 상태에 대응된다는 것을 알 수 있습니다. 결국 올림연산자는 기존의 상태함수로 하여끔 보다 들뜬 상태함수 값을 내준다는 것을 알 수 있습니다. 내림연산자도 동일한 방법을 적용시키면 $\hbar w$만큼 에너지가 내려간 상태가 되겠죠?

일반화 시키자면 다음과 같습니다.

$a_+\psi_n=c_n\psi_{n+1}$

여기서 $c_n$은 올림연산자 후 나오는 비례상수라고 생각하시면 됩니다. 자! 어때요? 연산자를 적용할수록 일정한 크기의 사다리를 오르는 것처럼 에너지 준위가 증가하지요?

그런데 문제가 있습니다. 임의의 상태 $\psi_m$ 한 개만 알더라도 모든 에너지 준위에서의 고유함수를 알 수 있을텐데, 그 한 개의 고유함수를 어떻게 구할까요?
그 전에 내림연산자라는 녀석에 대해 좀 더 논의해보고자 합니다.

우리는 앞에서 내림연산자가 $\psi_n$의 에너지 준위를 한 단계 낮춘다는 것을 알고 있습니다. 하지만 수 없이 내려가다보면 더 이상 에너지가 내려갈 수 없겠죠?
조화진동자 계의 에너지 $E=T+V$가 절대 음수가 될 수 없을테니까요. 에너지가 음수가 되면 퍼텐셜 에너지보다 더 낮아지게 되서 $E<V(x)$가 될 것입니다.

그렇다면 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi + V(x)\psi=E\psi$$ 는 $\psi$에 대한 미분 방정식 $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi=k^2\psi,k^2=\frac{2m(V(x)-E)}{\hbar^2}$$
이 되어 발산해를 갖게 될테니까요. 고유함수가 발산해를 갖게 되면 공간에 대해 적분했을 때 유한한 값이 나올 수 없으니 물리적으로 불가능한 해가 됩니다.

자! 그러면 조화진동자가 최소로 가질 수 있는 에너지 상태에서 고유함수를$\psi_0$라고 한다면, $a_-\psi_0$는 0이 되어야 한다는 것을 알 수 있습니다.
$$(i\hat{p}+mwx)\psi_0=0$$ 을 풀어보게 되면 $\frac{d}{dx}\psi_0=-\frac{mwx}{\hbar}\psi_0$이 되겠고 이 해는 $$\psi_0=\sqrt[4]{\frac{mw}{\pi\hbar}}exp(-\frac{mwx^2}{2\hbar})$$ 가 됩니다.

이 해는 에너지 준위가 가장 낮은 바닥상태에서의 조화진동자의 해라고 볼 수 있습니다. 실제로 이 해에 헤밀토니안을 적용하면 $E_0=\frac{1}{2}\hbar w$로 바닥상태의 에너지가 0이 아님을 알 수 있지요.
그렇다면 n번째 에너지 준위를 갖는 조화진동자의 해에 대해서는 에너지 준위가 $$E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar w$$ 가 된다는 것을 알 수 있겠죠?

가장 기본적인 해를 알았으니 원하는 상태에서의 해를 얻고 싶으면 올림연산자를 여러 번 적용시키기만 하면 되겠죠? 그런데 아직 해야 할 일이 남았어요 ㅎㅎㅎㅎ $$a_+\psi_n=c_n\psi_{n+1}$$
앞에서 다루었던 관계식에서 $c_n$을 아직 정해주지 못했잖아요? 이제부터 규격화를 통해 정해주자구요! 규격화 과정에서 켤레복소수의 형태로 변환하게 될 텐데 이때 연산자의 변환을 유의하셔야 합니다.

$\int (a_+\psi_n)^*(a_+\psi_n)dx=\int a_-a_+\psi_n^*\psi_n dx=\int (\frac{\hat{H}}{\hbar w}+\frac{1}{2})\psi^*\psi dx={c_n}^2$
결과적으로 다음을 얻을 수 있습니다. $$n+1={c_n}^2$$ 좌변은 올림연산자를 적용한 고유함수의 규격화를 나타내고 우변은 다음 상태의 고유함수의 규격화를 나타냅니다. 정리하자면
$$\psi_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}a_+\psi_n$$ 를 갖게 되고 결국 일반적인 해로 표현하자면 $$\psi_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)!}}a_+^{n+1}\psi_0$$ 가 되지요.

정리하자면 다음과 같습니다.

-사다리 연산자

$$a_+\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(-i\hat{p}+mwx)$$
$$a_-\equiv \frac{1}{\sqrt{2\hbar mw}}(i\hat{p}+mwx)$$

-조화진동자의 해

$$\psi_0=\sqrt[4]{\frac{mw}{\pi\hbar}}\exp{-\frac{mwx^2}{2\hbar}}$$
$$\psi_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}a_+\psi_n$$
$$\psi_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{(n+1)!}}a_+^{n+1}\psi_0$$

-조화진동자의 에너지
$$E_n=(n+\frac{1}{2})\hbar w$$

조화진동자의 특징

직교성

조화진동자의 마지막 부분이네요. 우리는 지금까지 조화진동자의 일반적인 해를 구하기 위해 사다리 연산자를 도입했고 이로부터 조화진동자의 에너지가 정수배로 나누어져 있다는 것을 알게 되었지요.
그리고 조화진동자는 에너지 준위에 따라 각기 다른 고유상태를 갖는다는 것도 알게 되었고요. 하지만 실제 조화진동자는 측정을 하기 전까지 어떤 특정한 상태로 결정되지 않고 여러 상태가 공존할 수 있다는 것을 잊지 말아야 합니다. 그러니까 얼마의 확률로 어떤 상태로 존재한다…이런 식으로 말이죠.

이를 수식으로 나타내면,
$$\Psi(x,t)=\Sigma \psi_n(x) exp(\frac{-iE_nt}{w})$$ 로 표현할 수 있죠.

하지만 이런 선형결합으로 표현되기 위해서는 $\psi_n$의 직교성이 성립해야 합니다. 직교성이 성립하는지 한번 확인해볼까요?

$$\int \psi_n^*\psi_m dx = \int \frac{1}{\sqrt{n!m!}}(a_+^n\psi_0)^*(a_+^m\psi_0)dx=\int \frac{1}{\sqrt{n!m!}}\psi_0^* a_-^na_+^m\psi_0 dx$$

만약에 n과 m이 서로 다른 자연수라면, 뭐…가정으로 n이 더 큰 수라고 합시다. 그렇다면 $a_-^na_+^m\psi_0$는 결국 0이 되어
내적값 또한 0이 된다는 사실을 알 수 있습니다. 결국 서로 다른 상태의 고유함수들은 직교성이 성립하는군요. 그렇다면 선형결합으로 나타내어도 문제가 없겠어요.

조화진동자의 운동에너지와 퍼텐셜에너지

양자역학에서 어떤 상태에 존재하는 입자의 물리적 측정값을 잰다는 것은 사실 확률 평균을 구하는 것과 같아요.
그래서 어떤 n번째 들뜬 상태의 조화진동자의 에너지를 측정하면 $$\int \psi_n^*\hat{H}\psi_n dx$$ 의 형태로 주어지게 되죠.

여러분이 기억하실지 모르겠지만, 우리가 고전역학을 배우다보면 용수철 달린 1차원 조화진동자 문제의 운동에너지와 퍼텐셜에너지는 서로 합이 보존되었죠?
양자역학도 근본적으로 에너지 보존 법칙을 전제조건으로 하기 때문에 양자역학의 조화진동자 문제에서도 에너지는 보존될 거에요.

그렇다면 만일, 어떤 임의의 시각에서 1차원 조화진동자의 운동에너지나 퍼텐셜 에너지를 측정하면 어떻게 될까요? 시간에 따라 변할지 한번 알아봅시다.

어떤 n번째 들뜬 상태에 존재하는 조화진동자에 대해서 운동에너지의 평균값(=측정값)은 $$\int \psi_n^*\frac{p^2}{2m}\psi_n dx=\int -\frac{1}{4}\hbar w\psi_n^*(a_+-a_-)^2\psi_n dx$$
가 되지요. 사실 올림연산자나 내림연산자는 상태가 다른 고유함수를 내놓기 때문에 직교성에 의해 0으로 무시할 수 있습니다.
결국 저 식은 $$\frac{1}{2}\int \psi_n^*\hat{H}\psi_n dx = \frac{1}{2}E_n$$ 로 정확히 총 에너지의 절반이 됨을 알 수 있습니다.

사실 시간 항의 경우 $exp(-\frac{iE_nt}{\hbar})$ 항만 추가해보면, 켤레복소수와 상쇄되어 시간에 무관하게 총 에너지의 절반이 된다는 것을 알 수 있어요.
퍼텐셜 에너지의 경우에도 이 방법과 유사하게 구해보면 마찬가지의 결과를 구할 수 있습니다.

사실 양자역학의 조화진동자와 고전역학의 조화진동자는 생각보다 큰 차이가 있다는 것을 알 수 있어요.
고전역학에서는 총에너지 E를 넘어선 영역까지 용수철이 늘어날 수 없어서 항상 최대 진폭 범위 내에서만 물체가 움직이죠?
그리고 용수철의 변위가 0인 지점에서 운동에너지가 최대가 될테고…속력이 가장 빠르기도 하니까 중심 부근에 물체가 있을 확률은
최소가 되죠. 오히려 최대 진폭일 때 물체가 정지해 있으니 관측자는 물체가 최대 진폭에 있을 때의 물체를 더 많이 바라볼 수 있을 거에요.

하지만 양자역학에서는 반대의 결과가 된다는 것을 알 수 있어요. 심지어 총에너지가 E를 넘어선 부근에서도 입자의 관측확률이 존재한다는 것을 알 수 있지요.

하이젠베르크의 불확정성 원리 기억하시나요? 변위의 표준편차와 운동량의 표준편차의 곱은 항상 플랑크 상수의 $\frac{1}{4\pi}$배보다 커야 한다는 거죠.
미시적인 관점에서 한번 봐봅시다. 어차피 중심에서는 운동에너지가 최대이다보니 운동량도 클 것입니다. 그렇다면 정지된 물체에 비해서 운동량의 표준편차가 클 것이고
이것은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 의해서 변위의 표준편차가 그만큼 작아지게 됩니다. 그러면 어떻겠어요? 관측을 했는데 운동량의 불확정성이 커질수록 위치의 불확정성은
작아지니까, 중심에서 관측할 확률이 높아지는거죠. 가장자리에서는 총 에너지보다 높은 퍼텐셜 구간에서도 입자가 존재할 수 있다는 것은 터널링 효과에서
좀 더 구체적으로 알 수 있을 것입니다.

#마치면서

지금까지 조화진동자의 대수적 풀이법을 이용해 조화진동자의 여러 특징들에 대해 알아보았습니다. 사다리연산자가 익숙치 않을텐데 정말 쓸만한 아이디어이니 잘 숙지해주시기 바랍니다 ㅎㅎ 다음에는 양자역학을 공부하는데 좀 더 맛깔나게 쓸 수 있는 표기법과 몇몇 유용한 정리에 대해서 다루어보도록 할게요!