Newbie를 위한 양자역학 17_양자역학의 기초 체계_part1

# 양자역학의 기본 체계

이번에는 양자역학을 기술하는데 필요로 하는 기초적인 부분에 대해 다루어 볼까 합니다. 사실 양자역학을 공부하면서 어려움을 느꼈던 부분 중에 하나가 힐버트 공간이니 헤르미트 연산자니…선형대수에서나 배울법한 내용들이 쏟아져 나온다는 건데, 특히나 처음 배우는 동안에는 제가 많이 애를 먹었던 것 같습니다. 물론 지금도 어렵지만요…또륵..음 암튼 각설하고 이번 포스팅에서는 이를 확장해서 양자역학에서 다루는 기본적인 선형대수와 연산자, 결정된 상태, 그리고 여러 유용한 정리나 내용들에 대해서 설명하고자 합니다.

# 벡터와 행렬

뜬금없이 왜 벡터와 행렬을 다룰까 생각하시는 분들도 많을텐데, 사실 우리가 대표적으로 아는 파동함수들은 지금까지 어떤 변수에 대한 함수로만 취급했잖아요? 이를 좀 더 일반적인 경우에 대해 다루고자 벡터로 표현하는 방법을 선택했다고 생각하시면 되겠습니다. 아마 포스팅을 진행하다보면 처음으로 열벡터 형태의 상태함수를 쓰게 될텐데요. 네! 맞아요 이미 아시는 분들도 있겠지만 수소 원자 모형의 스핀부터는 열벡터의 형태로 표현을 하게 되요. 보다 산술을 추상화시킬 수 있다는 점에서 쓰이기 용이하다…이 정도로 생각하시고 받아들이면 편할 것 같네요.

즉, 벡터는 양자역학에서 파동함수를 기술하기 위한 녀석 쯤 된다….이렇게 정리하죠.

자, 이제 우리는 벡터를 다음과 같이 표기하고자 합니다. $$|\alpha>=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}$$

이렇게 쓰는 방식을 브라켓 표기법이라고 생각하시면 됩니다. 만약 벡터끼리의 내적을 하고 싶다면, 이 열벡터를 행벡터로 바꾸어야겠죠?

$$<\alpha|=(a_1^*,a_1^*,....,a_n^*)$$ 복소수를 포함하는 범위에서는 각 원소마다 켤레복소수의 형태로 만들어주면 됩니다.

이를 통해 내적은 $$<\alpha | \alpha>=(a_1^*,a_1^*,....,a_n^*)*\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} =a_1^*a_1+a_2^*a_2+...+a_n^*a_n$$ 이 되겠지요.

물론 이런 내적 이전에도 $|\alpha>$라는 녀석은 벡터로서 만족하는 결합법칙, 스칼라곱, 영 벡터와 역 벡터($|-\alpha>$)의 존재성도 보여야하지만, 지금은 선형대수에 대해 자세히 알아볼 필요는 없고 단지 잘 쓰기만 하면 되니까..ㅎㅎ 그냥 넘어가도록 하겠습니다.
혹시 더 궁금한 부분이 있다면 ‘나누고 쌓는 벡터 미적분학’의 matrices and determinants 부분을 참고하세요!

자, 이제 본론으로 돌아가서 양자역학에서는 결국 상태함수를 벡터라는 녀석을 통해 표현하고자 합니다. 그런데 이 벡터들은 다음의 조건들을 만족해야합니다.

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조건 1. 규격화
양자역학에서는 어떤 함수가 규격화되어 있어 자기 자신을 내적하면 유한한 값을 가져야 합니다. 여기서는 상태함수, 즉 자기 자신을 내적하면 확률을 의미하기 때문에 내적후 적분 값이 1이 되어야겠네요. $$\int \Psi*\Psi dx=1$$
이러한 조건이 만족되는 공간을 힐버트 공간이라고 합니다. 그리고 우리가 주로 다루게 될 대부분의 상태함수들은 힐버트 공간에 존재한다고 할 수 있습니다.
그리고 이 표현을 브라켓 표기법으로 쓴다면 $<\Psi|\Psi>=1$이라고 쓸 수 있겠네요.
한가지 유의할 점은 서로 다른 두 상태 $f$,$g$에 대해서 $<f|g>$는 복소수의 형태로 나올 수 있을텐데, 내적의 순서를 바꾼 $$<g|f>$$ 는 $$<f|g>^*$$ 즉 켤레 복소수의 형태로 표현될 수 있습니다. 그러나 자기 자신을 내적한 녀석은 무조건 실수이며 0보다 작을 수 없는 양수가 됩니다.
0이 될 수 있는 경우는 자기 자신이 0인 경우에만 가능하다고 생각합시다. 물론 수학적으로 엄밀하게 따져보았을 때, 예외적인 경우도 있을 수 있지만 우리는 수학이 아니라 물리를 하는 거니까 이런거에 너무 엄격해지지는 말자구요 하하핫

조건 2. 직교성

어떤 파동함수들의 모임이 있다고 생각합시다. 여기서 자기 자신을 내적했을 때는 1이 되지만, 서로 다른 함수들끼리 내적했을 때 0이 된다면 두 함수는 직교(Orthogonal)하다고 합니다. 그리고 직교하는 규격화된 함수들의 집합을 정규직교 집합이라고 합니다.

조건 3. 완전성

만일에 힐버트 공간 상에 존재하는 상태함수들이 존재하는데, 모든 함수들이 그 공간 상에 존재하는 기저함수들의 선형 합으로 나타낼수 있다면 이는 완전하다고 할 수 있습니다. 그래서 어떤 임의의 상태함수가 $f=\Sigma c_nf_n$로 표현되며, $<f_i|f_j>=\delta_{ij}$를 만족하면 $f_n$은 기저상태이고, 이 집합은 완전하다고 할 수 있습니다.

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이 세가지 조건을 만족할 때, 우리는 어떤 임의의 상태를 힐버트 공간 내의 정규직교집합에 포함된 상태함수들의 선형결합으로 자유롭게 표현할 수 있습니다.
그런데 여기서, 입자의 관측량(에너지나 운동량, 위치 등)을 알고 싶다면 어떻게 해야할까요?

바로 관측량을 호출하는 연산자를 상태함수에 적용하는 것입니다. 그러니까 이렇게 말이죠 $$\hat{Q}\Psi$$
앞에서 우리가 배운 운동량 연산자처럼, 다양한 연산자를 상태함수에 적용하면 상태함수가 나타내는 입자의 관측가능한 물리량을 알 수 있습니다. 그리고 이 물리량의 기대값을 다음과 같이 정의하죠. $$\int \Psi\hat{Q}\Psi dx=<\Psi|\hat{Q}\Psi>$$
만약 어떤 물리량을 측정했는데 허수가 나온다면 물리적으로 해석이 불가능하겠죠? 그래서 보통은 물리량이 실수여야 합니다.

그래서 관측가능한 물리량의 기대값은 실수여야하며 켤레복소수를 취해도 같은 값을 가져야 합니다.
$$<Q>=<\Psi|\hat{Q}\Psi>=<\hat{Q}\Psi|\Psi>=<Q>^*$$
모든 연산자가 저 조건을 만족하지는 않겠죠? 저 조건을 만족하는 연산자를 수학적 용어로 헤르미트 연산자(Hermitian operatior)라고
좀 더 멋있게 부른답니다.(그런데 읽을때는 허미시안이라고 읽네요) 헤르미트 연산자에 관한 더욱 자세한 내용들은 ‘Newbie를 위한 양자역학’ 05 강의록을 살펴보세요!

#결정된 상태

앞에서 우리는 관측가능한 물리량은 헤르미트 연산자여야 한다는 사실에 대해서 배웠습니다. 그렇지만 매번 같은 방법으로 관측하더라도 항상 동일한 물리량을 측정하는게 가능할까요? 하이젠베르크의 불확정성 원리를 생각하면 오차범위가 발생할 수 있을테니까요.

하지만 어떤 물리량에 대해서 언제나 같은 측정값이 나오는 상태가 존재하기도 합니다. 그 상태를 결정된 상태라고 하죠.

보통 우리가 풀었던 무한 퍼텐셜 우물 같은 문제는 어떤 n번째 상태에서 매번 같은 에너지 값을 갖죠? 그래서 무한 퍼텐셜 우물에서의 상태함수는 헤밀토니안에 대해 결정된 상태라고 할 수 있습니다. 물론 어느 한 값이 결정되어 표준편차가 없다면 호환되지 않는 다른 측정량의 표준편차는 어마어마하게 커질 수밖에요..

결정된 상태에 대해서는 다시 말하지만 측정 시 표준편차는 0입니다. $$\sigma^2=<(\hat{Q}-<Q>)^2>=<\Psi|(\hat{Q}-<Q>)^2\Psi>$$
$$=<(\hat{Q}-<Q>)\Psi|(\hat{Q}-<Q>)\Psi>=0$$ 연산자 Q가 헤르미트 연산자고, 도 어떻게 보면 상수항을 곱하는 헤르미트 연산자다보니 $\hat{Q}-<Q>$도 헤르미트 연산자가 되죠. 아까전에 규격화를 이야기하면서 자기자신을 내적했는데 0이 된다면 그 함수는 0이라고 이야기 했었죠?
그러니까 $(\hat{Q}-<Q>)\Psi$라는 함수가 0이 되기 위해선 $$\hat{Q}\Psi=<Q>\Psi=q\Psi$$ 가 되야 한다는 것을 알 수 있습니다.
이 식을 고유치 방정식이라고 하는데 이 연산자에 대해 위의 관계를 만족하는 상태함수를 연산자 Q의 고유함수, 그리고 q를 고유치라고 부릅니다. 무한퍼텐셜 우물에서 헤밀토니안에 대해 우리가 구했었던 사인 형태의 상태함수들이 바로 헤밀토니안의 고유함수가 되고 이때 구했던 양자수 n에 대한 에너지 준위들은 헤밀토니안에 대한 고유치라고 할 수 있겠네요.

어떤 연산자에 대해 고유함수가 하나일리는 없겠죠? 무한퍼텐셜 우물에서는 n 양자수에 따라 상태함수가 다양하게 나왔으니까요. 연산자에 대해 가질 수 있는 고유치의 집합을 스펙트럼이라고 칭하게 됩니다. 보통은 고유치가 겹칠 일은 없겠지만 가끔씩 고유치가 겹치는 경우도 있는데 이때 두 상태를 겹침상태라고 하죠(근데 이거 진짜 끔찍해요. 엥간하면 안겹쳤으면 좋겠어요 ㅠㅠ)

저희는 겹친 상태에 대해서는 다루지 않고(ㅎㅎ 양해바랍니다…) 겹치지 않은 상태에 대해서만 다루어보도록 하겠습니다…

겹치지 않은 결정된 상태의 연산자들 중에 예시로 이런 것을 생각해봅시다.

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$$\hat{Q}\psi \equiv i\frac{d\psi}{d\phi}$$

이런 연산자는 나중에 다루게 될테지만 어떤 전자-원자 모형의 z 방향(즉 자기장이 걸린 방향과 평행한 방향)의 각운동량 연산자입니다.
극좌표의 각성분이다보니 구면좌표계에 대해서 생각해보면 $2\pi$만큼 회전했을 때 제자리로 돌아와야되지요? 그래서 이 연산자에 대한 고유함수 $\psi$는 주기함수임을 알 수 있죠. 헤르미트 연산자인지부터 확인을 해볼게요.
$$<\psi|\hat{Q}\psi>=\int \psi^* i\frac{d\psi}{d\phi} d\phi= i\psi^*\psi - \int i\frac{d\psi^*}{d\phi}\psi d\phi = \int (i\frac{d\psi}{d\phi})^*\psi d\phi$$ 가 되며 $$<\psi|\hat{Q}\psi>=<\hat{Q}\psi|\psi>$$ 임으로 헤르미트 연산자라는 것을 알 수 있습니다.
고유치 방정식을 풀어볼까요? $$i\frac{d\psi(\phi)}{d\phi}=q\psi(\phi)$$
의 해는 자연스럽게 $\psi(\phi)=Aexp(-iq\phi)$가 되며, $2\pi$ 의 주기성을 갖기 위해선 q는$0,\pm 1,\pm 2,...$의 정수가 되어야 하죠.
그래서 이 연산자는 정수를 고유치로 갖는 겹쳐있지 않은 스펙트럼이라는 것을 알 수 있습니다.

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스펙트럼이 겹쳐있는 경우아 겹쳐있지 않는 경우로 나누어보았는데, 혹시 감이 좋은 사람들이라면 스펙트럼이 불연속적인 경우와 연속적인 경우에 대해서도 나눌 수 있지 않을까 생각하실거에요! 어떤 사람들은 ‘음…양자역학이니까 항상 불연속적이지 않아?’라고도 생각할 수 있구요. 사실 두 경우 모두 가능해요.
불연속적인 경우는 앞에서 다룬 각운동량 연산자나 조화진동자의 헤밀토니안, 무한퍼텐셜 우물의 헤밀토니안 등등이 있었죠. 이런 경우에 대해서는 규격화도 가능하고 쉽게 구할 수 있었던 함수였죠. 하지만 연속적인 경우에는 어떻게 될까요? 연속적인 경우에는 결론부터 말하자면 규격화가 불가능해집니다. 그래서 기존의 특징들을 살리질 못하죠 ㅠㅠ. 하지만 그 나름대로 직교성을 유지시켜 해석할 수도 있습니다. 이에 대해서는 다음 포스팅에서 다루어보도록 하겠습니다.