Newbie를 위한 양자역학 19_양자역학의 기초 체계_part3

양자역학의 기본 체계_part3

지난 2개의 강의들을 정리하면, 헤르미트 연산자에 의해 결정된 상태에 놓여있는 고유함수는 고유치가 연속이냐 불연속이냐에 따라서 조건은 달랐지만 직교성과 완전성을 이용해 임의의 상태를 기저 상태에 놓여있는 고유함수들의 선형 합(혹은 적분)으로 표현할 수 있다는 것을 알 수 있었습니다. 그리고 운동량 공간에서 표현한 파동함수에 대해 언급하고 강의를 마쳤었죠.

이번에는 운동량 공간에서 새롭게 표현하게 되었을 때, 기존의 파동 함수를 표현했던 방식과 어떤 차이점이 있는지 비교해보고 다양한 기저에서 어떻게 기술하는지 설명하려고 합니다.
3개의 파트로 나누어서 본 만큼 앞으로 양자역학을 공부하는데 기본적인 요소들이 많으니까 꼭 숙지하고 가셨으면 해요.

아! 그리고 생각을 해보니까 제가 내용 설명만 하고 문제를 다루지 않았다는 걸 이제 알았어요..ㅠㅠ그래서 마지막 부분에 연습문제의 형식으로 남겨두려고 합니다. 관심이 있으시면 직접 도전해보아요!

#운동량 공간에서 표현한 파동함수의 적용

그리피스 양자역학(2판)의 예제 3.4를 살펴보도록 합시다.

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예제 3.4) 질량이 m인 입자가 $V(x)=-\alpha \delta(x)$의 퍼텐셜에 갇혀 있다고 하자. 이 입자의 운동량을 측정하였을 때, $p_0=\frac{m\alpha}{\hbar}$보다 큰 값을 얻게 될 확률은 얼마인가?

<풀이>

퍼텐셜 우물 중에서도 디렉 델타 함수 형태의 퍼텐셜 우물이 적용되었을 때의 문제입니다. 일단 이전에 하셨던 분께서는 델타 함수 퍼텐셜 우물에서의 정상상태 파동함수를 구하지 않았기에 여기서는 전 과정을 구해보고자 합니다.

우선, 운동량을 구하기에 앞서서 이 입자의 파동함수를 구해야겠죠? 퍼텐셜에 갇혀 있기 위해서는, 즉 bound되어 있기 위해서는 이 입자는 에너지 E가 음수여야 합니다.

자, 그렇다면 정상상태의 슈뢰딩거 방정식을 세워봅시다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi -\alpha\delta(x)\psi=E\psi$$
디렉 델타 함수는 원점을 제외하고서는 항상 0의 값을 갖습니다. 그렇기 때문에 방정식은 좀 더 쉽게 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}\psi =E\psi$$
으로 표현할 수 있습니다. 1차원이니 편미분이 아닌 미분 꼴로 바꾸겠습니다.

에너지가 음수값을 갖는다는 것을 알았으니 이 미분방정식의 해는 자연스럽게 $$\psi=C_1exp(kx)+C_2exp(-kx) , k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$$ 일 것입니다.

그렇지만 이 해가 발산할 수 없다는 점을 고려하면 아마도 해는 $$\psi=C_1exp(-k|x|), k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$$ 가 맞겠죠?

여기서 잠시, 디렉 델타 함수가 퍼텐셜로 작용할 때 사용될 수 있는 간단한 기교(??)를 알아보도록 합시다.
디렉 델타 함수 녀석은 항상 전 구간에 대해 적분 시 상시 1이라는 값을 갖는 함수입니다. 전 구간이 아니어도 원점을 포함하는 아주 미세한 영역을 적분하더라도 말이죠.
또한 이 녀석은 $\int \delta(x)f(x)dx=f(0)$의 적분값을 갖는 성질을 지니고 있죠. 이제 이 성질을 이용해서 입자의 총 에너지 E와 퍼텐셜 함수의 상수 $\alpha$값의 관계를 끄집어내려고 합니다.

일단… 슈뢰딩거 방정식을 원래의 형태로 되돌린 후 0을 포함하는 아주 작은 영역 $(-\epsilon,\epsilon)$에 대해 적분할 생각입니다.

$$\int _{-\epsilon} ^\epsilon -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2}\psi -\alpha\delta(x)\psi dx =\int _{-\epsilon} ^\epsilon E\psi dx$$

좌변은 $\epsilon$을 0으로 수렴시킴으로써 $\frac{\hbar^2 k}{m}c-\alpha c$를 얻을 수 있고, 우변은 매우 작은 구간에 대해 적분함으로 0이 된다는 것을 알 수 있습니다.
그래서 $k=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar}$를 끄집어내면….
$$E=-\frac{m\alpha^2}{2\hbar^2}$$ 이 된다는 것을 알 수 있습니다.

네, 결국 퍼텐셜 우물이 깊을수록 bound 상태의 에너지 값도 낮아짐을 알 수 있습니다. 뿐만 아니라 결정된 한 개의 상태로서 존재하는 것을 보면, 오직 한 개의 속박 상태만 가능하다는 것을 알 수 있습니다.

이 파동함수에 시간 항을 고려한다면 $$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi(x,t) -\alpha\delta(x)\Psi(x,t)= \hat{H}\Psi(x,t)=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)$$ 이므로 변수 분리가 적용된 것을 감안하면 $$\Psi(x,t)=\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{m\alpha|x|}{\hbar^2}}e^{\frac{-iEt}{\hbar}}$$
가 되겠죠.
이제 이 녀석을 운동량 공간에서 새롭게 표현하고자 합니다.
$$\Phi(p,t)=\int \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\frac{\sqrt{m\alpha}}{\hbar}e^{-\frac{iEt}{\hbar}}e^{-\frac{ipx}{\hbar}}e^{-\frac{m\alpha|x|}{\hbar^2}} dx$$
절대값이 붙어서 계산이 까다롭지만 잘 나누어 주면 $$\int_0^{\infty}e^{-(\frac{m\alpha}{\hbar^2}+\frac{ip}{\hbar})x}dx+\int_{-\infty}^0 e^{-(-\frac{m\alpha}{\hbar^2}+\frac{ip}{\hbar})x}dx$$
의 형태를 계산하는게 되죠. 그래서…. $$\Phi(P,t)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{p_0^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{iEt}{\hbar}}}{p^2+p_0^2}$$
그러므로 $p_0=\frac{m\alpha}{\hbar}$보다 클 확률은 $$\int_{p_0}^\infty \frac{2}{\pi}p_0^3(\frac{1}{p^2+p_0^2})^2 dp=0.0908$$ 정도가 나오게 됩니다.

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앞의 예제 뿐만 아니라 우리가 흔히 아는 무한 퍼텐셜 우물의 경우에 대해서도 논해볼게요.
만약 n번째 상태의 파동함수 $\psi=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(\frac{n\pi}{L}x)$에 대해서는 운동량 공간에서 표현한 파동함수 $$\phi(p)=\sqrt{\frac{\pi\hbar}{L}}[\delta(\frac{n\pi\hbar}{L}-p)-\delta(\frac{n\pi\hbar}{L}+p)]$$ 가 된다는 것을 알 수 있습니다.

이것만 볼 때는 무슨 의미가 있을까 싶기도 해요. 하지만 n번째 상태의 파동함수가 사실은 +방향으로 진행하는 입자와 -방향으로 진행하는 입자의 선형 결합으로 나타낼 수 있다는 것을 다음과 같이 전개하면 알 수가 있지요.
그러니까, n번째 상태의 파동함수는 $$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{\frac{1}{L}}e^{\frac{n\pi\hbar x}{L}}-\sqrt{\frac{1}{L}}e^{-\frac{n\pi\hbar x}{L}})$$ 로 정리되는 거죠.
그렇다면 +방향으로 진행하는 입자의 파동함수에 대응하는, 운동량 공간에서 표현한 파동함수는 바로 $\delta(\frac{n\pi\hbar}{L}-p)$항과 관련이 있겠죠?

즉 델타 함수만 보면 n번째 상태에서 입자의 운동량은 $\pm\frac{n\pi\hbar}{L}$만으로 결정된다는 것을 알 수 있습니다.

자, 이제 정리를 해봅시다. 우리가 운동량 공간에서 파동함수를 표현한다는 것은 원래 알고 있던 위치 x와 시간 t에 대한 고유함수를 운동량 p와 시간 t에 대한 함수로 새롭게 풀어 쓴 것이었죠.

결국, 입자가 가지고 있는 상태함수(이것은 위치로도 표현되지 않은 그냥 임의의 상태에요)를 서로 다른 기저(basis)로 표현한 결과라는 것을 알 수 있습니다. 위치라는 변수를 기저로 할 때 $\Psi(x,t)$였다면, 운동량이라는 변수를 기저로 할 때 $\Phi(p,t)$가 되는 것이죠.

결국 하나의 상태를 다른 기저를 기준으로 나타낸 것임을 알 수 있습니다.

이와 같은 해석은 이후 단원에서 마저 하도록 할게요.

#다양한 기저에 따른 해석

이전 포스팅에서도 다루어서 기억이 나실 분들도 있을 겁니다. 내적을 $<\phi|\phi>$의 형태로 나타낸다는 것 기억하시죠? 이때, $<\phi|$와 $|\phi>$라는 녀석은 전치행렬의 켤레 관계를 이루고 있죠.

어떤 임의의 상태함수 $|\delta(t)>$가 존재한다고 합시다. 우리가 보통 $\Psi(x,t)$라고 부르는 것은 임의의 상태함수 $|\delta(t)>$를 위치에 대한 고유함수 $|x>$로 내적한 녀석이라고 할 수 있습니다.
$\Phi(p,t)$는 운동량에 대한 고유함수 $|P>$로 내적한 결과구요. 이걸 하나하나 설명해봅시다. 음..생각해보니 위치 연산자에 대해서 전혀 이야기를 하지 않았네요..죄송합니다.

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위치연산자는 어떤 고유치(=위치 값) y를 내놓게 됩니다. 고유치 y를 내놓는 고유함수를 $g_y(x)$라고 합시다.
그렇다면 정의상 $\int g_y(x)\Psi(x,t) dx= \Psi(y,t)$를 갖게 되겠네요.
왜냐하면 위치연산자에 대한 고유함수를 내적하게 된다면, y와 y+dy 사이의 확률을 나타내는 파동함수가 튀어나와야하니까요.
저 적분을 만족할 수 있는 식은 디렉 델타 함수가 있겠죠?

결국 위치연산자에 대한 고유함수는 $\delta(x-y)$가 되겠네요. 이 함수는 물론 직교성을 만족할 수 있습니다. $$\int \delta(x-y)\delta(x-y')dx=\delta(y-y')$$ 이므로 고유치가 다른 고유함수에 대해서는 내적이 0을 만족하겠네요. 또한, $\Psi(x,t)=\int \Psi(y,t) \delta(y-x) dy$이니 완전성도 만족할테구요.

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위치연산자에 대한 고유함수를 기저벡터로 내적했을 때, $\Psi(x,t)=<x|\delta(t)>$의 형태로 표현되겠죠? 마찬가지로 운동량에 대한 고유함수를 기저벡터로 내적한다면 $\Phi(p,t)=<p|\delta(x)>$로 쓸 수 있겠네요. 결국 위치 x에 대해서 상태를 기술했는지, 아니면 운동량 p에 대해서 상태를 기술했는지를 말한다고 할 수 있습니다.

음…에너지에 대해서도 생각해 볼 수 있습니다. 우리가 상태함수를 헤밀토니안을 통해 구했다는 것을 상기했을 때, $\Psi(x,t)$은 에너지가 양자화되어 불연속적인 스펙트럼을 갖는다면 n번째 에너지 준위에서의 고유함수 $\psi_n$의 선형결합으로 나타낼 수 있을 것입니다.
그러니까 $\Psi(x,t)=\Sigma c_n\psi_n e^{-\frac{iE_n t}{\hbar}}$로 표현되겠죠.
그러면, $\psi_n$의 헤르미트 켤레 행렬을 $<n|$으로 표현하면 계수 $c_n$은 $<n|\Psi(x,t)>$로 표기할 수 있겠죠.
결국 계수와 에너지에 대한 n번재 고유함수 $\psi_n$을 기저로 상태를 기술 할 수 있다는 것을 알 수 있네요.

지겹지만 좀 더 확장해봅시다(ㅎㅎ…) 어떤 기저벡터 집합이 있다고 생각해봅시다. 이 집합에는 연산자 Q에 대해 각기 다른 고유치를 가지고 있다고 하죠.
기저벡터 $|e_n>$에 대해서 연산자 $\hat{Q}$을 적용하면 $\Sigma_m Q_mn|e_m>$이 되니 $<e_m|\hat{Q}|e_n>=Q_mn$가 나오게 되겠죠.
그렇다면, 어떤 연산자에 대해 벡터 $|\alpha>$가 $|\beta>$로 바뀌게 될 때 $|\beta>=\hat{Q}|\alpha>$로 표현될 것이고, 결국
$$<e_m|\beta>=b_m=\Sigma_n a_n<e_m|\hat{Q}|e_n>=\Sigma_n Q_{mn}a_n$$ 이 될 것입니다.

그러니까 연산자의 행렬요소를 모두 안다면, 벡터가 연산자를 취한 후 어떠한 변화를 갖게 될 지 알 수 있다는 말이죠. 기저를 잡을 수 있고, 각각의 기저가 만일 연산자에 대한 고유함수였다면 당연히 고유치도 알 수 있을테고 결국에는 어떤 임의의 상태도 연산자 Q를 적용시켰을 때 어떤 변화가 일어나는지 알 수 있다는 거죠.

예제를 통해 확인해보도록 하겠습니다.

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예제 3.8) 두 개의 선형 독립적인 상태만으로 이루어진 물리계를 가정하자.
$|1>=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, |2>=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

이 물리계는 $|\delta>=a|1>+b|2>, a^2+b^2=1$로 일반적인 상태를 표현할 수 있으며, 이 물리계의 헤밀토니안은

$$H=\begin{pmatrix}h&g\\g&h\end{pmatrix}$$ 으로 표현된다. g와 h는 실수라고 할 때, 시간 t=0에서 물리계가 $|1>$에 있다면, 시간 t에서는 어떤 상태에 있게 될까?

<풀이>

원래라면 우리는 헤밀토니안, 즉 에너지를 다음과 같은 연산으로 구했을 것입니다. $$i\hbar \frac{d}{dt}|\delta>= E|\delta>$$
그러나 헤밀토니안이 행렬로 표현될 수 있기 때문에, 행렬과 시간 t에서의 상태를 곱하여 시간 t에서의 에너지 값을 알 수 있어야 합니다.
우선 에너지에 대한 기저함수를 구해보도록 하죠. 그러니까 정확히는 고유치와 고유함수를 구해보는 겁니다.

$$\begin{pmatrix}h&g\\g&h\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$$
이 행렬 연산이 영벡터가 아닌 x,y에 대해 성립하려면 $det(H-\lambda I)$가 0이 되어야 합니다. 즉,
$$(h-\lambda)^2=g^2, \lambda=h \pm g$$ 가 되죠. 여기서 $\lambda$는 결국 고유치인 에너지가 됩니다. 각각의 고유치에 대해서 기저벡터라 할 수 있는 에너지에 대한 고유함수는 $|\delta_{\pm}>= \begin{pmatrix}x\\ \pm x \end{pmatrix}, \lambda= h\pm g$ 로 구할 수 있게 됩니다.

우리가 열벡터의 크기를 각각의 성분의 제곱 합으로 정의하기 때문에, 규격화를 한다면
$$|\delta_{\pm}>= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ \pm 1 \end{pmatrix}, \lambda= h\pm g$$ 가 기저벡터가 되겠습니다.

이 녀석들은 순전히 시간-비의존적인 슈뢰딩거 방정식의 해와 같은 역할을 하기 때문에 시간항도 고려를 해주어야겠죠?

그래서 어떤 임의의 상태는

$$|\delta>=a \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ +1 \end{pmatrix} e^{-\frac{i(h-g)t}{\hbar}}+ b\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ 1 \end{pmatrix} e^{-\frac{i(h+g)t}{\hbar}}$$

로 주어질 수 있게 되는거죠. 만일 t=0에서 (1,0) 상태에 있었다면, 결국 a와 b는 모두 $\frac{1}{\sqrt{2}}$의 값을 갖게 되고 시간 t에서는 위의 표현식과 같은 상태를 만족하게 됩니다.

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자, 이렇게 양자역학의 기본적인 이론 체계….라고 하기에는 많이 거창하고 그냥..상태를 어떤 관점으로 바라보고 다룰 것인지 한번 훑어보았습니다. 이 이후 부분도 그렇지만 선형대수의 많은 내용들을 앞으로 많이 보실 겁니다. 저도 선형대수를 특별히 따로 시간을 내 공부를 해보지는 않고…공학 수학이나 전자기나 유체에서 텐서 다룰 때, 아니면 양자론 공부하기 전에 부록으로 익힌게 전부에요..그렇지만 이 정도로도 학부 수준의 간단한 양자역학은 어찌저찌 다룰 수 있더라구요..! 혹시나 독자들도 관심이 있으시다면 선형대수를 따로 공부해보시는 것도 권장해드려요. 분명 이해하는데 훨씬 수월할 거라고 장담합니다. 물론 하지 않더라도 충분히 따라갈 수 있으니 여러분 재량에 맡기겠습니다 ㅎㅎㅎ… 그럼 여기서 포스팅을 마치고 다음에는 수소원자모형(..제일 난잡해요..)에 대해 다루어보도록 하겠습니다^^ 뒤의 퀴즈는 한번 풀어보시길~~

#Quiz

문제 1) (그리피스 양자역학 2ed 문제 3.30) 시간 t=0에서 $\Psi(x,0)=\frac{A}{x^2+a^2}$으로 주어졌을 때,
a) A의 값을 구하고 시간 t=0에서 $<x>,<x^2>,\sigma_x$를 구하여라.
b) 운동량 공간 파동함수 $\Phi(p,0)$을 찾고, 이를 통해 $<p>,<p^2>,\sigma_p$를 구하여라.
c) 위치와 운동량의 표준편차에 대해서 하이젠베르크의 불확정성 원리가 적용되는지 확인해보아라.

문제2) (문제 3.37) 어떤 3-준위 계에서 헤밀토니안이 다음과 같이 주어졌다.
$$H= \begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\b&0&a\end{pmatrix}$$
a,b,c는 모두 실수라고 하자.

a) 만일 이 계가 다음 상태에서 시작한다면, $|\delta(t)>$는 무엇인가?
$$|\delta(0)>=\begin{pmatrix}0\\1\\0 \end{pmatrix}$$
b) 만일 이 계가 다음 상태에서 시작한다면, $|\delta(t)>$는 무엇인가?
$$|\delta(0)>=\begin{pmatrix}0\\0\\1 \end{pmatrix}$$