Newbie를 위한 양자역학 18_양자역학의 기초 체계_part2

양자역학의 기본 체계_part2

오늘은 ‘양자역학의 기본 체계_part1’에서 마저 이야기하지 못했던 불연속적인 스펙트럼과 연속적인 스펙트럼을 갖는
고유함수들의 특징을 다루고자 해요. 그리고 위치와 시간을 변수로 갖는 상태함수를 운동량과 시간에 대한 함수로 변환시켜보고자 합니다.(꽤 유용해요)

#불연속적인 스펙트럼

불연속적인 스펙트럼은 앞에서 다루었던 $\frac{d}{d\phi}$ 연산자나 몇몇 특정한 퍼텐셜에서의 헤밀토니안 같은 경우라고 생각할 수 있습니다.
불연속적인 스펙트럼을 갖는 고유함수들은 당연히 헤르미트 연산자의 고유함수이다보니 $<\Psi|\hat{Q}\Psi>=<\hat{Q}\Psi|\Psi>$ 를 만족하게 됩니다.
그런데 앞에서 관측가능한 물리량은 항상 실수여야한다고 말했던 것 기억하시나요? 직관적으로 당연히 실수여야하지만 수학적으로도 실수여야합니다. 한번 확인해보죠.

연산자 $\hat{Q}$ 가 고유함수 $\Psi$ 에 대해서 고유치 q를 갖는다고 합시다. 그렇다면 $\hat{Q}\Psi>=q|\Psi>$ 가 되겠죠. 그러면 기대치를 구해봅시다.
$$<\Psi|\hat{Q}\Psi>=q<\Psi|\Psi>=q=<\hat{Q}\Psi|\Psi>=q^*<\Psi|\Psi>=q^*$$ 켤레복소수와 자기 자신이 같으려면 0이거나 실수여야만 가능하겠죠. 그래서 헤르미트 연산자의 고유치는 항상 실수가 됩니다. 음? 뭔가 당연해보인다는 생각이 안드시나요? 굳이 불연속적인 스펙트럼을 갖는 고유함수만 만족할 것 같지는 않은데 말이죠.
연속적인 스펙트럼을 갖는 녀석들도 저런 식으로 만족할 수 있지 않을까 생각할 수 있습니다. 하지만 결론부터 말씀드리자면 연속적인 스펙트럼을 갖는 고유함수들은 내적이 유한하지 않아 고유치가 항상 실수라고 장담할 수 없습니다. 위의 식이 등호가 성립한다고 할 수 없으니까요.

불연속적인 스펙트럼이 갖는 또 하나의 성질은 바로 고유치가 다른 녀석들끼리는 직교한다는 것입니다. 연산자 $\hat{Q}$ 에 대해서 서로 다른 고유치 $q$ 와 $s$ 를 갖는 함수 $f, g$ 가 있다고 합시다.
그렇다면 서로 다른 두 상태에 대해 연산자를 적용시킨 후 내적을 해봅시다. $$<f|\hat{Q} g>=s<f|g>=<\hat{Q} f|g>=q<f|g>$$ 어떤가요? 두 식이 등호를 성립하기 위해선 고유치가 모두 0이거나 내적이 0이어야겠죠?
고유치가 0인 고유함수는 의미가 없기 때문에 서로 다른 두 상태에 대해 내적을 한 결과는 0이 되어야 합니다. 그래서 직교성이 성립하게 되죠.

정리하자면 다음과 같습니다.

1.헤르미트 연산자의 고유치는 실수이다.
2.서로 다른 고유치를 갖는 고유함수들은 서로 직교성(orthogonality)를 갖는다

만약 서로 겹칩상태가 존재하는 불연속적인 스펙트럼에 대해서도 만족하는지 궁금한 분들도 계실 겁니다. 사실, 정리 1은 만족하지만 정리 2는 만족한다고 할 수 없습니다.
하지만 조금 기교를 부려서 직교성이 성립하게끔 할 수 있지요. 예를 들어 다음을 살펴봅시다. $$\hat{ Q}|f>=q|f>, \hat{Q}|g>=q|g>$$ 두 함수 모두 고유치가 q라면, 거의 자명하게도
두 함수의 선형결합도 고유치가 q가 될 수밖에 없다는 것을 알 수 있습니다. 만약에 $|f>$ 와 $|q>$ 가 독립이 아니어서 $<f|g>$ 가 0이 될 수 없을 때, 우리는 그람-슈미트 방법을 통해서
$$|g>-\frac{<f|g>}{<f|f>}|f>$$ 라는 새로운 $|g^`>$ 을 만들어 직교성을 만족하게끔 할 수 있습니다. 결국 직교화 과정을 거쳐 정리1,2를 모두 만족하는 정규직교집합을 형성시킬 수 있는거죠.
정규직교집합이 형성된 상태함수들의 모임에 대해서는 양자역학 이론이 전개해나가기가 굉장히 수월합니다. 그래서 이렇게 정규직교집합을 고집하는거죠.

#연속적인 스펙트럼

연속적인 스펙트럼은 불연속적인 스펙트럼에 비해 좀 더 복잡하고 다루기가 어렵습니다. 심지어 헤르미트 연산자에 대해 연속적인 스펙트럼을 갖게 되면, 이 집합의 고유함수들은 규격화가 불가능해집니다.
그러니까 불연속적인 스펙트럼이 만족할 만한 정리들이 여기서 성립한다고 장담 할 수가 없는거죠…하지만, 직교성과 유효한 고유치(=실수)를 갖는다는 점에 대해서는 몇몇 특정한 예를 바탕으로 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

예컨대 운동량 연산자 $\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}f_p(x)=pf_p(x)$ 를 생각해봅시다. 고유치 p를 갖는다고 할 때, 이 식을 만족하는 고유함수 $f_p(x)$ 는 $Aexp(\frac{ipx}{\hbar}$ 임을 알 수 있습니다.
우선 이 녀석은 이미 앞서 말한대로 자기 자신의 내적에 대해 발산하게 됩니다. $$<f_p(x)|f_p(x)>=\int A^2 dx$$ 그러니까 이런 함수는 힐버트 공간(우리가 주로 다루는 상태함수의 집합들)에 속해 있는 고유함수가 아니란 거죠.
그런데 새로운 고유치 $p'$ 을 갖는 고유함수가 있다고 생각해봅시다. 두 함수를 내적한다면 $$\int f_p'(x)f_p(x) dx=A^2\int exp(\frac{i(p-p')x}{\hbar})dx=2\pi\hbar\delta(p-p')A^2$$ 이 됩니다.
위 식의 우변은 푸리에 급수로 디렉 델타 함수가 되는 부분은 플란케렐의 정리의 결과입니다. 우변의 결과물만 보면 어떠나요? 결국 서로 다른 고유치를 갖는 함수들에 대해서는 직교성이 성립할 수 있다는 것을 알 수 있죠?
물론 이것은 운동량 연산자라는 특수한 경우에 대해서 살펴보았지만, 일반적인 경우에 대해서는 굉장히 수학적으로 엄밀하게 접근해야하기에 생략하도록 합시다… 결과만 활용할 줄 알면 되니까요 ㅎㅎ
직교성을 갖기 때문에 이 함수가 완전성을 갖는다는 것도 쉽게 보일 수 있습니다. 물론 완전성 자체에 대해 증명하고자 하는 거는 아니고 다음의 푸리에 방법을 이용할 뿐입니다. 푸리에 변환은 ‘참새와 함께하는 공학수학 #7:Fourier Series’ 편을 참고하세요.
다시 본론으로 돌아가서, 상태함수의 계수를 $A=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}$ 라고 두면, $$\int c(p)f_p(x) dp =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int c(p)exp(\frac{ipx}{\hbar})dp$$ 푸리에 계수는 $f_p$ 를 내적해서 얻어낼 수 있으니
결국 운동량에 대한 푸리에 계수는 $$c(p)=\int\int(\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}})^2c(p')exp(\frac{i(p-p)'x}{\hbar})dp'dx = \int c(p')\delta(p'-p) dp`$$ 가 되겠죠.
델타함수의 정의상, 결국 우리가 원했던 푸리에 계수 $c(p)$ 값이 나오게 됨을 알 수 있습니다. 푸리에 변환을 왜 한 걸까요? 불연속적인 스펙트럼에서는 선형결합을 통해 임의의 함수를 표현했었죠? 연속적인 스펙트럼에서는 이런 선형결합을 이산적인 방법이 아닌 연속적인, 적분의 합으로 나타내었다고 볼 수 있는 거죠. 그러니까 임의의 함수가 푸리에 계수와 해당 운동량의 고유함수를 적분 합한 형태로 표현할 수 있다는 것을 보인거에요. 이게 바로 완전성이죠.

조금 더 나아가보죠. 운동량 연산자의 고유함수인 $\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}exp(-\frac{ipx}{\hbar})$ 는 결국 완전성과 직교성을 갖는다는 것을 지금까지 다루어보았죠.
완전성과 직교성을 띠고 있으니까 어떤 임의의 함수도 푸리에 변환을 통해서 적분 형태의 합으로 나타낼 수 있다는 것도 알 수 있었습니다. 그렇다면 이를 일반화시켜서, 어떤 관측량을 나타내는 연산자가 있다고 해봅시다.
그 연산자의 고유함수가 운동량의 고유함수, 헤밀토니안의 고유함수처럼 직교성과 완전성을 가진다면? 결국 푸리에 변형을 통해 똑같이 표현되겠죠? 그러니까 임의의 연산자 Q와 그 고유치 q(z)를 갖는 고유상태 $f_z$ 가 있다면 임의의 상태 $\Psi$ 는 $\int c(z)f_z dz$ 로 표현이 가능하다는 거죠. 그렇다면 이때 계수가 의미하는 바는 뭘까요?
$$<\Psi|\Psi>=\int\int\int c^*(z')c(z)f^*_{z'}(x)f_z(x)dxdz'dz=\int\int c^*(z')c(z)\delta(z-z')dz'dz=\int |c(z)^2| dz=1$$ 을 만족해야하니 결국 계수의 제곱은
측정치가 z~z+dz 구간 내에 존재할 확률이 될 수 있겠네요! 그렇다면….관측량이 주어졌을 때, 계수의 비를 통해서 측정치의 확률을 알 수 있을테고, 기대값도 쉽게 구할 수 있겠죠?
좋습니다. 그렇다면 우리가 $\Psi(x,t)$ 인 상태함수가 운동량 P에서 P+dP 사이의 측정치를 내놓을 확률에 대해 알고 싶다면, $$\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int exp(-\frac{ipx}{\hbar})\Psi(x,t)dx$$ 를 계산해내면 되겠죠?
우리는 이제부터 이 값을 $$\Phi(p,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int exp(-\frac{ipx}{\hbar})\Psi(x,t)dx$$ 로 운동량 공간에서 표현한 파동함수라고 부를 것입니다.

이후의 내용에 대해서는 part_3에서 다루도록 할게요!