Newbie를 위한 양자역학 15_조화진동자(기본 컨셉)

그림 출처

# Preview

Harmonic Oscillator입니다. 두 번째로 간단한 경우죠. 사실 $\psi$를 푸는 과정은 그리 간단하진 않지만 뭐, 그렇다고 합니다. Oscillate이 진동하다는 뜻이니까… 조화진동자로군요. 이건 흔히 아시는 스프링으로 생각하면 됩니다. 후크의 법칙 $F=kx$의 적용을 받는 그 스프링이죠. 스프링에 의한 위치 에너지 $V=\frac{1}{2}kx^2$으로 나타나는 것도 알고 있어요. 이 상황에 대해서 약간의 횟수를 거쳐 살펴보기로 합시다.

# Meaning on 1D Harmonic Oscillator

스프링의 경우를 왜 다룰까요. #07 중간쯤에서 언급한 거 같아요. 연재를 쉰 기간이 오래 되긴 했지만 전체 카테고리를 보니 그런 기운이 왔어요. 이번에는 그리피스 양자역학 2판의 41쪽에 있는 그림을 들고 왔습니다.

이렇게 위치에 따라서 포텐셜 에너지가 이상한 곡선을 그린다고 치고, 저기 극소점 주변에 대해 관심이 있다고 합시다. 그럼 저 점 주변에서 테일러 전개를 할 수가 있죠?
$$V(x)= V(x_0)+V'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}V''(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots$$
$x=x_0$ 주변이기 때문에 $(x-x_0)^3$ 이상의 차수는 아주 작다고 치부하고 무시합니다. 연탄재는 함부로 발로 차 버립시다. 그러면 점 찍힌 저 부분들은 다 0으로 보고, 또 극점이니까 $x=x_0$에서 기울기가 0일테니 $V'(x_0)=0$이고, 포텐셜 기준을 $V(x_0)=0$로 잡으면 마지막에 이거만 남죠?
$$V(x) = \frac{1}{2}V''(x_0)(x-x_0)^2$$
변위인 $x-x_0$의 제곱에 비례하는 위치 에너지입니다. 정확히 후크의 법칙에서 오는거죠. 결론적으로 다시 보면, 임의의 위치 에너지의 극소점 주변을 따질 때 이것을 스프링으로 근사시킬 수 있는 겁니다. 에너지의 극소점은 뭐죠? 안정한 점이죠. #07을 잠깐 다녀오시면, 거기는 아마 핵 간 거리에 따른 에너지의 그래프가 있을 거예요. 거기서 극소점은 제일 안정한 점이고, 그 점에서 결합이 일어납니다. 결합이 일어나는 그 거리 값 주변의 운동을 보고 싶을 때 스프링으로 근사해서 Harmonic Oscillation을 보는 거죠. 격자 구조도 정해진 저 결합거리 주변에서 진동하는 스프링처럼 생각을 할 수가 있습니다. 그림 출처

그러면 열이나 외부 자극에 대해서 이 격자가 진동도 하겠네요. 그런 진동을 phonon이라고 합니다. 위키피디아에서 살짝 그림을 볼 수 있습니다. 그만 귀찮아하고 링크를 걸죠.

#Schrodinger Eqn for Harmonic Oscillator

역시 1차원에서만 생각합니다. 위에서 격자구조라고 말씀을 드렸기 때문에 역시 3차원으로 해야겠지만 3차원을 할 수는 없어요. (엄근진) 이건 Well처럼 유입 검색어가 있어도 절대 안 할 거예요. (냉철) 그럼 1차원에서 시간 비의존 슈뢰딩거 방정식을 꺼내봅시다. 포스팅을 두 달 반만에 하는거라 잘 기억이 안 날지도… 이런 말하면 저기 옆동네 참새한테 혼나는데
$$H\psi = E\psi \\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi +V\psi = E\psi$$
위에서 열변을 토했던 $V$를 집어넣는데, 잠깐 있어봐요. Oscillator의 진동수 얼만지 다들 아시죠. 용수철 상수 $k$일 때 진동수 $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 니까 $k=m\omega^2$을 집어넣고 이제 $k$는 그냥 잊어버립니다. $k, m$이 상수기 때문에 $\omega$역시 그냥 상수가 됩니다. 지금 관심있는 게 진동수 $\omega$가 아니기 때문에 단지 하나의 상수는 괘념치 마세요. 그러니까 다시 말해서
$$V=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2$$
를 위에 집어넣으면
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi +\frac{1}{2}m\omega^2x^2\psi = E\psi$$
를 풀면 이 용수철이 어떤 에너지 $E$를 가지고 어떤 식의 확률분포를 가지는지 알 수 있겠습니다.

Well의 포텐셜 에너지가 왼쪽 그림처럼 생겨먹어서 그림에 표시한 전체 에너지 $E$가 저렇게 돼있었다면, Harmonic Oscillator는 오른쪽처럼 생겨먹어서 어떤 분포를 가질지..

# Closing

에 대한 수식적 접근을 해야겠습니다. 하죠. 합시다.