Newbie를 위한 양자역학 11_포텐셜 우물(1차원 유한 포텐셜 우물(상))

그림 출처

# Review

• wave function $\psi$의 경계조건은 어떤 게 있나요?
• 1D Infinite Potential Well의 해는 위치 $x$에 대한 어떤 함수의 꼴인가요?
• 에너지와 상태의 양자화를 나타내는 정수 $n$은 어디서 나타나나요?

# Preview

자, 깊이가 무한인 1차원 포텐셜 우물에서 wave function $\psi$가 어떤 꼴로 나오는지 구해봤습니다. 그렇다면 이제는 당연히 깊이가 유한할 때를 따져보겠죠? 우물의 깊이가 $V_0$라고 해 봅시다. 이 때 wave function $\psi$가 어떻게 나오는지를 슈뢰딩거 방정식을 통해 구한다면, 입자의 확률분포인 $\psi \psi^*$를 계산할 수 있겠죠. 쉽습니다.

# 1D Finite Potential Well _ 1

저번 포스팅과 제목이 똑같아 보이지만, 여기는 In이라는 두 글자가 없습니다. 영어는 오묘하죠. 물론, 한글로 하더라도 ‘무’가 ‘유’가 된 것이니 두 음절이 바뀌었다 할 수 있습니다. 한글도 오묘하죠. 뭐, 음절이 바뀌었든, 형태소가 달라졌든, 어절이 변화하였든, 우리는 미분방정식을 풉니다. 그림은 이러합니다.

이제는 벽의 높이가 $\infty$가 아닌, $V_0$입니다. 그리고 우리가 다루는 건 전체 에너지 $E$가 벽보다 낮은 경우입니다. 에너지가 벽보다 높으면…. 우물에 갇힌 게 아니잖아요…. 어쨌든 위치에너지를 한 번 식으로 써 보죠.
$$U=\begin{cases} V_0 ~~~~& |x|>a \implies \text{region (1), (3)} \\ 0 ~~~~ &|x|<a \implies \text{region (2) } \end{cases}$$
이제, 오랜만에 시간비의존성 슈뢰딩거 방정식을 써 봅니다. 글을 한 달만에 쓰는 거라 한 번 쓰고 넘어가지요. 1차원이라 변수가 $x$밖에 없기 때문에 편미분 $\partial$을 쓰지 않고 그냥 $d$를 썼습니다.
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi+U\psi=E\psi \\ \frac{d^2}{dx^2}\psi +\frac{2m}{\hbar^2}(E-U)\psi =0$$
두 번째 식은 첫 번째에서 이항만 한 거니 두려워하지 마세요 용사여.

1. region (1), (3)

위치 에너지 $U$ 자리에 넣습니다.
$$\frac{d^2}{dx^2}\psi +\frac{2m}{\hbar^2}(E-V_0)\psi =0$$
전체 에너지 $E$가 $V_0$보다 작은 경우만 다루니 잠깐 자리를 바꿉시다. 상수를 양수로 만들고 싶어서요… user-friendly하게..
$$\frac{d^2}{dx^2}\psi -\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)\psi =0$$
너무 쉬워서 말도 안 나오는 2계 미분방정식이기 때문에 가차 없이 해를 이렇게 써 봅니다.
$$\psi = Ke^{\gamma x}+Le^{-\gamma x} \\ where ~~\gamma = \sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)}$$
그런데 잠깐 생각을 해봅시다. 우리가 $\psi \psi^*$를 모든 구간에서 적분한 게 1이 된다는 걸 알고 있으니까요, 예를 들어서 $x<-a$의 범위에서 $\psi \psi^*$를 적분한 게 수렴해야겠죠. 그럼 이 구간에서 $L=0$이 되어야합니다. 반대로 $x>a$에서는 $K=0$이 되겠죠. $x>a$의 경우에 대해서 식으로 조금 써 보면
$$\begin{split} \int_a^\infty \psi\psi^* dx =& \int_a^\infty (K^2e^{2\gamma x}+L^2e^{-2\gamma x}+2KL)dx \\ =& [\frac{K^2}{2\gamma}e^{2\gamma x}-\frac{L^2}{2\gamma}e^{-2\gamma x}+2KLx]_a^\infty \end{split}$$
가 수렴해야되기 때문에 $K=0$이 되는 겁니다. $\gamma$가 양수인 것도 살짝 떠올려주세요. 그래서 결론적으로, (1)과 (3) 영역에서 $\psi$는
$$\psi_1 = Ke^{\gamma x} \\ \psi_3 = Le^{-\gamma x}$$

2. region (2)

이번에도 위치 에너지 $U$ 자리에 넣습니다.
$$\frac{d^2}{dx^2}\psi +\frac{2m}{\hbar^2}E\psi =0$$
또 같은 링크를 타시면 이번에도 무자비하게 해를 이렇게 쓸 수 있습니다.
$$\psi_2 = A\cos\alpha x + B \sin\alpha x \\ where ~~~ \alpha = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$$
무한 우물(#10)에서는 이렇게 하고 끝냈었는데, 유한 우물에서는 할 일이 좀 있습니다.

#1D Finite Potential Well _ 2

Applying Boundary Condition

저번 포스팅(#10)에서 뜬금없이 $\psi$의 경계조건을 구했습니다. 이번 포스팅의 Review에도 있듯이 경계조건은 중요하지요. 어떤 건가요? 경계에서 $\psi$ 자체의 값이 연속이다는 것과, $\frac{d\psi}{dx}$가 연속이라는 것 두 개죠. 그럼 미분 한 것도 써 봅시다. 아니지. 써 볼게요.
$$\begin{split} region (1) : &~\psi_1 = Ke^{\gamma x} ~~& \psi_1 ' = \gamma K e^{\gamma x} \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{boundary} ~~x=-a \\ region (2):& ~\psi_2 = A \cos \alpha x + B \sin \alpha x ~~& \psi_2 ' = -\alpha A \sin \alpha x+ \alpha B \cos \alpha x \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{boundary} ~~x=a \\ region (3): & ~\psi_3 = Le^{-\gamma x} ~~& \psi_3 '= -\gamma L e^{- \gamma x} \end{split}$$
이제, 경계조건이 있습니다. $x=\pm a$에서 $\psi$값이 같다는 것, $\psi '$의 값이 같다는 것. 씁시다.
$$\begin{split} x=-a : &~Ke^{-\gamma a}=A\cos \alpha a - B \sin \alpha a ~~~~~& \gamma Ke^{-\gamma a}=\alpha A \sin \alpha a + \alpha B \cos \alpha a \\ x=a : &~Le^{-\gamma a}=Acos \alpha a + B \sin \alpha a ~~~~~& -\gamma Le^{-\gamma a} = -\alpha A \sin \alpha a + \alpha B \cos \alpha a \end{split}$$
왼쪽의 지수 항을 오롯이 오른쪽에 넣을 수가 있네요. $K, L$이 없어집니다.
$$x=-a : ~~\gamma A \cos \alpha a- \gamma B \sin \alpha a = \alpha A \sin \alpha a + \alpha B \cos \alpha a \\ x=a : ~~-\gamma A \cos \alpha a - \gamma B \sin \alpha a = -\alpha A \sin \alpha a+ \alpha B \cos \alpha a$$
이항을 몇 개만 해보면 이렇게 식이 바뀌네요.
$$(\alpha \sin \alpha a-\gamma \cos \alpha a)A+(\alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a)B =0 \\ -(\alpha \sin \alpha a-\gamma \cos \alpha a)A+(\alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a)B =0$$
복붙이 가능한 연립식이라 너무 기뻤답니다. 그렇다면 이 두 식에서 각 항이 둘 다 0이 되어야 한다는 것을 알겠죠.
$$\therefore (\alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a)A=0 ~~~\text{&}~~~ (\alpha \cos \alpha a+ \gamma \sin \alpha a)B = 0$$
그렇다면 이 두 식을 가능케 하는 쌍은 다음의 네 가지가 있어요.
$$\begin{split} (a) ~~& A=0 ~~~\text{&}~~~ B=0\\ (b) ~~& \alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a =0 ~~~\text{&}~~~ \alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a=0 \\ (c) ~~& A=0 ~~~\text{&}~~~\alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a=0 \\ (d) ~~& \alpha \sin \alpha a - \gamma \cos \alpha a =0 ~~~\text{&}~~~ B=0 \end{split}$$
써 있는 순서를 딱 보니까, (a), (b)는 금방 끝나고 (c), (d)가 오래 걸릴 것 같다는 걸 눈치챌 수 있습니다. 눈치 못 채셔도 됩니다. 직접 해보기 전까지는 쉬운 상태와 어려운 상태가 중첩된 상태로, 확률분포만 알고 있…. 네. 조용히 하겠습니다.

case (a)

두 상수 $A=B=0$이라면, $\psi_2 = 0$이라는 자명한 해(trivial solution)가 나옵니다. 관심 없습니다. 만약 이것이 해로 채택된다면, 값이 같다는 경계조건에서 $K=L=0$이 될 텐데, 그럴 경우 Normalization condition, 즉 $\int_{-\infty}^\infty \psi \psi^* dx =1$을 만족시킬 방법이 없으니까요.

cases (b)

두 식을 제곱해서 더해봅니다.
$$\begin{split} 0= &(\alpha \sin \alpha a- \gamma \cos \alpha a)^2 + (\alpha \cos \alpha a + \gamma \sin \alpha a)^2\\ =& \alpha^2 + \gamma^2 \\ =& \frac{2mE}{\hbar^2}+\frac{2m}{\hbar^2}(V_0-E)\\ =& \frac{2mV_0}{\hbar^2} \end{split}$$
여기서 $m, \hbar$은 정해진 물리량이고, $V_0$은 우물의 깊이입니다. $V_0 = 0$이어야한다는 것인데 의미가 없죠. 그래서 case (a)와 (b)는 물리적인 의미가 없는 경우입니다. 그렇기 때문에 (c)와 (d)를 열심히 파야하겠습니다.

Closing

그건 다음 포스팅에 합니다! 땅땅. 일사부재리.