Heat transfer with laminar flow (유체역학 복습)

heat transfer with laminar flow (유체역학 내용 80%)

# INTRODUCTION

이제까지는 주로 전도(conduction)에 관해서 알아보았습니다. 하지만 열전달은 전도로만 일어나는 것이 아니죠. 우리에겐 대류와 복사, 두 가지 방식의 열전달이 남아있습니다!(갈 길이 멀어요..ㅠ) 일단은 여러번에 걸쳐서 대류(convection)에 대해서 알아보려고 합니다. conduction과는 다르게 medium(열전달 매체)이 움직이기 때문에 유체역학에서 배운 continuity equation과 Navier-Stokes equation을 같이 풀어야 해요. 사실 보기에 어려운 열전달 문제라도 식을 잘 세우고 초기 조건, 경계조건만 잘 설정해 주면 의외로 쉽게 풀 수 있는데요. 이를 위해서는 식을 세우는 과정에서의 가정과 원리를 잘 이해하는 것이 꼭꼭꼭!!! 반드시!! 무조건! 필요합니다. 그래서 이번 시간에는 식을 세울 때 가정과 원리를 이해한다는 것에 초점을 맞춰보았습니다!

# 연결고리

<교과서 시작>
Laminar flow parallel to a flat plate (Bennett & Myers 3/e p.335)

incompressible flow (밀도 $\rho$ 가 불변), without heat generation인 differential energy balance는 다음과 같고,
$$u_x \frac {\partial t}{\partial x} + u_y \frac {\partial t} {\partial y} +u_z \frac {\partial t} {\partial z} + \frac {\partial t} {\partial \theta } = \frac {k}{\rho C_p} \left( \frac {\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 t}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 t}{\partial z^2} \right)$$

다음의 가정들을 도입하여 식을 정리합니다.

• laminar flow & two dimensional flow ($u_z = 0$)
• steady state $({\partial t}/{\partial \theta} = 0)$
• flow의 방향과 수직하지 않은 conduction 무시
  $({\partial^2 t}/{\partial x^2} , {\partial^2 t}/{\partial z^2}=0)$

$$u_x \frac {\partial t}{\partial x} + u_y \frac {\partial t} {\partial y} = \frac {k}{\rho C_p} \frac {\partial^2 t}{\partial y^2}$$

위 식에 포함되어 있는 $u_x$, $u_y$를 구하기 위해서 continuity equation, Navier-Stokes equation을 연립해야 하는데, 앞 장에서 구했던 것과 같이(?!?!?!) 각 식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$$\frac {\partial u_x}{\partial x} + \frac {\partial u_y}{\partial y} =0 ---(1)$$
$$u_x \frac {\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_x} {\partial y} = \frac {\mu}{\rho} \frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2}---(2)$$
$$u_x \frac {\partial t}{\partial x} + u_y \frac {\partial t} {\partial y} = \frac {k}{\rho C_p} \frac {\partial^2 t}{\partial y^2}---(3)$$

<교과서 끝>

교과서에서 소개한 풀이방법은 바로 $Pr=1(\frac {\mu}{\rho}=\frac{k}{\rho C_p})$이라는 가정을 하여 (2)식과 (3)식이 같은 해를 갖는다는 것을 알고 접근하는 방식입니다. 이외에도 가정을 간소화시켜 좀 더 넓은 범위의 $Pr$ 값에 대해서도 적용할 수 있는 식을 유도하기도 하고, 보다 실용적인 식을 얻기위한 방법도 제시합니다. 하지만 모든 방식의 근본적인 바탕은 바로 위의 세 식입니다. 즉, 위의 세 식이 어떤 가정을 토대로 나온 것인지 제대로 알지 못한다면 문제에서 공식을 적용하여 풀 때 함정에 쉽게 빠질 수 있습니다. 그래서 교과서에서 표시해 준대로 11장으로 돌아가서 (1)과 (2)번 식에 대한 내용을 찾아 숙지하는 것이 매우 좋겠지만, 사실상 유체역학을 다시 본다는 것이 매우 어려우므로(저도 다시 볼 때 힘이 많이 들더군요ㅠㅠㅜㅠ) 이 문제를 예시로 이번 기회에 최대한 쉽게(?) 알려드리고자 합니다! 자 그럼 본격적으로 연결고리 시작해보겠습니다.

Continuity equation

$$\frac {\partial u_x}{\partial x} + \frac {\partial u_y}{\partial y} =0 ---(1)$$
$$\frac {\partial u_x}{\partial x} + \frac {\partial u_y}{\partial y}+\frac {\partial u_x}{\partial z} =0 ---(4)$$

가장 먼저 (1)번 식은 incompressible flow(비압축성 유체)에 대한 continuity equation에서 도출된 것입니다. 즉, 밀도가 일정하기 때문에 어떤 특정방향으로(ex. $x$ 방향) 속도가 증가($\Delta u_x$>0)하면 다른 방향(ex. $y$ 방향)에서는 속도가 감소($\Delta u_y$<0) 한다는 것을 나타냅니다. 3차원 flow에서 원래 식은 (4)와 같은데, 계에서 laminar flow & two dimensional flow 의 가정으로 $u_z = 0$이므로 (1)번 식으로 정리가 된 것입니다.

Navier-Stokes equation

$$\frac {\partial u_x} {\partial \theta} +u_x \frac {\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_x} {\partial y} +u_z \frac {\partial u_x} {\partial z} = -\frac {1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} + g_x +\frac {\mu}{\rho}\left( \frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 u_x}{\partial z^2} \right) --- (5)$$
$$\frac {\partial u_y} {\partial \theta} +u_x \frac {\partial u_y}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_y} {\partial y} +u_z \frac {\partial u_y} {\partial z} = -\frac {1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial y} + g_y +\frac {\mu}{\rho}\left( \frac {\partial^2 u_y}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_y}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 u_y}{\partial z^2} \right) ---(6)$$
$$\frac {\partial u_z} {\partial \theta} +u_x \frac {\partial u_z}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_z} {\partial y} +u_z \frac {\partial u_z} {\partial z} = -\frac {1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial z} + g_z +\frac {\mu}{\rho}\left( \frac {\partial^2 u_z}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_z}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 u_z}{\partial z^2} \right) ---(7)$$

다음으로 (2)번 식은 위의 (5), (6), (7)의 x, y, z 방향에 대한 Navier-Stokes equation으로부터 도출 된 것입니다. (엄청나게 복잡한 이 식. 분명 유체역학 시간에 유도했을텐데.. 기억 나시나요?;;)

우선 계에서 $u_z =0$이고, z방향의 pressure gradient=0, 중력은 무시된다고 하면 (7)번 식은 $0 = 0$이 됩니다.

(6)번 식은 laminar flow 가정을 이용하여 $u_x >> u_y$이므로 $u_y$의 변화율은 매우 작아 무시할 수 있고, 계에서 $y$방향의 중력을 무시합니다.(강제 대류에 의한 flow가 있을 때 중력은 상대적으로 velocity profile에 영향을 거의 안 준다는 거죠.) 결과적으로 ${\partial P }/{\partial y} = 0$가 된다는 결론을 내릴 수 있습니다.

자 이제 마지막 남은 (5)번 식에 있는 pressure gradient를 먼저 구해보도록 할게요. laminar boundary layer 밖에서는( ’ 으로 계 안과 구별) $u_x ' = U, u_y'=0$이기 때문에 계 밖에서 ${\partial P }/{\partial y} = 0$임을 알 수 있습니다. 그런데 계 밖에서도 continuity equation은 성립하며,
${\partial u_x '}/{\partial x} + {\partial u_y '}/{\partial y} =0$ 에서 $u_x ' = U$ (상수)이므로 ${\partial u_x '}/{\partial x}=0$이 됩니다.

$$\frac {\partial u_x'} {\partial \theta} +u_x' \frac {\partial u_x'}{\partial x} + u_y' \frac {\partial u_x'} {\partial y} +u_z' \frac {\partial u_x'} {\partial z} = -\frac {1}{\rho} \frac{\partial P}{\partial x} + g_x +\frac {\mu}{\rho}\left( \frac {\partial^2 u_x'}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_x'}{\partial y^2} +\frac {\partial^2 u_x'}{\partial z^2} \right) --- (8)$$

이를 계 밖에서의 (8)번 식에 대입하고, steady-state, x-direction only, 중력 무시 가정을 이용하면 ${\partial P}/{\partial x} = 0$을 얻을 수 있습니다! 헉헉헉…. 여기까지 이해 되셨나요?

그런데 왜 갑자기 계 밖을 벗어났냐고요? 저는 몇 분 전부터 (5)번 식에 쓸 압력 변화율(pressure gradient)이 0이 되는 것을 보여드리고 있습니다:) 지금까지 저희가 얻은 것은 계 안에서 ${\partial P }/{\partial y} = 0$, 계 밖에서 ${\partial P}/{\partial x} = 0$, ${\partial P }/{\partial y} = 0$인데요. 계 밖에서는 압력 변화가 없으니까 laminar boundary layer에 접하고 있는 모든 부분에서의 압력은 다 같겠죠? (끄덕끄덕) 그리고 각 boundary layer에서 y를 줄이면서 계 안으로 들어와도 계 안에서 ${\partial P }/{\partial y} = 0$이기 때문에 압력이 달라지지 않죠. 따.라.서. 서로 다른 $x$에서의 압력도 같게 됩니다!

결과적으로 저희가 얻은 것은 계 안에서 ${\partial P}/{\partial x} = 0$이라는 것! 이제 이것을 (5)번 식에 적용해 보죠. steady-state, 압력변화율이 0이고, 중력이 무시되며 $u_z=0$이므로 다음의 식을 얻게 됩니다!

$$u_x \frac {\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_x} {\partial y} = \frac {\mu}{\rho}\left( \frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2}\right) --- (9)$$

마지막으로 $\frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2}, \frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2}$ 의 크기를 비교해 봅시다.

$$\frac {\partial u_x}{\partial x} + \frac {\partial u_y}{\partial y} =0 ---(1)$$

(1)번 식을 $x$에 대해 편미분 하면
$$\frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 u_y}{\partial x \partial y} =0 ---(10)$$
위의 식에서 $\frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2}$는 $\frac {\partial^2 u_y}{\partial x \partial y}$와 부호만 다르지 크기는 같습니다. $u_y << u_x$, $|\Delta y|<< |\Delta x|$ 이므로 다음의 부등식이 성립합니다.
$$\left|\frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2}\right| =\left|\frac {\partial^2 u_y}{\partial x \partial y}\right| << \left |\frac {\partial^2 u_y}{\partial y^2} \right | << \left |\frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2} \right |$$

따라서 (9)번 식에서 $\frac {\partial^2 u_x}{\partial x^2}$을 무시할 수 있습니다. 드디어!!ㅜㅠ (2)번 식을 도출했습니다!
$$u_x \frac {\partial u_x}{\partial x} + u_y \frac {\partial u_x} {\partial y} = \frac {\mu}{\rho} \frac {\partial^2 u_x}{\partial y^2}---(2)$$

# CONCLUSION

이번 시간에는 대류에 의한 열전달에 본격적으로 들어가기 앞서 유체역학에서 사용되는 기본적인 balance equation을 세워보았습니다. medium(열전달 매체)이 움직이는 대류의 경우 유체역학의 개념들이 그대로 사용되기 때문에 제대로 알고 넘어가는 것이 좋습니다. 제일 좋은 것은 유체역학 책의 해당 부분을 다시 보는 것이겠지만, 만약 시간이 없다면 꼭 이 포스팅이라도 완벽 숙지할 수 있도록 합시다!! 그럼 다음에 또 새로운 연결고리를 가지고 찾아뵙겠습니다!