Unsteady state conduction in sphere (2)

Spherical coordinate에서의 $\theta$-direction conduction

# INTRODUCTION

지난 시간에는 spherical coordinate에서 반경 방향으로의 conduction에 대해서 알아보았습니다. 이제는 bessel function과 어느 정도 친해졌으리라 생각됩니다… (아닌가요?;;) 슬프지만 오늘은 bessel과 잠시 이별하고 새로운 친구, Legendre를 만나보려 합니다!

# 연결고리

<교과서 시작>
…
<교과서 끝>
???!!!

사실, 이번 주제도 교과서에서 다루지 않는 내용입니다.^^;; 왜 자꾸 쓸데 없는 것을 다루냐고요? ‘유비무환’이라는 말이 있잖아요? 알아둬서 나쁠 것은 없습니다! 기말 openbook 시험에서 쓸 날이 오길 기대하며 이번 시간에도 집중해서 자기 것으로 만들어 가길 바랍니다~

differential energy balance

spherical coordinate에서 heat generation이 없고, $\theta$방향으로의 conduction만 일어난다고 했을 때, differential energy balance eqn은 다음과 같습니다.

$$\frac {\partial t}{\partial \theta '} = \alpha \left[\frac{1}{r^2 sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(sin \theta \frac{\partial t}{\partial \theta} \right) \right]$$
식을 전개해보면
$$\frac {1}{r^2} \frac {\partial^2 t}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2} \frac {cos \theta}{sin \theta} \frac {\partial t}{\partial \theta} = \frac {1}{\alpha} \frac{\partial t}{\partial \theta '}$$
이제 이 미분방정식을 다음과 같은 Legendre’s eqn으로 바꿔 봅시다!
$$(1-x^2)y'' - 2xy' +n(n+1)y=0$$
$x= cos \theta$로 치환하면
$dx = -sin \theta d\theta$
$$\frac {\partial t}{\partial \theta} = \frac {\partial t}{\partial x} \frac{d x}{d\theta} = \frac {\partial t}{\partial x} (-sin \theta)$$
$$\frac {\partial^2 t}{\partial \theta^2 } = sin^2 \theta \frac{\partial^2 t}{\partial x^2} -cos \theta \frac {\partial t}{\partial x}$$

위와 같이 치환한 term들을 미분방정식에 대입하면,
$$\frac {1}{r^2} sin^2 \theta \frac {\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac {1}{r^2} (-2cos \theta) \frac{\partial t}{\partial x} = \frac {1}{\alpha} \frac{\partial t}{\partial \theta '}$$
여기서 $cos \theta = x$, $sin^2 \theta = 1- cos^2 \theta = 1-x^2$ 이므로
$$\frac {1}{r^2} (1-x^2) \frac {\partial^2 t}{\partial x^2} + \frac {1}{r^2} (-2x) \frac{\partial t}{\partial x} = \frac {1}{\alpha} \frac{\partial t}{\partial \theta '}$$
이와 같이 고칠 수 있습니다!

separation of variables

$$Let \,\, \,\, t = T(\theta ')X(x)$$
위에서 얻은 미분방정식에 $t$를 대입해서 편미분 해주면,
$$\frac {1}{r^2} (1-x^2) T\frac {d^2 X}{d x^2} + \frac {1}{r^2} (-2x)T \frac{dX}{dx} = \frac {X}{\alpha} \frac{d T}{d \theta '}$$
$TX$로 나누어 $x$에 대한 함수를 좌변, $\theta '$에 대한 함수를 우변으로 정리하면
$$\frac {1}{r^2 X} (1-x^2) \frac {d^2 X}{d x^2} + \frac {1}{r^2 X} (-2x) \frac{d X}{d x} = \frac {1}{\alpha T} \frac{d T}{d \theta '} = -a^2$$
양변은 각각 independent variable $x, \theta '$로 이루어져 있으므로 모든 변수에 대해 식이 성립하려면 상수로 같아야 합니다. 이 상수를 $-a^2$으로 두죠. 양변을 분리해서 따로 풀면

• $$\frac {dT}{d \theta '} + \alpha a^2 T =0 \, \, \, \to \, \, T=c_1 exp (-\alpha a^2 \theta ')$$
• $$(1-x^2) \frac {d^2 X}{dx^2} -2x \frac {dX}{dx} +r^2 a^2 X=0$$

자 어떤가요? cylinderical, spherical coordinate에서 반경 방향 conduction과 두번째 식에서 확연히 다름을 느끼셨나요? 이 두번째 식이 바로 앞에서 언급했던 Legendre’s eqn입니다. $n(n+1) = r^2 a^2$ 인 경우죠. 혹시 Legendre’s eqn을 푸는 방법을 알고 싶다면, 참새의 기초공학수학을 참고하세요!

# CONCLUSION

이번 시간에는 spherical coordinate에서 $\theta$방향 conduction이 Legendre’s eqn으로 나타남을 알아보았습니다. 이 eqn을 푸는 것은 (참새와 함께하는 기초)공학수학의 문제이므로 과감히 생!략! 하도록 하겠습니다. 혹시 꼭 이 문제를 해결하고 싶으신 분들은 Kreyszig 9th ed. pp.177~을 참고하시기 바랍니다.
지금까지 4번에 걸쳐 Unsteady state conduction에서 나올 수 있는 문제들을 다루어 보았습니다. 열전달은 전달 매체의 기하학적 모양에 따른 응용이 중요하다고(어렵다고…) 할 수 있습니다. 따라서 각 좌표계의 여러 방향에 대한 문제를 풀 수 있도록 익히고 또 익힙시다~! 그렇게 준비한다면 기말 open book 문제도 두렵지 않겠…죠?;;
그럼 다음 주에 새로운 주제로 찾아뵙겠습니다!