Unsteady-state conduction in cylinder (2)

어디까지 했나?

$$Y=T(\theta)N(r)=c_1 \exp(- \alpha a^2 \theta)(A J_0 (ar) +B Y_0 (ar))$$

I.C. at $\,$ $\theta \,$=0, $\,$ $Y=1$ $\cdots i$
B.C.’s at $\,$ $r=0$, $\,$ $\frac {\partial Y}{\partial r}=0$ $\cdots ii$
$\:$ $\:$ $\:$ $\,$ $\,$ at$\,$ $r=R$, $\,$ $Y=0$ $\cdots iii$

conduction in cylinder 잘 따라오고 계신가요???
이제부터 본격적으로 initial & boundary condition을 적용하여 해를 구해보도록 하겠습니다!

initial & boundary condition 적용

조건 iii을 먼저 사용하면 $r=0$ 일때,
$$\frac {\partial Y}{\partial r} = -c_1 \exp(-\alpha a^2 \theta) (Aa J_1 (ar) + Ba Y_1 (ar)) = 0$$
갑자기 bessel function을 미분하라니까 깜짝 놀라셨죠?
bessel function 미분은 다음과 같이 할 수 있습니다.

$x \frac {d}{dx} J_k (ax) = k J_k (ax) - ax J_{k+1} (ax)$
$x \frac {d}{dx} Y_k (ax) = k Y_k (ax) - ax Y_{k+1} (ax)$
$r \frac {d}{dr} J_0 (ar) = -a rJ_1 (ar) \to \frac {d}{dr} J_0 (ar) = -a J_1 (ar)$
$r \frac {d}{dr} Y_0 (ar) = -a rY_1 (ar) \to \frac {d}{dr} Y_0 (ar) = -a Y_1 (ar)$

여기서 $r=0$일때, $J_1 (0) = 0$, $Y_1 (0) \to - \infty$ 이므로(Kreyszig 9/e 부록 A94 참고)
조건을 만족하기 위해서는 $B =0$ 이어야 함을 알 수 있습니다.
($c_1$이 0이 되면 $Y$의 일반해를 구할 수가 없는 건 체크하셨죠?)
따라서 $Y =c_1 A \exp(- \alpha a^2 \theta)J_0 (ar)$ 이 됩니다.

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조건 ii를 사용하면 $r=R$ 일때,
$Y =c_1 A \exp(- \alpha a^2 \theta)J_0 (aR)=0$
위에서 언급했던 것과 마찬가지로 $c_1 A \neq 0$ 이므로 $J_0 (aR)=0$ 이어야 함을 알 수 있습니다.
자 드디어 우리가 임의로 정해주었던 상수 $a$의 값을 결정할 수 있게 되었습니다!!
$J_0 (aR)=0$을 만족하는 i번째 $a$를 $a_i$라고 하기로 하죠.
$Y$를 일반해로 나타내기 위해서는 모든 i에 대해서 무한급수의 합으로 나타내어야 합니다!
따라서 $$Y = \sum_{i=1}^{\infty} A_i \exp(- \alpha a_i^2 \theta)J_0 (a_i r)$$

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(드디어 마지막!!!) 조건 i를 사용하면 $\theta =0$ 일때, $Y=1$
$$1 = \sum_{i=1}^{\infty} A_i J_0 (a_i r)$$
자 여기까지 오시느라 참 힘드셨죠. 이제 뭐지? 하는 느낌으로 보실 수도 있어요.
우리는 bessel function의 orthogonality를 사용할텐데요.
(여유가 된다면 Sturm-Liouville eqn을 만족하는 미분방정식들의 해가 모두 orthogonality를 보인다는 것을 보여드리고 싶지만, 여기서는 Kreyszig 9/e p.205~209을 참고하라는 말로 넘어가겠습니다.)
일단은 테크닉을 익힌다는 느낌으로 따라오시면 될 것 같아요.
먼저 주어진 식 양변에 $a_j r J_o (a_j r)$을 곱하고 $0\leq r \leq R$에 대해 적분을 합니다.
$$\int_0^R a_j r J_0 (a_j r) dr = \sum_{i=1}^{\infty} A_i \int_0^R a_j r J_0 (a_j r) J_0 (a_i r) dr$$
너무 복잡하니까 좌변과 우변을 따로 보도록 할게요.

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우선 좌변은
$$\int_0^R a_j r J_0 (a_j r) dr = R J_1 (a_j R)-0$$
by $$\int ax^k J_{k-1} (ax) dx = x^k J_k (ax)$$
위의 식은 bessel function의 적분공식이에요. 이건 어쩔 수 없습니다…ㅠ

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우변은 다음 bessel function의 적분공식들을 이용해야 합니다…
$a_i$ 와 $a_j$의 관계에 따라
$a_i \neq a_j$ 일때, $$\int_0^c x J_p (ax) J_p (bx) dx = \frac {c}{b^2-a^2} \left(aJ_p(bc)J_{p+1}(ac)-bJ_p(ac)J_{p+1}(bc)\right)$$
$a_i = a_j$ 일때, $$\int_0^1 xJ_p^2 (ax) dx = \frac {J_{p+1}^2 (a)}{2}$$
(이 공식들은 단순히 적분 성질로부터 나오는 것이 아니라 매우 조잡조잡한 과정을 통해 유도된다고 해요.(Kreyszig 曰) 부디 저처럼 이걸 유도해보려고 하지 않길…ㅠ)

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자 이제 차례대로 구해보면,
$a_i \neq a_j$ 일때, 우변은 적분만 고려한다면 다음과 같이 됩니다.
$$\int_0^R rJ_0 (a_j r) J_0 (a_i r)dr = \frac {R}{a_i^2-a_j^2} \left(a_j J_0 (a_i R)J_1 (a_j R)-a_i J_0 (a_j R)J_1(a_i R)\right)$$
여기서 질문 하나 할까요?
아까 $a_i$ 들을 어떻게 결정한다고 했을까요~~?
잘 기억하고 여기까지 오신 분들은 아시겠지만, $J_0 (a_i R) =0$ 으로 만드는 상수였죠?
따라서 우변은 $J_0 (a_i R) =0$ ,$\,$ $J_0 (a_j R) =0$ 에 의해 0이 됩니다.
$a_i = a_j$ 일때, 우변은 다음과 같습니다.
$$a_j\int_0^R rJ_0^2 (a_j r)dr$$
위에서 언급한 적분 공식을 사용하기 위해 식을 $r=Rx$로 치환하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$a_j R^2 \int_0^1 xJ_0^2(a_j R x)dx = \frac {a_j R^2 J_1^2 (a_j R)}{2}$$

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따라서 좌변은 아까 저 위에서 구했듯이 다음과 같고
$$\int_0^R a_j r J_0 (a_j r) dr = R J_1 (a_j R)$$
우변은 다음과 같습니다.
$$\sum_{i=1}^{\infty} A_i \int_0^R a_j r J_0 (a_j r) J_0 (a_i r) dr = A_j \frac {a_j R^2 J_1^2 (a_j R)}{2}$$
(summation이 왜 사라졌냐고요? 아까 $i \neq j$ 인 i에 대해서는 적분값이 0이었던 거 잊었나요??)
자 드디어 우리는 상수 A_j를 구할 수 있게 되었습니다. 좌변 = 우변으로 계산해 주면
$$R J_1 (a_j R) = A_j \frac {a_j R^2 J_1^2 (a_j R)}{2}$$
$$A_j = \frac {2}{R a_j J_1 (a_j R)}$$

후~ 따.라.서. 두둥!!
$$\frac {t_s -t}{t_s - t_0} = Y = \sum_{j=1}^{\infty} \frac {2}{Ra_j J_1(a_j R)} exp(- a_j^2 \alpha \theta)J_0 (a_j r)$$

<연결 끝>
수고하셨습니다:)

# CONCLUSION

처음이라 어떤 내용부터 건드려야 할지 막막 했어요. 그래도 제가 공부하면서 이건 아니다 싶은 것을 선정했는데, 많이 도움 되었으면 좋겠습니다.
수식이 좀 많아서 한번에 이해하기 오래 걸리셨을 텐데,,, 다 이해되셨나요?ㅜ 혹시라도 이해 안된 것이 있다면 바로바로 댓글로 물어봐 주세요~ 답변 해드리겠습니다~

그럼 다음 주에 더 알차게 연결해드리도록 하겠습니다!

감사합니다!