Unsteady-state conduction in cylinder (1)

conduction in cylinder

# INTRODUCTION

오늘은 열전달을 하면서 처음으로 멘붕에 빠졌던 문제를 다뤄볼까 합니다. Bennett & Myers 19장 unsteady-state conduction 문제 중 cylinder에서 r-direction으로 열이 전달되는 상황입니다.
교과서를 잠시 살펴보시면,

<교과서 시작>
$$\frac {\partial t}{\partial \theta \,'}=\alpha \frac{1}{r} \frac {\partial}{\partial r}(r\frac{\partial t}{\partial r})$$

I.C. at $\,$ $\theta \,'$=0, $\,$ $t=t_0$
B.C.’s at $\,$ $r=0$, $\,$ $t=finite,$ $\,$ $\frac {\partial t}{\partial r}=0$
$\:$ $\:$ $\:$ $\,$ $\,$ at$\,$ $r=R$, $\,$ $t=t_s$

$$\frac {t_s -t}{t_s - t_0} = \frac {2}{R} \sum_{i=1}^{\infty} \frac {e^{-a_i^2 k \theta / \rho C_p}}{a_i J_1 (a_i R)}J_0 (a_i r)$$
<교과서 끝>
What the..f… 하하하하하하하하하하하
Bennett & Myers 참 재밌는 책이에요~ㅡㅡ;;
(넌 나에게 모멸감을 줬어….ㅜㅜ)
어쨌든 연결 시작해 보겠습니다~!

# 연결고리

교과서에서 가정하고 있는 cylinder는 지름에 비해 길이가 길고, $\theta$ 방향으로의 conduction은 이루어지지 않는 상태입니다. 따라서 stationary phase, cylindrical coordinates energy balance 에서 $\theta$ 와 $z$ 에 대한 term이 무시되어 준 미분방정식이 됩니다.
$$\frac {\partial t}{\partial \theta \,'}=\alpha (\frac{1}{r} \frac {\partial}{\partial r}(r\frac{\partial t}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 t}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 t}{\partial z^2})$$

*no variation in $\theta$
*L $\gg$ R

$$\to \frac {\partial t}{\partial \theta \,'}=\alpha \frac{1}{r} \frac {\partial}{\partial r}(r\frac{\partial t}{\partial r})$$

I.C. at $\,$ $\theta \,'$=0, $\,$ $t=t_0$
B.C.’s at $\,$ $r=0$, $\,$ $t=finite,$ $\,$ $\frac {\partial t}{\partial r}=0$
$\:$ $\:$ $\:$ $\,$ $\,$ at$\,$ $r=R$, $\,$ $t=t_s$

주어진 미분방정식을 풀어봅시다!

Separation of variables

$$Let \: \: Y= \frac{t_s-t}{t_s-t_0}$$
주어진 미분방정식에서 $t$를 $\,Y$에 대해 나타내면
$$\frac {\partial t}{\partial \theta \,'}= \frac {\partial t}{ \partial Y} \frac{\partial Y}{\partial \theta \,'} = (t_0 -t_s) \frac {\partial Y}{\partial \theta \, '}$$
$$\frac {\partial t}{\partial r} =(t_0 -t_s) \frac {\partial Y}{\partial r}$$
$$\frac {\partial^2 t}{\partial r^2} =(t_0 -t_s) \frac {\partial^2 Y}{\partial r^2}$$
$$\frac {\partial^2 Y}{\partial r^2}+\frac {1}{r} \frac {\partial Y}{\partial r} = \frac {1}{\alpha} \frac{\partial Y}{\partial \theta \, ' }$$
자 이제 ‘separation of variables’ 방법을 이용합니다.
(앞으로의 논의에서 $\theta \, '$대신 $\theta$ 를 사용하겠습니다.)
$$Let \: Y = T(\theta) \, N(r)$$
위에서 얻은 미분방정식에 $Y$를 대입해서 편미분 하면,
$$T \frac {d^2 N}{d r^2}+\frac {T}{r} \frac{dN}{dr}= \frac {N}{\alpha} \frac {dT}{d \theta}$$
$r$에 대한 함수를 좌변, $\theta$에 대한 함수를 우변으로 정리해주면
$$\frac {1}{N} \frac {d^2 N}{d r^2}+\frac {1}{rN} \frac{dN}{dr}=\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{d \theta} = -a^2$$
양변은 각각 independent variable $r, \theta$로 이루어져 있으므로 모든 변수에 대해 같으려면 상수로 같아야 합니다. 이 상수를 $-a^2$이라 두죠.
양변을 분리해서 따로 풀면

• $$\frac {dT}{d \theta} + \alpha a^2 T =0 \, \, \, \to \, \, T= c_1 \exp(- \alpha a^2 \theta)$$
• $$r^2 \frac {d^2 N}{d r^2} +r \frac {dN}{dr} +r^2 a^2 N =0$$

첫 번째 미분방정식은 적분 한번이면 쉽게 해를 구할 수 있지만, 두 번째 미분방정식은 Bessel function을 이용해서 풀어야 합니다ㅠㅠ

(+)개념 설명 - Bessel? 먹는건가?

자, 먹는거 아니고요ㅜㅜ
약간의 개념을 소개하자면,
$$x^2 \frac {d^2 y}{d x^2} +x \frac {dy}{dx}+(x^2 -k^2)y =0$$ : Bessel’s equation of order k
이것의 해는 $y= A \, J_k (x) + B \, Y_k (x)$ 으로 우리는 2학년 때 공학수학 시간에 Frobenius 방법으로 풀었다고 합니다….
(저도 2학년 2학기, 군대 2년, 3학년 1학기, 3년 동안 훌훌 털어버리고 이번에 다시 공부했습니다!!)
자 여기서 1종 bessel function은 $$J_k (x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m (\frac {1}{2}x)^{2m+k}}{m! \Gamma (m+k+1)}$$ 인데, 이거 암기할 필요 없습니다:) 혹시라도 2종 bessel function $Y_k (x)$에 대해 알고 싶으시다면 Kreyszig 9/e 5장 5.5, 5.6절에 잘 나와 있으니 참고하세요!

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자 다시 우리가 풀고 있던 미방으로 돌아오면,
$$r^2 \frac {d^2 N}{d r^2} +r \frac {dN}{dr} +r^2 a^2 N =0 \to \, k=0, x= ar$$
의 bessel equation 이라는 것을 알 수 있습니다.
따라서 $N = A J_0 (ar) +B Y_0 (ar)$ 로 쓸 수 있고, 우리가 구하고자 하는 Y는 다음과 같이 됩니다.
$$Y=T(\theta)N(r)=c_1 \exp(- \alpha a^2 \theta)(A J_0 (ar) +B Y_0 (ar))$$
Initial & Boundary condition 들은 다음과 같이 바뀌겠죠?

I.C. at $\,$ $\theta \,$=0, $\,$ $Y=1$ $\cdots i$
B.C.’s at $\,$ $r=0$, $\,$ $\frac {\partial Y}{\partial r}=0$ $\cdots ii$
$\:$ $\:$ $\:$ $\,$ $\,$ at$\,$ $r=R$, $\,$ $Y=0$ $\cdots iii$

# To be continued

여러분 힘내세요! 이제 푸는 일만 남았습니다!
Unsteady-state conduction in cylinder (2)에서 본격적으로 풀어보도록 하겠습니다.(마음 단단히 먹고 오시길!!!)