Two-dimensional conduction and convection by numerical method

Two-dimensional conduction & convection by numerical method

# INTRODUCTION

이번 시간에는 numerical method를 다뤄보려 합니다. 물론 교과서에서 잘 다루고 있지만 아쉽게도 convection을 배우기 전에 나오다 보니 convection과 conduction이 함께 나오는 경우에 대해서는 다루지 않고 있습니다. 그래서 이번 기회에 convection과 conduction이 동시에 작용하는 경우에는 어떻게 식을 세워야 하는지에 초점을 맞추어 공부해보도록 하겠습니다.

# 연결고리

<교과서 시작>

교과서에서는 heat generation이 없고 steady state인 copper plate에서의 열전달을 numerical method로 푸는 예를 보여주는데요. 2차원 평면에 대해 0번 점에 대해서 differential energy balance를 세워서 풀 수 있습니다. 이때 모든 평면이 copper로 되어 있기 때문에 conduction에 의해서만 열전달이 일어난다고 할 수 있으므로 다음과 같이 0번점에서 residual $q_0 '$을 구할 수 있습니다.
$\Delta z$ 를 copper의 두께라고 하면,
$$q_{10} = k \Delta z \Delta x \frac {t_1 -t_0}{\Delta y}$$
$$q_{20} = k \Delta z \Delta y \frac {t_2 -t_0}{\Delta x}$$
$$q_{03} = k \Delta z \Delta x \frac {t_0 -t_3}{\Delta y}$$
$$q_{04} = k \Delta z \Delta y \frac {t_0 -t_4}{\Delta y}$$

(참고로, $q_{10}$은 1번 점에서 0번점으로 흐르는 heat transferate을 의미합니다. 이 방향은 온도가 높은 곳에서 낮은 곳으로 열이 흐르도록 정해주면 되는데, 임의로 정해도 결과적으로는 똑같습니다^^)
이제 in-out + generation = accumulation 식에 넣으면,
generation = accumulation = 0, $\Delta x = \Delta y$이므로
$$q_{10} + q_{20} - q_{03} - q_{04} = k \Delta (t_1 +t_2 + t_3 +t_4 -4t_0)$$
$$q_0 ' = \frac { q_{10} + q_{20} - q_{03} - q_{04} } {k \Delta z} = t_1 +t_2 + t_3 +t_4 -4t_0$$
<교과서 끝>

자 이제는 다음 그림과 같이 한쪽이 공기와 접하고 있는 면에서의 conduction과 convection 모두를 고려하여 0번 점에서 differential energy balance를 세워 봅시다.

1, 2, 3번 점과 0번은 모두 copper 위에 있기 때문에 이들 점 사이에서는 conduction에 의한 열전달이 일어나고, 0번과 4번 사이에서는 air를 매체로 convection에 의한 열전달이 일어납니다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$q_{10} = k \Delta z \frac {\Delta x}{2} \frac {t_1 -t_0}{\Delta y}$$
$$q_{20} = k \Delta z \Delta y \frac {t_2 -t_0}{\Delta x}$$
$$q_{03} = k \Delta z \frac{\Delta x}{2} \frac {t_0 -t_3}{\Delta y}$$
$$q_{04} = h \Delta z \Delta y (t_0 - t_{\infty})$$
여기서 $q_{10}, q_{03}$ 에서 단면적 term 중 $\frac {\Delta x}{2}$이 들어간 이유는 air 부분에서는 conduction이 일어나지 않기 때문입니다.(엄밀히 말하자면 air에서의 conduction은 copper에서 일어나는 열전달에 비해 매우 작기 때문에 무시가능합니다.)
따라서 위의 식들을 in-out+generation = accumulation 식에 대입하면,
generation = accumulation = 0, $\Delta x = \Delta y$이므로
$$q_0 ' = \frac {q_{10} + q_{20} - q_{03} - q_{04}}{k \Delta z} = \frac {t_1 +2t_2 +t_3 -4t_0}{2} + h \frac {\Delta y}{k} (t_{\infty} -t_0)$$

이와 같은 방법으로 각 포인트들(1, 2, 3, 4점)의 residual를 구하고, k와 h의 값의 비와 $\Delta y$를 안다면 numerical method로 각 포인트에서의 온도를 알 수 있겠죠?! 하지만 그것은 컴퓨터가 하도록 두고 저희는 여기까지 열심히 공부한 것에 대해 자축합시다!
와! 짝짝짝!!!

# CONCLUSION

이번 시간에는 2차원에서 conduction과 convection이 일어나는 copper plate에 대해 numerical 식을 어떻게 도출해낼 수 있는지에 대해 알아보았습니다. numerical method는 우리가 흔히 다루기 쉬운 기하학적 모양을 넘어서서 다양한 구조의 열전달 매체에 대해서 heat transferate, $q$를 구할 수 있도록 해줍니다. 즉, 이 방법을 잘 알고, 계산기를 엄청나게 두드릴 준비가 되었다면 거의 모든 문제를 풀 수 있다는 것을 의미합니다. 단, 각 노드에서의 differential energy balance를 잘 세워야 겠죠?! 그래서 이번 시간에 배운 것이 아주 아주 아주 중요합니다~! 꼭 잘 익히세요~ (시험때도 잘 쓰시길 바랍니다!)
그럼 다음 주에 봐요~!