Unsteady-state conduction in sphere (1)

Spherical coordinate에서의 r-direction conduction

# INTRODUCTION

저번 주에는 cylindrical coordinate에서 반경방향으로의 conduction에 대해서 알아보았습니다. bessel function을 이용해서 미분방정식을 풀었는데, 기억나….죠??;; 만약 기억이 나신다면, 오늘 구에서의 열전달도 똑같은 방법을 사용하기 때문에 더 쉽게 이해할 수 있을거에요. (spherical coordinate에서 r 방향 열전달은 원통형과 똑같이 bessel function을 이용하여 풀 수 있습니다.) 하지만 약간의 식 변형을 통해 bessel eqn을 만들어 주는 것이 중요한데요. 이번 시간에는 그 방법에 대해알아보겠습니다.

#연결고리

<교과서 시작>
…
<교과서 끝>
???!!!

사실, 이번 내용은 교과서에 없는 내용입니다^^;;
하지만 열전달이라는 과목이 열전달 매체의 기하하적 특성에 따른 응용이 중요한 만큼 가볍게 다뤄보도록 하겠습니다.

differential energy balance

spherical coordinate 에서 heat generation이 없고, 반경 방향으로의 conduction만 일어난다고 하였을때, differential energy balance eqn 은 다음과 같습니다.
$$\frac {\partial t}{\partial \theta '} = \alpha \left[ \frac {1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac {\partial t} {\partial r} \right) \right]$$
$$Let \: \: Y= \frac{t_s-t}{t_s-t_0}$$
주어진 미분방정식에서 $t$를 $\,Y$로 나타내면
$$\frac {\partial t}{\partial \theta \,'}= \frac {\partial t}{ \partial Y} \frac{\partial Y}{\partial \theta \,'} = (t_0 -t_s) \frac {\partial Y}{\partial \theta \, '}$$
$$\frac {\partial t}{\partial r} =(t_0 -t_s) \frac {\partial Y}{\partial r}$$
$$\frac {\partial^2 t}{\partial r^2} =(t_0 -t_s) \frac {\partial^2 Y}{\partial r^2}$$
$$\frac {\partial^2 Y}{\partial r^2}+\frac {2}{r} \frac {\partial Y}{\partial r} = \frac {1}{\alpha} \frac{\partial Y}{\partial \theta \, ' }$$

separation of variables

자 이제 ‘separation of variables’ 방법을 이용합니다.
(앞으로의 논의에서 $\theta \, '$대신 $\theta$ 를 사용하겠습니다.)
$$Let \: Y = T(\theta) \, N(r)$$
위에서 얻은 미분방정식에 $Y$를 대입해서 편미분 하면,
$$T \frac {d^2 N}{d r^2}+\frac {2T}{r} \frac{dN}{dr}= \frac {N}{\alpha} \frac {dT}{d \theta}$$
$TN$으로 나누어 $r$에 대한 함수를 좌변, $\theta$에 대한 함수를 우변으로 정리하면
$$\frac {1}{N} \frac {d^2 N}{d r^2}+\frac {2}{rN} \frac{dN}{dr}=\frac{1}{\alpha T}\frac{dT}{d \theta} = -a^2$$
양변은 각각 independent variable $r, \theta$로 이루어져 있으므로 모든 변수에 대해 같으려면 상수로 같아야 합니다. 이 상수를 $-a^2$이라 두죠.
양변을 분리해서 따로 풀면

• $$\frac {dT}{d \theta} + \alpha a^2 T =0 \, \, \, \to \, \, T= c_1 \exp(- \alpha a^2 \theta)$$
• $$r^2 \frac {d^2 N}{d r^2} +2r \frac {dN}{dr} +r^2 a^2 N =0$$

cylindrical coordinate에서 도출한 식과의 차이를 파악하셨나요?
두 번째 식에서 두번째 항에 2가 곱해져 있다는 거!! 이 숫자 2 때문에 우리는 앞에서 배운 bessel function을 바로 써먹을 수가 없습니다…

bessel eqn으로 변형

$$r^2 \frac {d^2 N}{d r^2} +2r \frac {dN}{dr} +r^2 a^2 N =0$$
자 그럼 위의 미분방정식을 아래와 같은 bessel eqn으로 만들어 봅시다!
$$x^2 \frac {d^2 y}{d x^2} +x \frac {dy}{dx}+(x^2 -k^2)y =0$$

$Let N = r^k y$
$\frac {\partial N}{\partial r} = kr^{k-1} y + r^k \frac {\partial y} {\partial r}$
$\frac {\partial^2 N}{\partial r^2} = k(k-1)r^{k-2} y +2kr^{k-1}\frac {\partial y}{\partial r} + r^k \frac{\partial^2 y}{\partial r^2}$

이것들을 원래 미분방정식 $r^2 \frac {d^2 N}{d r^2} +2r \frac {dN}{dr} +r^2 a^2 N =0$에 대입하면,
$$k(k-1)r^{k-2} y + 2kr^{k+1}\frac {\partial y}{\partial r} + r^{k+2} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} +2kr^k y +2r^{k+1} \frac {\partial y}{\partial r} +a^2 r^{k+2} y =0$$

정리하면

$$r^{k+2} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} +2(k+1)r^{k+1} \frac {\partial y}{\partial r} +r^k \left(a^2 r^2 +k(k+1) \right) =0$$
$$r^{2} \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} +2(k+1)r \frac {\partial y}{\partial r} + \left(a^2 r^2 +k(k+1) \right) =0$$
이 식이 bessel eqn과 같아지려면 두 번째항의 계수 $2(k+1)=1$ 이면 되겠죠?! 따라서 $k= - \frac {1}{2}$ 이면 준 미분방정식은 다음과 같은 bessel eqn이 됩니다! WOW!
$$r^2 \frac{\partial^2 y}{\partial r^2} + r\frac {\partial y}{\partial r} +(a^2r^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2)y =0$$
그럼 이제 bessel eqn의 일반해 $y= A J_{\frac {1}{2}}(ar) + B Y_{\frac{1}{2}}(ar)$ 로 놓을 수 있겠죠?
위에서 $N = r^k y$ 라고 했으니, $N$ 은 다음과 같습니다.
$$N = r^{-0.5} \left( A J_{\frac {1}{2}}(ar) + B Y_{\frac{1}{2}}(ar) \right)$$

# CONCLUSION

이제 일반해의 각 계수들을 결정하는 일이 남았습니다. 하지만 이것은 원통형일 때와 매우매우 유사하기 때문에 굳이 하지 않겠습니다. 한가지 차이라고 한다면 bessel function 들의 차수가 $\frac {1}{2}$ 라는 건데요. 0에서의 함숫값과 미분값만 주어진다면 conduction in cylinder 와 아주 똑~~같이 풀 수 있습니다. 혹시 도전하고 싶은 분들은 bessel function 들의 값을 찾아보면서 풀어보시기 바랍니다~ 그럼 다음 주에 뵙죠!