Double pipe heat exchanger

double pipe heat exchanger

# INTRODUCTION

이번 시간에는 overall heat transfer coeffcient, $U_0$의 응용부분인 double pipe heat exchanger에 대해 다뤄보려 합니다. double pipe는 관 안에 또 다른 관이 있는 형태를 말하고, heat exchanger는 열교환을 시켜주는 장치입니다. 따뜻한 물을 이용해서 방바닥을 따뜻하게 해주는 보일러도 일종의 heat exchanger를 이용한 장치라고 할 수 있죠. heat exchanger는 27단원에서 본격적으로 나오는데요. 이에 앞서 Bennett-Myers 책 21단원에서 double pipe heat exchanger의 heat transferate, $q$를 구하는 식을 유도하고 있습니다. 그러니 이번 시간에 제대로 배워서 나중에 27단원에서 확실히 알고 쓸 수 있도록 합시다! 자 그럼 시작해 봅시다~~

# 연결고리

<교과서 시작>


교과서에서는 위와 같은 그림을 통해 double pipe heat exchanger를 간단하게 표현했습니다. 그림에서 $t_c$, $t_h$는 각각 차가운 유체와 뜨거운 유체의 bulk 온도를 의미하고(mixing cup temperature라고도 하죠?), $w_c$, $w_h$는 각 유체의 mass flow rate를 의미합니다. 그리고 이를 바탕으로 다음과 같은 식들을 세웠습니다.
$$dq = w_c C_{pc} dt_c =w_h C_{ph} dt_h =U_0 (t_h -t_c ) dA_0$$
식들에 대해 하나씩 살펴보면, 첫 번째 등호는 차가운 유체가 전달받은 열은 차가운 유체의 온도를 증가시키는데 쓰였다는 것을 의미하고요. 두 번째 등호는 뜨거운 유체로부터 열이 빠져나가 온도가 감소했다는 것을 나타냅니다. 그리고 세 번째 식은 우리가 배웠던 overall heat transfer coefficient를 이용한 식으로 outside tube area ($A_0$)를 기준으로 한 $U_0$를 사용하여 나타낸 식입니다.

이를 바탕으로 다음과 같은 식이 유도된다고 합니다….
$$\frac{d (\Delta t)}{dq} = \frac { \Delta t_2 - \Delta t_1}{q}$$
<교과서 끝>

위의 주어진 식. 그냥 외운다면 시험 때 잊어버릴 수가 있습니다. 이런 거 그냥 넘어가지 말고 한 번 유도해 봐야됩니다! 만약 안 되더라도 되는지 찔러나 봐야죠^^ 그럼 저랑 같이 한 번 해 봅시다!

식 유도

$$\frac{d (\Delta t)}{dq} = \frac { \Delta t_2 - \Delta t_1}{q}$$
자 먼저 위의 식에 있는 문자들을 살펴보면,
$\Delta t$ = $t_h - t_c$를 의미하고 $\Delta t_i$ = $t_{hi} - t_{ci}$ 로 위의 그림에서 i번으로 자른 단면에서의 각 유체에서의 bulk 온도 차이를 나타냅니다.
그럼 좌변부터 시작해볼까요?
$$d(\Delta t) = dt_h - dt_c$$
교과서에서 언급한 다음의 식으로 부터 $dt_h$, $dt_c$를 구하면,
$$dq = w_c C_{pc} dt_c =w_h C_{ph} dt_h$$
$$dt_h = \frac{dq}{w_h C_{ph}}$$
$$dt_c = \frac{dq}{w_c C_{pc}}$$
따라서
$$d(\Delta t) = dq \left(\frac{1}{w_h C_{ph}} - \frac{1}{w_c C_{pc}} \right) *** 식 (a)$$
다시 다음의 식으로부터 $C_{ph}, C_{pc}$가 일정하다고 가정하고 단면 1에서 단면 2까지 적분하면,
$$dq = w_c C_{pc} dt_c =w_h C_{ph} dt_h$$
$$q = w_h C_{ph} (t_{h2}-t_{h1})$$
$$q = w_c C_{pc} (t_{c2}-t_{c1})$$
(적분 구간 주의해야 겠죠! q가 양수가 되도록 범위를 정해주세요~)
$$w_h C_{ph} = \frac {dq}{t_{h2}-t_{h1}}$$
$$w_c C_{pc} = \frac {dq}{t_{c2}-t_{c1}}$$

이를 식 (a)에 대입하면,
$$d(\Delta t) = \frac{dq}{q} \left(t_{h2}-t_{h1} - t_{c2}+t_{c1}\right)=\frac{dq}{q}\left(\Delta t_2-\Delta t_1\right)$$
아니 이건!!!
$$\frac{d (\Delta t)}{dq} = \frac { \Delta t_2 - \Delta t_1}{q}$$
유도 끝!!

# CONCLUSION

위의 식을 이용하여 double pipe heat exchanger에서 다음의 식을 유도하는 것은 교과서에 매우매우 잘 나와있습니다.
$$q = U_0 A_0 \left[ \frac { \Delta t_2 - \Delta t_1}{ln (\Delta t_2 / \Delta t_1 )} \right]$$
그래서 저는 여기까지 다루고 이번 내용을 마무리하려고 합니다. 별로 어렵지 않으니 Bennett & Myers 책을 따라서 꼭 유도해보세요. 다만 주의해야하는 것은 이 식을 유도하는 과정에서 $U_0$를 constant라고 가정한 것인데요. 만약 $U_0$ 가 상수가 아닌 경우에는 어떻게 적분이 되는지 한 번 도전해보는 것도 좋은 공부가 될 듯 하네요. (물론 책에 있습니다:))

그럼 다음에 또 다른 연결고리를 가지고 찾아뵙겠습니다~!!