Average coefficient in pipe flow

average coefficients in pipe flow

# INTRODUCTION

이전 포스팅에서 보았다시피, 대류에서의 열전달이 어떻게 일어나는지 구할 때마다 continuity equation, Navier-Stokes equations, differential energy balance를 연립해야 한다면 아주 간단한 시스템이라 해도 진이 빠질 수 있겠죠? 그래서 공학자들은 보다 효율적으로 대류열전달 계수 h를 구하기 위해 각 시스템에 대해 empirical 식들을 구해놓았습니다. 저희는 이를 이용하기만 하면 간단하게 열전달이 어떻게 일어날 지 예측할 수 있습니다. 그런데 이 empirical 식들은 보통 local coefficient($h_x$)가 아닌 average coefficients($h_m$)이기 때문에 사용할 때 주의사항이 있습니다. 이번 시간에는 특히 pipe flow에서 어떤 점을 주의해야 하는지에 대해 알아보도록 하겠습니다!

# 연결고리

<교과서 시작>

pipe flow에서 산술평균으로 구한 average coefficient와 heat transfer rate의 관계는 다음과 같습니다.
$$q = h_a A \frac {(t_s - t_o) + (t_s -t_{b2})}{2}$$
$$q = w C_p (t_{b2}-t_0)$$
위의 두 식은 같으므로 다음이 성립합니다.
$$\frac {h_a D}{k} = \frac{2w C_p}{\pi k L} \frac{t_{b2} - t_0}{(t_s - t_0) + (t_s - t_{b2})}$$
$h_a$를 정의하는 또 다른 방식은 다음과 같습니다.
$$\frac {q}{\pi D} = h_a L (t_s - t_0)_a = \int_0^L h_x (t_s - t_b) dx$$

<교과서 끝>

교과서에서는 arithmetic mean coefficient에 대해서만 구하는 방법을 제시해주고, log mean coefficient에 대해서는 단지 산술평균과의 차이가 무엇인지 정도로만 언급하고 있습니다. 하지만 뒷장에서 사용하는 대부분의 empirical 식들은 log mean coefficient이므로 log mean coefficient가 어떻게 정의되는지 반드시 알아야 합니다.

log mean?

먼저 산술평균에 대해서는 잘 아실테지만, log mean은 처음 들어보신 분이 많으실 거에요.
진짜요?ㅎㅎㅎㅎ (처음 들어보셨다면 앞 장들을 제대로 공부하지 않으신거 같은데ㅜ) 사실 한 번 본 적은 있어요. cylinder에서 전도 열 전달 저항을 $\Delta r / kA_{lm}$로 구한 것 기억하시나요? 여기서 $A_{lm}$이 바로 log mean area입니다.

길이 L인 원통에서 반지름이 $r_1$ 일 때의 heat transfer의 normal한 면적이 $A_1 = \pi (2r_1) L$이고 반지름이 $r_2$ 일 때의 면적이 $A_2 = \pi (2r_2) L$ 이라고 하면 $A_1, A_2$ 의 log mean area는
$$A_{lm} = \frac {A_2 - A_1}{ln(A_2/A_1)}$$ 로 구할 수 있었습니다.

log mean coefficient

대류 열전달에서 heat transfer rate $q = hA(t_s-t_m)$인 것은 다 아시죠? $q$의 부호가 양수가 되도록 $t_s$와 $t_m$의 위치를 정해줘야해요. 저는 pipe 내벽의 온도가 유체의 온도보다 더 높다고 할 것이므로 유체의 온도 $t_m$을 빼주었습니다.

위의 그림과 같이 관 내벽 온도가 $t_s$로 일정한 pipe에서 radial heat transfer에 normal한 아주 작은 미소면적 $\pi D dx$에 대해 heat transfer rate은 $dq = h_x \pi D dx (t_s - t_b(x))$ 으로 쓸 수 있습니다. 이 때 $h_x$는 local coefficient이고 $t_b(x)$는 위치 $x$에 따라 달라지는 유체의 bulk 온도입니다. 그리고 이렇게 표면으로부터 얻은 열은 $x$위치에 있던 유체가 받아서 $x+ d x$위치로 이동하기 때문에 $dq = w C_p (t|_{x+d x} - t|_{x})$ 의 식을 세울 수 있습니다.($w = \rho u_b \pi D^2 /4$의 mass flow rate, $C_p$는 비열)

따라서 $$dq = h_x \pi D dx (t_s - t_b(x)) = w C_p (t|_{x+dx} - t|_{x})$$
$$h_x = \frac {w C_p}{\pi D} \frac {1}{t_s - t_b} \frac {dt_b}{dx} \cdots 식(1)$$
log mean coefficient는 산술평균과 비슷하게 다음과 같이 정의됩니다.
$$q = h_m \pi D L (t_s - t_b)_{lm} = \pi D \int_0^L h_x (t_s - t_b) dx$$
$$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\: = \int_{t_0}^{t_{b2}} w C_p d{t_b}$$

여기서

• pipe 입구로 들어가는 유체의 bulk 온도 $t_0$
• pipe 내벽의 표면 온도 $t_s$
• pipe 출구에서의 유체의 bulk 온도 $t_{b2}$

$$(t_s -t_b )_{lm} = \frac {(t_s - t_0) - (t_s - t_{b2})}{ln(\frac{t_s-t_0}{t_s - t_{b2}})}$$
이므로 log mean coefficient는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$h_m = \frac {w C_p}{\pi D L} ln ( \frac{ts-t_0}{t_s - t_{b2}}) \cdots 식 (2)$$

다른 방식으로는 log mean으로 도출된 empirical 식에서 $h$값을 구해 위의 식(1)에 대입한 후 적분하는 것이 있습니다. 이를 통해서도 똑같이 식(2)를 얻을 수 있습니다.

만약 turbulent flow일 때, 다음 empirical 식이 시스템에 잘 맞는다면,
$$\frac {hD}{k} = 0.023 \left( \frac {\rho u_b D}{\mu}\right)^{0.8} \left( \frac{C_p \mu}{k} \right)^{0.33}$$
위의 식으로부터 $h$를 구하고 식 (1) $h_x$에 대입합니다.

$$h = \frac {w C_p}{\pi D} \frac {1}{t_s - t_b} \frac {dt_b}{dx}$$
그리고 양변을 $x$에 대해 적분합니다.
$$\int_0^L h dx = \int_0^L \frac {w C_p}{\pi D} \frac {1}{t_s - t_b} \frac {dt_b}{dx} dx$$
$$\int_0^L h dx = \int_{t_0}^{t_{b2}} \frac {w C_p}{\pi D} \frac {1}{t_s - t_b} dt_b$$
empirical 식을 통해 구한 $h$는 위치에 무관하므로,
$$h = \frac {w C_p}{\pi D L} \int_{t_0}^{t_{b2}}\frac {1}{t_s - t_b} dt_b$$
$$h = \frac {w C_p}{\pi D L} ln ( \frac{ts-t_0}{t_s - t_{b2}})$$

결과적으로 식(2)와 같음을 알 수 있습니다!

주의사항

따라서 pipe에서 log mean으로 도출된 empirical 식을 통해 $h$를 구한 경우, heat transfer rate $q$는 log mean temperature를 사용하여 다음과 같이 구해야 합니다.

$$q = h \pi D L (t_s - t_b )_{lm}$$

#CONCLUSION

이번 시간에는 log mean coefficient에 대해 알아보았고, empirical 식으로부터 구한 $h$와 log mean temperature를 이용하여 q를 구해보기도 했습니다. log mean coefficient가 중요한 이유는 실용적이면서도 정확하기 때문입니다. 보통 pipe 안에서의 유체가 어떤 온도를 가지는 지는 알 수 없지만, 관 내벽의 온도($t_s$)와 pipe 입구에서의 온도($t_0$)는 측정하기 쉽습니다. 그리고 우리는 이 값들을 이용해서 많은 것을 디자인할 수 있습니다. 그 중 하나로, 다음 공정으로 보낼 유체의 온도($t_{b2}$)를 특정 온도로 고정시킬 수 있는 pipe의 길이를 구할 수 있습니다. 간단하게 소개하자면, 이번에 배운 log mean coefficient를 empirical 식으로 구하고(유체의 특성값들이 필요합니다.), 식(2)를 통해 pipe의 길이 $L$을 구할 수 있습니다!! 이렇게 유용한 식! 반드시 알아야 겠죠? 꼭 숙지하시길 바랍니다~! 그럼 다음에도 더 좋은 연결고리로 찾아뵙겠습니다!