Prandtl mixing length theory (2)

prandtl mixing length theory (2)

# INTRODUCTION

저번 시간에는 Prandtl mixing length theory를 이용해서 eddy kinematic viscosity를 구해봤는데요. (기억하시나요???!!!) 이번시간에는 비슷한 방법과 한 가지 가정을 도입하여 eddy thermal diffusivity를 구해보도록 하겠습니다.

# 연결고리

<교과서 시작>

이번 주제는 교과서 내용과 함께 기술하겠습니다.

<교과서 끝>

이번 주제는 교과서에도 물론 잘 나와 있습니다. 그리고 이전 포스팅을 보셨다면 같은 논리의 반복이기 때문에 쉽게 이해하실 수 있을거에요. 그래도 혹시나 하는 마음으로 정리를 해보려고 합니다.

Turbulent heat transfer rate

momentum transfer rate($\tau$)가 laminar flow일 때와 turbulent flow일 때 서로 달랐던 것처럼 heat transfer rate도 두 유체 영역에서 다르다는 것을 직감적으로 알 수 있습니다. 왜냐하면 turbulent flow에서는 유체가 마구 뒤섞이기 때문에 temperature gradient 방향으로 전도 뿐만 아니라 대류에 의해 쉽게 열이 전달되기 때문이죠. 이렇게 열이 쉽고 빨리 전달된다는 것은 heat transfer rate($q$)가 더 크다는 것을 나타냅니다.

그럼 turbulent flow에서의 heat transfer rate($q$)를 어떻게 나타낼까요?
두둥!!
$$q = - \rho C_p \alpha \frac{d\overline{t}}{dy}-\rho C_p \alpha_e \frac{d\overline{t}}{dy}$$
바로 위와 같이 turbulent flow에 의해 추가적으로 더 전달되는 $q$를 eddy thermal diffusivity($\alpha_e$)를 이용해서 더해주었습니다. 간단하죠??

Eddy thermal diffusivity($\alpha_e$)

자 그럼 이제 eddy thermal diffusivity가 어떻게 구해지는지 알아볼까요?

전체적인 과정은 다음과 같습니다.

(1) prandtl mixing length를 이용해서 temperature gradient를 나타낸다.
(2) turbulent flow(유체는 $x$방향으로 흐름)일 때 생기는 $y$방향(temperature gradient 방향)의 flow에 의한 대류 열전달을 구한다.
(3) 이렇게 구한 heat transfer rate이 eddy term $q_e = -\rho C_p A \alpha_e \frac{d\overline{t}}{dy}$ 과 같다는 식으로부터 $\alpha_e$를 구한다.

별로 어렵지 않습니다! 저번 시간에 비슷한 것을 이미 한 번 해봤고요. 자 그럼, 하나씩 해결해 봅시다!

위의 그림처럼 유체는 $x$방향으로 흐르고 있고요. turbulent flow입니다. 그러면 $y$에 따라 유체의 속도가 다르고, 물론 시간에 따라서도 다르겠죠?
그리고 prandtl mixing length를 $l$이라고 할 때, 특정 위치($y_1 +l$와 $y_1$)에서의 속도는 위의 그림에 나타난 것과 같습니다.(이것이 이해되지 않는다면, 여기로!!) 또한 prandtl mixing length는 온도와 위치간의 linearity가 적용되도록 하는 길이이기 때문에 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$\frac{(\overline{t} -t ') - \overline{t}}{y_1 +l - y_1} = \frac{-t'}{l} = \frac {d \overline{t}}{dy}$$

이제 두 번째 단계로 넘어가 보죠.
지금 다루고 있는 시스템이 $y$가 작을수록 온도가 높다고 하면, $-t' = l \frac {d \overline{t}}{dy}$는 (-) 값을 갖습니다. 따라서 열은 아래 그림의 $|\overline{u_y '}|$의 흐름과 함께 흐르게 됩니다.

자 대류에서의 열전달 식,,, differential energy balance에서 어떻게 세웠는지 기억하시죠?? 유체가 흐름에 수직한 단면적 $A$를 $|\overline{u_y '}|$의 속도로 흐르고 유체의 밀도($\rho$)와 비열($C_p$)이 변하지 않는다고 하면,
$$q =-|\overline{u_y '}| A \rho C_p \Delta t, \,\,\,\,\,\,\,\Delta t = t_{y_1 +l} -t_{y_1}$$
앞에서 구한 것처럼
$$\Delta t = l \frac {d \overline{t}}{dy}$$
을 대입하면
$$q =-|\overline{u_y'}| A \rho C_p l \frac {d \overline{t}}{dy}$$

그리고 여기서 한 가지 가정! 을 도입합니다!
$$|\overline{u_y'}| = |\overline{u_x'}| = l \left| \frac{d \overline{u_x}}{dy} \right|$$
오른쪽 등호는 prandtl mixing length에 정의에 의해 원래 성립합니다. 추가된 가정은 $|\overline{u_y'}| = |\overline{u_x'}|$라는 것인데, turbulent flow이기 때문에 가정이 타당해 보입니다.

이를 이용해서 3번째 단계로 넘어가 볼까요?
$$q_e = -\rho C_p A \alpha_e \frac{d\overline{t}}{dy} = -|\overline{u_y'}| A \rho C_p l \frac {d \overline{t}}{dy}$$
$$\alpha_e = l |\overline{u_y'}| = l^2 \left| \frac{d \overline{u_x}}{dy} \right|$$

아니!!!!
뭔가 저번에 구했던 eddy kinematic viscosity와 매우매우 그냥 똑같네요!!!
$$\alpha_e = l^2 \left| \frac{d \overline{u_x}}{dy} \right| = \nu_e$$

#CONCLUSION

이번 포스팅까지 두 번에 걸쳐서 prandtl mixing theory에 대해 알아보았는데요. 이 이론을 통해서 우리는 $\alpha_e = \nu_e$라는 것을 알 수 있었습니다. 하지만 실제로는 prandtl mixing length로 운동량과 열이 전달되지 않는 경우가 있어서 항상 성립하지는 않는다고 해요. 뭐 어쨌든 우리가 이것을 살펴본 것은 순전히 turbulent flow에 대한 이해와 prandtl mixing length라는 개념의 이해를 하기 위해서였다는 거!!! 사실 이 이론이 열전달 전반적인 내용에 있어서 큰 중요성을 띠지 않기 때문에 이 두 가지만 알고 계시면 충분할 것 같아요! 대신 이 두 가지는 확실히 이해할 수 있게 복습하시고요.^^ 그럼 다음에도 좋은 연결고리로 찾아뵙겠습니다!